高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算测试题，共4页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
【解析】选A.(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.
2．(2－3i)＋(－4＋2i)等于( )
A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i
【解析】选B.(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
3．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选A.复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．
4．如图，设向量 eq \(OP,\s\up6(→)) ， eq \(PQ,\s\up6(→)) ， eq \(OQ,\s\up6(→)) 所对应的复数为z1，z2，z3，那么( )
A.z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
【解析】选D.由题图可知， eq \(PQ,\s\up6(→)) ＋ eq \(QP,\s\up6(→)) ＝0，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) ＋ eq \(OP,\s\up6(→)) － eq \(OQ,\s\up6(→)) ＝0，
所以z1＋z2－z3＝0.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·徐州高一检测)设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第________象限．
【解析】因为z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，
所以z1－z2＝5－7i，
故对应点为(5，－7)，位于第四象限，
答案：四
6．已知z＝m＋3＋(2m＋1)i(－2≤m≤1)，则|z|的最大值是________．
【解析】|z|＝ eq \r(（m＋3）2＋（2m＋1）2)
＝ eq \r(5（m＋1）2＋5) ，
因为－2≤m≤1，所以m＝1时，|z|max＝5.
答案：5
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．计算：
(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)；
(2)4－(5＋12i)－i；
(3)若z－(－3＋5i)＝－2＋6i，求复数z.
【解析】(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i.
(2)4－(5＋12i)－i＝(4－5)＋(－12－1)i＝－1－13i.
(3)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z－(－3＋5i)＝－2＋6i，
所以(x＋yi)－(－3＋5i)＝－2＋6i，
即(x＋3)＋(y－5)i＝－2＋6i，因此 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3＝－2，,y－5＝6，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝11，)) 于是z＝－5＋11i.
法二：由z－(－3＋5i)＝－2＋6i
可得z＝－2＋6i＋(－3＋5i)，
所以z＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i.
8．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【解析】解法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝ eq \r(a2＋b2) ，
代入方程得a＋bi＋ eq \r(a2＋b2) ＝2＋8i，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝2,b＝8)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－15,b＝8)) .
所以z＝－15＋8i.
解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
因为|z|∈R，
所以2－|z|是z的实部，
于是|z|＝ eq \r(（2－|z|）2＋82) ，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，所以|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) 为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
2．(多选题)若z1＝2a＋i，z2＝－2＋ai(a∈R)，且复数z1＋z2的实部或虚部为零，则a的值可能为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
【解析】选CD.z1＋z2＝2a＋i－2＋ai＝(2a－2)＋(1＋a)i.
所以2a－2＝0或1＋a＝0，所以a＝1或a＝－1.
【光速解题】选CD.求出z1＋z2后，把四个选项逐项代入，验证可立即得到答案．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cs θ＋i(－4＋5sin θ)，则x2＋y2的最大值是________．
【解析】因为x＋yi＝(3＋5cs θ)＋i(－4＋5sin θ)，
所以x2＋y2＝(3＋5cs θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50＋30cs θ－40sin θ＝50＋50cs (θ＋φ)，
其中sin φ＝ eq \f(4,5) ，cs φ＝ eq \f(3,5) .
所以(x2＋y2)max＝50＋50＝100.
答案：100
4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是 eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OB,\s\up6(→)) ，其中O是原点，求向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＝________，则 eq \(BA,\s\up6(→)) 对应的复数为________，A，B两点间的距离为________．
【解析】向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) 对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.
因为 eq \(BA,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ，
所以向量 eq \(BA,\s\up6(→)) 对应的复数为(－3－i)－(5＋i)
＝－8－2i.
所以A，B两点间的距离为|－8－2i|
＝ eq \r(（－8）2＋（－2）2) ＝2 eq \r(17) .
答案：2 －8－2i 2 eq \r(17)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．(2021·上海高一检测)已知复数z1，z2满足z1＝1＋2i，z1－＝|z2|，求复数z2.
【解析】设z2＝x＋yi，＝x－yi，
所以z1－＝1－x＋(2＋y)i＝|z2|＝ eq \r(x2＋y2) ，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x＝\r(x2＋y2),2＋y＝0)) .
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3,2)，,y＝－2)) 所以z2＝－ eq \f(3,2) －2i.
6．在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
(1)求 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) 对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【解析】(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) ， eq \(OC,\s\up6(→)) 对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(1，0)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(2，1)， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(－1，2).
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(1，1)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(－2，2)， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(－3，1).
即 eq \(AB,\s\up6(→)) 对应的复数为1＋i， eq \(AC,\s\up6(→)) 对应的复数为－2＋2i， eq \(BC,\s\up6(→)) 对应的复数为－3＋i.
(2)因为| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(1＋1) ＝ eq \r(2) ，| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（－2）2＋22) ＝ eq \r(8) ，| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（－3）2＋1) ＝ eq \r(10) ，
因为| eq \(AB,\s\up6(→)) |2＋| eq \(AC,\s\up6(→)) |2＝10＝| eq \(BC,\s\up6(→)) |2.
且| eq \(AB,\s\up6(→)) |≠| eq \(AC,\s\up6(→)) |，
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．