2021学年6.4 平面向量的应用当堂达标检测题

这是一份2021学年6.4 平面向量的应用当堂达标检测题，共9页。

一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2021·泰安高一检测)已知作用在坐标原点的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则作用在原点的合力F＝F1＋F2＋F3的坐标为( )
A．(8，0) B．(8，8)
C．(－2，0) D．(－2，8)
【解析】选A.F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则F＝F1＋F2＋F3＝(3＋2＋3，4－5＋1)＝(8，0).
2．如图，在重600 N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A．300 eq \r(3) N，300 eq \r(3) N B．150 N，150 N
C．300 eq \r(3) N，300 N D．300 N，300 N
【解析】选C.作▱OACB，使∠AOC＝30°，
∠BOC＝60°.在▱OACB中，
∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，
| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝| eq \(OC,\s\up6(→)) |·cs 30°＝300 eq \r(3) N，| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝| eq \(OC,\s\up6(→)) |·sin 30°＝300 N，| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝300 N．
3．在等腰直角三角形ABC中，AC是斜边，且 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ，则该三角形的面积等于( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(2),2) D．1
【解析】选A.设Rt△ABC的直角边长为a，则斜边长为 eq \r(2) a，于是 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a· eq \r(2) a· eq \f(\r(2),2) ＝a2＝ eq \f(1,2) ，从而a＝ eq \f(\r(2),2) ，于是S△ABC＝ eq \f(1,2) × eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(1,4) .
4．已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 是非零向量，且满足( eq \(AB,\s\up6(→)) －2 eq \(AC,\s\up6(→)) )⊥ eq \(AB,\s\up6(→)) ，( eq \(AC,\s\up6(→)) －2 eq \(AB,\s\up6(→)) )⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选C.因为( eq \(AB,\s\up6(→)) －2 eq \(AC,\s\up6(→)) )⊥ eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以( eq \(AB,\s\up6(→)) －2 eq \(AC,\s\up6(→)) )· eq \(AB,\s\up6(→)) ＝0，
即 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) －2 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝0，
因为( eq \(AC,\s\up6(→)) －2 eq \(AB,\s\up6(→)) )⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以( eq \(AC,\s\up6(→)) －2 eq \(AB,\s\up6(→)) )· eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0，即 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) －2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ，即| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝| eq \(AC,\s\up6(→)) |，则cs A＝ eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(1,2) ，
所以∠A＝60°，所以△ABC为等边三角形．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是________km/h.
【解析】如图，
用v1表示河水的流速，v2表示船的速度，则v＝v1＋v2为船的实际航行速度．
由图知，| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝4，| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝8，则∠AOB＝60°.
又|v2|＝2，所以|v1|＝|v2|·tan 60°＝2 eq \r(3) .
即河水的流速是2 eq \r(3) km/h.
答案：2 eq \r(3)
6．在四边形ABCD中，已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(4，－2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(7，4)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
【解析】 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(3，6)＝ eq \(AD,\s\up6(→)) .
又因为 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(4，－2)·(3，6)＝0，
所以四边形ABCD为矩形，所以| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(42＋（－2）2) ＝2 eq \r(5) ，| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(32＋62) ＝3 eq \r(5) ，
所以S＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(BC,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(5) ×3 eq \r(5) ＝30.
答案：30
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为 eq \f(2,3) π，如图所示．
(1)求F3的大小；
(2)求F2与F3的夹角．
【解析】(1)由题意|F3|＝|F1＋F2|，
因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为 eq \f(2,3) π，
所以|F3|＝|F1＋F2|
＝ eq \r(1＋4＋2×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))) ＝ eq \r(3) .
(2)设F2与F3的夹角为θ，
因为F3＝－(F1＋F2)，
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以 eq \r(3) ·2·cs θ＝－1×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) －4，
所以cs θ＝－ eq \f(\r(3),2) ，所以θ＝ eq \f(5,6) π.
8．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝ eq \f(1,2) AB，求证：AC⊥BC.
【证明】方法一：因为∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝ eq \f(1,2) AB，
故可设 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝e1， eq \(DC,\s\up6(→)) ＝e2，|e1|＝|e2|，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2e2.
所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) ＝e1＋e2， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝|e1|2－|e2|2＝0，所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BC,\s\up6(→)) ，即AC⊥BC.
方法二：如图，建立平面直角坐标系，
设CD＝1，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1).
所以 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(－1，1)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，1).
所以 eq \(BC,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－1，1)·(1，1)＝－1＋1＝0.
所以AC⊥BC.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的个数是( )
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2))) .
则|F|cs θ＝|f|，所以|F|＝ eq \f(|f|,cs θ) .
