高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课堂检测，共7页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )
A．1 B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(3,4)
【解析】选D.设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径为r，高都为h，
由已知得2Rh＝rh，所以r＝2R，
V柱∶V锥＝πR2h∶ eq \f(1,3) πr2h＝3∶4.
【加固训练】
一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A． eq \f(\r(6π),6) B． eq \f(\r(π),2) C． eq \f(\r(2π),2) D． eq \f(3\r(π),2π)
【解析】选A.设正方体的棱长为a，球的半径为R，由6a2＝4πR2得 eq \f(a,R) ＝ eq \r(\f(2π,3)) ， eq \f(V正方体,V球) ＝ eq \f(a3,\f(4,3)πR3) ＝ eq \f(3,4π) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(2π,3)))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(\r(6π),6) .
2．(2021·乐山高一检测)如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2.若将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体的体积为( )
A．π B． eq \f(4π,3) C． eq \f(5π,3) D．2π
【解析】选B.将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体如图：
该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥与圆柱的底面半径均为1，高均为1，
则所得几何体的体积为V＝π×12×1＋ eq \f(1,3) π×12×1＝ eq \f(4π,3) .
3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.S表＝4πR2＝6π，
所以R＝ eq \f(\r(6),2) .
设正四棱柱底面边长为x，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)x)) eq \s\up12(2) ＋1＝R2，
所以x＝1.所以V正四棱柱＝2.
4．某校组织学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥的底面直径和高都等于2( eq \r(2) ＋1)cm，打印所用原料密度为1 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为( )(取π≈3.14，参考数据：( eq \r(2) ＋1)3≈14.07，( eq \r(2) ＋1)2≈5.83，精确到0.1)
A．21.5 g B．30.7 g C．45.6 g D．55.3 g
【解析】选A.如图，设被挖去的正方体的棱长为x cm，圆锥底面半径为r，
则r＝( eq \r(2) ＋1)cm，圆锥的高为2r，
由轴截面中的直角三角形相似，得 eq \f(\f(\r(2),2)x,r) ＝ eq \f(2r－x,2r) ，
得x＝2( eq \r(2) －1)r＝2( eq \r(2) －1)( eq \r(2) ＋1)＝2，
所以该模型的体积V＝ eq \f(1,3) π×r2×2r－23≈ eq \f(1,3) ×3.14×2×14.07－8≈21.5.
所以所需材料质量约为m≈21.5×1＝21.5 g．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了________(填“会”或“不会”)溢出杯子．
【解析】因为V半球＝ eq \f(1,2) × eq \f(4,3) πR3＝ eq \f(1,2) × eq \f(4,3) π×43＝ eq \f(128,3) π(cm3)，V圆锥＝ eq \f(1,3) Sh＝ eq \f(1,3) πr2h＝ eq \f(1,3) π×42×12＝64π(cm3)> eq \f(128,3) π(cm3)，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子．
答案：不会
6．如图所示，已知一个组合体上面是一个正四棱柱，下面是一个半球．正四棱柱的底面边长为2 eq \r(2) ，高为 eq \r(2) ，半球的半径为2.则该几何体的体积是________，表面积是________.
【解析】组合体体积V＝V四棱柱＋V半球
＝2 eq \r(2) ×2 eq \r(2) × eq \r(2) ＋ eq \f(1,2) · eq \f(4π·23,3) ＝8 eq \r(2) ＋ eq \f(16π,3) .
因为该几何体的表面积为正四棱柱的四个侧面面积＋半球的表面积＋半球的上面大圆的面积．
所以几何体的表面积为S＝S四棱柱侧＋S半球＋S圆＝4·2 eq \r(2) · eq \r(2) ＋ eq \f(1,2) ·4π·22＋π·22＝16＋12π.
答案：8 eq \r(2) ＋ eq \f(16π,3) 16＋12π
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.如图，一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)
【解析】设水面下降的高度为x cm，因为圆锥形铅锤的体积为 eq \f(1,3) ×π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2))) eq \s\up12(2) ×20＝60π(cm3)，
小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx(cm3).
所以60π＝100πx，解得x＝0.6(cm).
则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.
8．(2021·兰州高一检测)在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积．
【解析】根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后，所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体；
则该组合体的表面积为
S组合体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球
＝π×3×3 eq \r(2) ＋2π×3×3＋ eq \f(1,2) ×4π×32
＝(9 eq \r(2) ＋36)π；
组合体的体积为
V组合体＝V圆锥＋V圆柱－V半球
＝ eq \f(1,3) ×π×32×3＋π×32×3－ eq \f(1,2) × eq \f(4,3) ×π×33
＝18π.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2021·遵义高一检测)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )
A．(12 eq \r(5) －12)π B．12 eq \r(3) π
C．(12 eq \r(3) ＋3)π D．16π
【解析】选A.设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πr2＋2πrh＝12π，则h＝ eq \f(6,r) －r.
