人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算课时练习，共5页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(1－i)4＝( )
A．－4 B．4 C．－4i D．4i
【解析】选A.(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2
＝－4.
【加固训练】
若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则 eq \x\t(z) ＝( )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
【解析】选A.因为z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以 eq \x\t(z) ＝2－3i.
2．若 eq \x\t(z) (1＋i)＝1－i，则z＝( )
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
【解析】选D.由 eq \x\t(z) (1＋i)＝1－i，得 eq \x\t(z) ＝ eq \f(1－i,1＋i) ＝ eq \f(（1－i）2,（1＋i）（1－i）) ＝－i，所以z＝i.
3．复数 eq \f(i2＋i3＋i4,1－i) ＝( )
A．－ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) i B．－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) i
C． eq \f(1,2) － eq \f(1,2) i D． eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) i
【解析】选C.因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
所以 eq \f(i2＋i3＋i4,1－i) ＝ eq \f(－i,1－i) ＝ eq \f(－i（1＋i）,2) ＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) i.
4．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A．0 B．1 C． eq \r(2) D．2
【解析】选D.因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝2i，
所以z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，
所以|z2－2z|＝|－2|＝2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·南京高一检测)如果z＝ eq \f(\r(2),1－i) ，那么z100＋z50＋1＝________．
【解析】因为z＝ eq \f(\r(2),1－i) ，故z＝ eq \f(\r(2),2) (1＋i)，
所以z2＝ eq \f(1,2) (1＋i)2＝i，
故z100＝(i2)25＝－1，z50＝(i2)12·i＝i，
故z100＋z50＋1＝i.
答案：i
6．设x，y为实数，且 eq \f(x,1－i) ＋ eq \f(y,1－2i) ＝ eq \f(5,1－3i) ，则x＋y＝________．
【解析】 eq \f(x,1－i) ＋ eq \f(y,1－2i) ＝ eq \f(5,1－3i) 可化为
eq \f(x（1＋i）,2) ＋ eq \f(y（1＋2i）,5) ＝ eq \f(5（1＋3i）,10) ，
即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(y,5))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(2,5)y)) i＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(3,2) i，
由复数相等可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(y,5)＝\f(1,2)，,\f(x,2)＋\f(2,5)y＝\f(3,2)．))
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝5，)) 所以x＋y＝4.
答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；
(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i))) eq \s\up12(6) ＋ eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i) .
【解析】(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5.
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
(3)原式＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(（1＋i）2,2))) eq \s\up12(6) ＋ eq \f(i（\r(3)－\r(2)i）,\r(3)－\r(2)i) ＝i6＋i＝－1＋i.
8．已知复数z＝ eq \f(5,2－i) .
(1)求z的实部与虚部；
(2)若z2＋m eq \x\t(z) ＋n＝1－i(m，n∈R， eq \x\t(z) 是z的共轭复数)，求m和n的值．
【解析】(1)z＝ eq \f(5（2＋i）,（2－i）（2＋i）) ＝ eq \f(5（2＋i）,5) ＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
(2)把z＝2＋i代入z2＋m eq \x\t(z) ＋n＝1－i，
得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋n＋3＝1，,4－m＝－1.))
解得m＝5，n＝－12.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若 eq \f(z,1＋i) ＝2－i成立，则点P(a，b)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选A.因为 eq \f(z,1＋i) ＝2－i，所以z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，所以a＝3，b＝1，所以点P(a，b)在第一象限．
2．(多选题)已知i是虚数单位，复数z＝ eq \f(1－2i,i) (z的共轭复数为 eq \x\t(z) )，则下列说法中正确的是( )
A． eq \x\t(z) 的虚部为1 B．z· eq \x\t(z) ＝3
C．|z|＝ eq \r(5) D．z＋ eq \x\t(z) ＝4
【解析】选AC.z＝ eq \f(1－2i,i) ＝ eq \f(（1－2i）（－i）,i（－i）) ＝－2－i，所以 eq \x\t(z) ＝－2＋i，
对于A， eq \x\t(z) 的虚部为1，故A正确；
对于B，z· eq \x\t(z) ＝(－2)2－i2＝5，故B不正确；
对于C，|z|＝ eq \r(（－2）2＋（－1）2) ＝ eq \r(5) ，故C正确；
对于D，z＋ eq \x\t(z) ＝－4，故D不正确．
【光速解题】根据题目条件，求出复数z后逐项验证．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m＋n等于________．
【解析】因为2＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，
所以(2＋i)2＋m(2＋i)＋n＝0，
所以2m＋n＋3＋(4＋m)i＝0，由复数相等可得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋n＋3＝0，,4＋m＝0，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝5，)) m＋n＝1.
答案：1
4．已知复数z满足(1＋i)z＝1－3i(i是虚数单位)，若复数(1＋ai)z是纯虚数，则实数a的值为________；若复数z的共轭复数为 eq \x\t(z) ，则复数 eq \f(\x\t(z),z＋1) ＝________．
【解析】解得z＝－1－2i，因为复数(1＋ai)z是纯虚数，
则(1＋ai)(－1－2i)＝－1＋2a＋(－a－2)i，
所以－1＋2a＝0，且－a－2≠0，
所以实数a的值为 eq \f(1,2) .
因为z的共轭复数为 eq \x\t(z) ＝－1＋2i，
所以复数 eq \f(\x\t(z),z＋1) ＝－1－ eq \f(1,2) i.
答案： eq \f(1,2) －1－ eq \f(1,2) i
【误区警示】注意复数(1＋ai)z是纯虚数，即实部为0.
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．(2021·盐城高一检测)已知复数z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是纯虚数．
(1)求b的值；
(2)若ω＝ eq \f(3＋bi,2＋i) ，求复数ω的模|ω|.
【解析】(1)z＝(3＋bi)(1＋3i)＝(3－3b)＋(9＋b)i.
因为z是纯虚数，
所以3－3b＝0且9＋b≠0所以b＝1.
(2)ω＝ eq \f(3＋i,2＋i) ＝ eq \f(（3＋i）（2－i）,（2＋i）（2－i）) ＝ eq \f(7－i,5) ＝ eq \f(7,5) － eq \f(1,5) i，
所以|ω|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))\s\up12(2)) ＝ eq \r(2) .
6．已知z为虚数，z＋ eq \f(9,z－2) 为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z.
(2)求|z－4|的取值范围．
【解析】(1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
则z－2＝x－2＋yi，
由z－2为纯虚数得x＝2，
所以z＝2＋yi，则z＋ eq \f(9,z－2) ＝2＋yi＋ eq \f(9,yi) ＝2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(9,y))) i∈R，得y－ eq \f(9,y) ＝0，y＝±3，
所以z＝2＋3i或z＝2－3i.
(2)因为z＋ eq \f(9,z－2) ＝x＋yi＋ eq \f(9,x＋yi－2) ＝x＋ eq \f(9（x－2）,（x－2）2＋y2) ＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(y－\f(9y,（x－2）2＋y2))) i∈R，
所以y－ eq \f(9y,（x－2）2＋y2) ＝0，
因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9，
由(x－2)2