高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率精练，共6页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．小明需要从甲城市编号为1～14的14个工厂或乙城市编号为15～32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝( )
A． eq \f(3,25) B． eq \f(5,8) C． eq \f(9,16) D． eq \f(1,4)
【解析】选B.P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝ eq \f(14,32) ＋ eq \f(6,32) ＝ eq \f(5,8) .
2．某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”，根据数学成绩从某班学生中任意找出一人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2，该同学的成绩在[90，120]之间的概率为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【解析】选B.该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件，而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90，120](事件D)两事件的和事件，即P(A)＝1－P(B)＝1－[P(C)＋P(D)]＝ 1－(0.2＋0.5)＝0.3.
3．下列说法正确的是( )
A．当A，B不互斥时，可由公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)计算A∪B的概率
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
【解析】选A.根据概率的性质，可知选项A正确，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故B错误，当A，B是对立事件时，P(A)＋P(B)＝1，但由P(A)＋P(B)＝1不能得到事件A与B是对立事件，故C错误．事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生且事件B不发生，事件A不发生且事件B发生，事件A，B同时发生；A，B中恰有一个发生包括事件A发生且事件B不发生，事件A不发生且事件B发生．当事件A，B互斥时，事件A，B发生的概率为0，所以事件A，B中至少有一个发生的概率等于事件A，B中恰有一个发生的概率，故D错误．
4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A． eq \f(1,10) B． eq \f(3,10) C． eq \f(3,5) D． eq \f(9,10)
【解析】选D.记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件 eq \x\t(A) 表示“所取的3个球中没有白球”，则事件 eq \x\t(A) 包含的基本事件有1个：(a1，a2，a3)，所以P( eq \x\t(A) )＝ eq \f(1,10) .故P(A)＝1－P( eq \x\t(A) )＝1－ eq \f(1,10) ＝ eq \f(9,10) .
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则不命中靶的概率是________．
【解析】“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10
6．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 eq \f(2,5) ，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________．
【解析】因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 eq \f(2,5) ，所以P(A)＋P(B)＝1－ eq \f(2,5) ＝ eq \f(3,5) .
又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋ eq \f(1,2) P(A)＝ eq \f(3,5) ，所以P(A)＝ eq \f(2,5) .
答案： eq \f(2,5)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
【解析】记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
8．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
【解析】(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m吨，厨余垃圾总量为n吨，则m＝400，n＝400＋100＋100＝600.
所以厨余垃圾投放正确的概率约为 eq \f(m,n) ＝ eq \f(400,600) ＝ eq \f(2,3) .
(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A，则事件 eq \x\t(A) 表示“生活垃圾投放正确”，从而P( eq \x\t(A) )＝ eq \f(400＋240＋60,1 000) ＝0.7，所以P(A)＝1－P( eq \x\t(A) )＝1－0.7＝0.3.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋ eq \x\t(B) 发生的概率为( )
A. eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(2,3) D． eq \f(5,6)
【解析】选C.抛掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意，得P(A)＝ eq \f(2,6) ＝ eq \f(1,3) ，P(B)＝ eq \f(4,6) ＝ eq \f(2,3) ，
所以P( eq \x\t(B) )＝1－P(B)＝1－ eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,3) ，
因为 eq \x\t(B) 表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与 eq \x\t(B) 互斥，从而P(A＋ eq \x\t(B) )＝P(A)＋P( eq \x\t(B) )＝ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
2．(多选题)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．则下列结论正确的是( )
A.此人被评为优秀的概率为 eq \f(1,10)
B.此人被评为良好的概率为 eq \f(2,5)
C. 此人被评为不合格的概率为 eq \f(3,10)
D.此人被评为良好及以上的概率 eq \f(7,10)
【解析】选ACD.将5杯饮料编号为：1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为不合格事件，G表示此人被评为良好及以上的事件．则：事件D含(123)，只有1个样本点，事件E含(124)，(125)，(134)，(135)，(234)，(235)，共6个样本点，故P(D)＝ eq \f(1,10) ，P(E)＝ eq \f(3,5) ，P(F)＝1－P(D)－P(E)＝ eq \f(3,10) ，
P(G)＝P(D)＋P(E)＝ eq \f(7,10) .
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，
P(AB)＝________．
【解析】(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2.
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.P(AB)＝P(∅)＝0.
答案：(1)0.4 0.2 (2)0.6 0
4．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．则当天商店不进货的概率为________．
【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．
记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝ eq \f(1,20) ＋ eq \f(5,20) ＝ eq \f(3,10) .
答案： eq \f(3,10)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．某高级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在高三年级中抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生少的概率．
【解析】(1)因为 eq \f(x,2 000) ＝0.19，所以x＝380.
(2)高三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为 eq \f(500,2 000) ×48＝12.
(3)设高三年级女生比男生少为事件A，则 eq \x\t(A) 为高三年级女生比男生多或高三年级男生和女生同样多．高三年级女生数、男生数记为(y，z)，由(2)知y＋z＝500，y，z∈N.满足题意的所有样本点是(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(255，245)，共11个，事件 eq \x\t(A) 包含的样本点是(250，250)，(251，249)，(252，248)，(253，247)，(254，246)，(255，245)，共6个．所以P( eq \x\t(A) )＝ eq \f(6,11) .因此，P(A)＝1－ eq \f(6,11) ＝ eq \f(5,11) .
6．袋中有12个大小质地完全相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 eq \f(1,3) ，得到黑球或黄球的概率是 eq \f(5,12) ，得到黄球或绿球的概率也是 eq \f(5,12) ，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？
【解析】从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则P(A)＝ eq \f(1,3) ，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝ eq \f(5,12) ，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝ eq \f(5,12) ，P(B∪C∪D)＝
P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
联立
解得P(B)＝ eq \f(1,4) ，P(C)＝ eq \f(1,6) ，P(D)＝ eq \f(1,4) ，
故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为 eq \f(1,4) ， eq \f(1,6) ， eq \f(1,4) .排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
高一年级
高二年级
高三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z