因为θ增大，cs θ减小，所以|F|增大．
因为|F|sin θ增大，所以船的浮力减小．
2．(多选题)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，则点O为△ABC的重心
B．若 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|))) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ·( eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|) － eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|) )＝0，则点O为△ABC的垂心
C.若( eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) )· eq \(AB,\s\up6(→)) ＝( eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )· eq \(BC,\s\up6(→)) ＝0，则点O为△ABC的外心
D．若 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) · eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) · eq \(OA,\s\up6(→)) ，则点O为△ABC的内心
【解析】选AC.选项A，设D为BC的中点，由于 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝－( eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )＝－2· eq \(OD,\s\up6(→)) ，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心．
选项B，向量 eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|) ， eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|) 分别表示在边AC和AB上取单位向量 eq \(AC′,\s\up6(→)) 和 eq \(AB′,\s\up6(→)) ，记它们的差是向量 eq \(B′C′,\s\up6(→)) ，则当 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|))) ＝0，即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上，同理由 eq \(OB,\s\up6(→)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|))) ＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心．
选项C， eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) 是以 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) 为邻边的平行四边形的一条对角线，而| eq \(AB,\s\up6(→)) |是该平行四边形的另一条对角线， eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) )＝0表示这个平行四边形是菱形，即| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝| eq \(OB,\s\up6(→)) |，同理有| eq \(OB,\s\up6(→)) |＝| eq \(OC,\s\up6(→)) |，于是O为△ABC的外心．
选项D，由 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) · eq \(OC,\s\up6(→)) 得 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) · eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq \(OB,\s\up6(→)) ·( eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) )＝0，即 eq \(OB,\s\up6(→)) · eq \(CA,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq \(OB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(CA,\s\up6(→)) .同理可证 eq \(OA,\s\up6(→)) ⊥ eq \(CB,\s\up6(→)) ， eq \(OC,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AB,\s\up6(→)) .所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图，设P为△ABC内一点，且2 eq \(PA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝0，则S△ABP∶S△ABC＝________．
【解析】设AB的中点是D.
因为 eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PD,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(PD,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,4) eq \(PC,\s\up6(→)) ，
所以P为CD的五等分点，
所以△ABP的面积为△ABC的面积的 eq \f(1,5) .
答案： eq \f(1,5)
4．(2021·潍坊高一检测)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|＝80 N，则G的大小为________，F2的大小为________．
【解析】根据题意，F1＋F2＝－G，如图所示：
∠CAO＝90°，∠AOC＝30°，AC＝80，
所以OC＝160，OA＝80 eq \r(3) ，
所以G的大小为160 N，F2的大小为80 eq \r(3) N.
答案：160 N 80 eq \r(3) N
【加固训练】
如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑至底部，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为__________J，重力所做的功为________J(g＝9.8 m/s2).
【解析】物体m的位移大小为|s|＝ eq \f(2,sin 37°) ≈ eq \f(10,3) (m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cs 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|·sin 37°＝5×9.8× eq \f(10,3) ×0.6＝98(J).
答案：0 98
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
【解析】(1) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－13，－15)) ，力F1对质点所做的功W1＝F1· eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，力F2对质点所做的功W2＝F2· eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3，所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.
(2)W＝F· eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(F1＋F2)· eq \(AB,\s\up6(→)) ＝F1· eq \(AB,\s\up6(→)) ＋F2· eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－99－3＝－102.
6.如图，已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值．
【解析】(1)因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，1)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(－3，3).
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AD,\s\up6(→)) ，所以AB⊥AD.
(2)因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AD,\s\up6(→)) ，四边形ABCD为矩形，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(DC,\s\up6(→)) .
设点C的坐标为(x，y)，则 eq \(DC,\s\up6(→)) ＝(x＋1，y－4).
又因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，1)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1＝1，,y－4＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝5.))
所以点C的坐标为(0，5).所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－2，4).
又 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(－4，2)，所以| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(5) ，| eq \(BD,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(5) ，
eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝8＋8＝16.
设 eq \(AC,\s\up6(→)) 与 eq \(BD,\s\up6(→)) 的夹角为θ，
则cs θ＝ eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(BD,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(16,2\r(5)×2\r(5)) ＝ eq \f(4,5) .
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 eq \f(4,5) .
【加固训练】
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝ eq \f(1,2) AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示).
【解析】
(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
A(0，m)，B(n，0).
因为D为AB的中点，所以D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)，\f(m,2))) .
所以| eq \(CD,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,2) eq \r(n2＋m2) ，| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(m2＋n2) ，
所以| eq \(CD,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,2) | eq \(AB,\s\up6(→)) |，即CD＝ eq \f(1,2) AB.
(2)因为E为CD的中点，
所以E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，\f(m,4))) ，
设F(x，0)，则 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m)) ， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝(x，－m).
因为A，E，F三点共线，所以 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AE,\s\up6(→)) ，
即(x，－m)＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m)) .
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))
故λ＝ eq \f(4,3) ，x＝ eq \f(n,3) ，所以F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,3)，0)) ，
所以| eq \(AF,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2) ，
即AF＝ eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2) .