设该圆柱的外接球的半径为R，
则R2＝r2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2))) eq \s\up12(2) ＝r2＋ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,r)－r)) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(5,4) r2＋ eq \f(9,r2) －3≥2 eq \r(\f(5,4)r2·\f(9,r2)) －3＝3 eq \r(5) －3，当且仅当 eq \f(5,4) r2＝ eq \f(9,r2) ，即r4＝ eq \f(36,5) 时，等号成立．
故该圆柱的外接球的表面积的最小值为4π(3 eq \r(5) －3)＝(12 eq \r(5) －12)π.
2．(多选题)(2021·潍坊高一检测)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 eq \f(2,3) (细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是( )
A．沙漏中的细沙体积为 eq \f(1 024π,81) cm3
B．沙漏的体积是128π cm3
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1 565秒(π≈3.14)
【解析】选AC.对于A，设细沙在上部时，细沙的底面半径为r，则r＝ eq \f(2,3) ×4＝ eq \f(8,3) cm，所以细沙的体积为V1＝ eq \f(1,3) π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3))) eq \s\up12(2) × eq \f(16,3) ＝ eq \f(1 024π,81) cm3，故A正确；
对于B，沙漏的体积V2＝2× eq \f(1,3) π×42×8＝ eq \f(256π,3) cm3，故B错误；
对于C，设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知： eq \f(1,3) π×42×h1＝ eq \f(1 024π,81) ，解得h1＝ eq \f(64,27) ≈2.4 cm，故C正确；
对于D，该沙漏的一个沙时为： eq \f(1 024π,81) ÷0.02＝ eq \f(1 024×3.14,81) ×50≈1 985秒，故D错误．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________．
【解析】设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为 eq \f(1,3) πR2h，圆柱形容器内的液体体积为π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2))) eq \s\up12(2) h.
根据题意，有 eq \f(1,3) πR2h＝π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2))) eq \s\up12(2) h，解得R＝ eq \f(\r(3),2) a.
再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得 eq \f(\f(\r(3),2)a,a) ＝ eq \f(h,a) ，所以h＝ eq \f(\r(3),2) a.
答案： eq \f(\r(3),2) a
4．(2021·合肥高一检测)如图，AB是圆O的直径，点M是 eq \(AB,\s\up8(︵)) 的中点．若AB＝2，则图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成的几何体的表面积等于________．
【解析】题图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体为圆锥与半球的组合体，
且圆锥的底面圆半径为1，高为1，所以母线长为 eq \r(2) ，
所以圆锥的侧面积为S圆锥侧＝π×1× eq \r(2) ＝ eq \r(2) π，
球的半径为1，所以半球的表面积为S半球＝ eq \f(1,2) ×4π×12＝2π，
所以该几何体的表面积为：
S＝S半球＋S圆锥侧＝2π＋ eq \r(2) π＝(2＋ eq \r(2) )π.
答案：(2＋ eq \r(2) )π
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为h cm，半径为r cm.试管的容量为108π cm3，半球部分容量为全试管容量的 eq \f(1,6) .
(1)求r和h；
(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4 cm处，求水的体积．
【解析】(1)因为半球部分容量为全试管容量的 eq \f(1,6) ，所以半球部分与圆柱体部分容量比为 eq \f(1,5) ，
即 eq \f(1,5) ＝ eq \f(\f(4,3)πr3×\f(1,2),πr2×h) ，所以h＝ eq \f(10,3) r， eq \f(4,3) πr3× eq \f(1,2) ＝108π× eq \f(1,6) ，
所以r＝3 cm，h＝10 cm.
(2)V＝ eq \f(4,3) πr3× eq \f(1,2) ＋πr2×(h－4)
＝ eq \f(4,3) π×33× eq \f(1,2) ＋π×32×6＝72π(cm3).
6．据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
(1)试计算出图案中圆柱与球的体积比；
(2)假设球半径r＝2，试计算出图案中圆锥的体积和表面积．
【解析】(1)由题可知，球的直径、圆柱底面圆的直径和圆柱的高相等，设为a，
则圆柱的体积V圆柱＝π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2))) eq \s\up12(2) ×a＝ eq \f(πa3,4) ，
球的体积V球＝ eq \f(4,3) π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(πa3,6) ，
所以图案中圆柱与球的体积比为：
eq \f(V圆柱,V球) ＝ eq \f(\f(πa3,4),\f(πa3,6)) ＝ eq \f(3,2) .
(2)假设球半径r＝2，图案中圆锥的体积为：
V＝ eq \f(1,3) πr2×2r＝ eq \f(1,3) π×22×2×2＝ eq \f(16,3) π.
圆锥的表面积为：S＝πrl＋πr2
＝π×2× eq \r(（2×2）2＋22) ＋π×22＝4 eq \r(5) π＋4π.