高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行同步练习题，共7页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
【解析】选C.条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，所以α内与b相交的直线与a异面．
2．在三棱锥A­BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．直线AC在平面DEF内
D．不能确定
【解析】选A.因为AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，
所以EF∥AC.
又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
3．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A．0条 B．1条
C．0或1条 D．无数条
【解析】选C.a∥α，在平面α内，n条相交直线中与直线a平行的直线可能有1条，也可能没有．
4．(2021·贵阳高一检测)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是( )
A．MN∥平面ABE B．MN∥平面ADE
C．MN∥平面BDH D．MN∥平面CDE
【解析】选C.连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN，
因为M，N是BC，GH的中点，
所以OM∥CD，且OM＝ eq \f(1,2) CD，NH∥CD，
且NH＝ eq \f(1,2) CD，
所以OM∥NH且OM＝NH，
则四边形MNHO是平行四边形，
所以MN∥OH，又MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，
所以MN∥平面BDH，
故C选项正确；A，B，D显然错误．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，与BC1平行的平面是________；与平面A1B1C1D1和平面ABB1A1都平行的棱是____________．
【解析】观察图形，根据直线与平面平行的判定定理可知与BC1平行的平面是平面ADD1A1；由于平面A1B1C1D1与平面ABB1A1的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD.
答案：平面ADD1A1 CD
6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
【解析】如图，
易知AC∥平面A1B1C1D1.
又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，
所以AC∥l，又因为AC∥A1C1，
所以l∥A1C1.
答案：平行
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(2021·顺义高一检测)如图，在四棱锥P­ABCD中，已知底面ABCD为平行四边形，点E为棱PD的中点．
(1)求证：BC∥平面PAD；
(2)设平面EBC∩平面PAD＝EF，点F在PA上，求证：F为PA的中点．
【证明】(1)因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，
因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
(2)因为平面EBC∩平面PAD＝EF，点F在PA上，
BC∥平面PAD，BC⊂平面EBC，
所以EF∥BC，所以EF∥AD，
因为点E为棱PD的中点，所以F为PA的中点．
8．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
【解析】直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，
所以l∥平面PAC.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A.MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
【解析】选B.因为在▱AA1B1B中AM＝2MA1，
BN＝2NB1，所以AMBN，
所以四边形ABNM为平行四边形，
所以MN∥AB.
又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，
平面MNEF∩平面ABC＝EF，所以MN∥EF，
所以EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，
所以EF≠MN所以四边形MNEF为梯形．
2．(多选题)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是( )
A.OM∥PD
B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA
D．OM∥平面PBA
【解析】选ABC.对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故正确；
对于B，由于OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故正确；
对于C，由于OM∥PD，OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则OM∥平面PAD，故正确；
对于D，由于M∈平面PAB，故错误．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．用一个截面去截正三棱柱ABC­A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H，已知A1A>A1C1，则截面的形状可以为________(把你认为可能的结果的序号填在横线上).
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．
【解析】由题意知，当截面平行于侧棱时，所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得截面是梯形，即EF∥HG且EH不平行于FG.
答案：②⑤
4．如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．
【解析】因为AC∥平面EFGH，
所以EF∥AC，HG∥AC，所以EF＝HG＝ eq \f(BE,AB) m.
同理，EH＝FG＝ eq \f(AE,AB) n，所以 eq \f(BE,AB) m＝ eq \f(AE,AB) n，
所以AE∶EB＝m∶n.
答案：m∶n
【加固训练】
如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， eq \f(PF,FC) ＝________．
【解析】连接AC交BE于点G，连接FG，
因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，
平面PAC∩平面EBF＝FG，
所以PA∥FG，所以 eq \f(PF,FC) ＝ eq \f(AG,GC) .
又因为AD∥BC，E为AD的中点，
所以 eq \f(AG,GC) ＝ eq \f(AE,BC) ＝ eq \f(1,2) ，所以 eq \f(PF,FC) ＝ eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C.
【证明】由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，
且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，
从而B1C∥A1D.
又A1D⊂平面A1DFE，B1C⊄平面A1DFE，
于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1，
平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，
所以EF∥B1C.
6．(2021·太原高一检测)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC.
(1)若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC；
(2)若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．
【证明】(1)若M为PD的中点，由BD为圆锥底面的直径，有O为BD的中点，
则在△PBD中有MO∥PB，
又MO⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，
则有PB∥平面MAC.
(2)若PB∥平面MAC，由PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面MAC＝MO，可得PB∥MO，
所以在△PBD中， eq \f(DO,OB) ＝ eq \f(DM,MP) ，
又O为BD的中点，则有DM＝MP，
则M为PD的中点．