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新人教A版高中数学必修第二册第七章复数单元形成性评价含解析 试卷
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单元形成性评价(二)(第七章)(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.i是虚数单位,则的虚部是( )A.i B.-iC. D.-【解析】选C.===+i.2.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=( )A.-2+i B.1-2iC.2+i D.1+2i【解析】选C.(x-i)i=y+2i即xi+1=y+2i,故y=1,x=2,所以复数x+yi=2+i.3.设z1=-3+4i,z2=2-3i,其中i为虚数单位,则z1+z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.因为z1=-3+4i,z2=2-3i,所以z1+z2=-3+4i+2-3i=-1+i,所以z1+z2在复平面内对应的点为(-1,1),位于第二象限.4.(2021·舟山高一检测)已知=2+i,则复数z=( )A.1+3i B.1-3i C.3+i D.3-i【解析】选B.由题意,复数=2+i,可得=(2+i)(1+i)=1+3i,所以z=1-3i.5.如图,在复平面内,向量对应的复数是1-i,将向左平移一个单位后得到,则P0对应的复数为( )A.1-i B.1-2iC.-1-i D.-i【解析】选D.要求P0对应的复数,根据题意,只需知道,而,从而可求P0对应的复数.因为=,对应的复数是-1,所以P0对应的复数,即对应的复数是-1+(1-i)=-i.6.已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=( )A.5-4i B.5+4iC.3-4i D.3+4i【解析】选D.由a-i与2+bi互为共轭复数,可得a=2,b=1.所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i.7.如果一个复数和它的模的和为5+i,那么这个复数是( )A. B.iC.+i D.+2i【解析】选C.设这个复数为a+bi(a,b∈R).由题意得a+bi+=5+i,即a++bi=5+i,由复数相等可得:解得所以复数为+i.8.设复数z=cos x+isin x,则函数f(x)=的部分图象可能是( )【解析】选A.f(x)==2|cos x|,所以f(x)的图象为A.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.已知复数z=,则下列结论正确的是( )A.z的虚部为i B.|z|2=2C.z2为纯虚数 D.=-1+i【解析】选BC.因为复数z===1+i,则z的虚部为1,A不正确.|z|2=2,B正确.z2=(1+i)2=2i为纯虚数,C正确.=1-i,D不正确.10.已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值不能为( )A.1 B.-1 C. D.-【解析】选CD.因为复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,所以a2+4=4+1,解得a=±1.11.已知z1与z2是共轭虚数,有下列4个命题,其中一定正确的有( )A.z<|z2|2 B.z1z2=|z1z2|C.z1+z2∈R D.∈R【解析】选BC.z1与z2是共轭虚数,设z1=a+bi,z2=a-bi(a,b∈R,b≠0).A.z=a2-b2+2abi,|z2|2=a2+b2,虚数不能比较大小,因此不正确;B.z1z2=|z1z2|=a2+b2,正确;C.z1+z2=2a∈R,正确;D.===+i不一定是实数,因此不一定正确.12.设i为虚数单位,复数z=(a+i)(1+2i),则下列命题正确的是( )A.若z为纯虚数,则实数a的值为2B.若z在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围是 C.实数a=-是z=(为z的共轭复数)的充要条件D.若z+|z|=x+5i(x∈R),则实数a的值为2【解析】选ACD.z=(a+i)(1+2i)=a-2+(1+2a)i,所以选项A:z为纯虚数,有可得a=2,故正确;选项B:z在复平面内对应的点在第三象限,有解得a<-,故错误;选项C:a=-时z==-;z=时1+2a=0即a=-,它们互为充要条件,故正确;选项D:z+|z|=x+5i(x∈R)时,有1+2a=5即a=2,故正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.i是虚数单位,复数=________.【解析】====4-i.答案:4-i14.若=2-i(其中i是虚数单位),则实数a=________.【解析】因为=2-i,所以1+ai=(1-i)(2-i)=1-3i,所以a=-3.答案:-315.已知复数z=(2a+i)(1-bi)的实部为2,其中a,b为正实数,则4a+的最小值为________.【解析】因为复数z=(2a+i)(1-bi)=2a+b+(1-2ab)i的实部为2,其中a,b为正实数,所以2a+b=2,所以4a+=22a+2b-1≥2=2=2.当且仅当a=,b=时取等号.答案:216.已知2+i,2-i是实系数一元二次方程x2+px+q=0在复数范围内的两个根,则p=________,q=________.【解析】由题意得(2+i)+(2-i)=-p,(2+i)(2-i)=q,所以p=-4,q=5.答案:-4 5四、解答题(共70分)17.(10分)计算:(1);(2).【解析】(1)===2.(2)=====-+i.18.(12分)设复数z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,当a取何值时,(1)z∈R;(2)z是纯虚数;(3)z是零.【解析】(1)z∈R,只需a2-7a+6=0,所以a=1或a=6.(2)z是纯虚数,只需所以a=-2.(3)因为z=0,所以所以a=1.19.(12分)已知z1=m2+i,z2=(2m-3)+i,m∈R,i为虚数单位,且z1+z2是纯虚数.(1)求实数m的值;(2)求z1·2的值.【解析】(1)z1+z2=(m2+2m-3)+(+)i,因为z1+z2是纯虚数所以解得m=1.(2)由(1)知z1=1+i,z2=-1+i,所以2=-1-i,所以z1·2=·=-1-i-i+=--i.20.(12分)已知复数z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-m2+3m-1)i,其中x∈R.(1)若复数z1为实数,求m的值;(2)求|z1+z2|的最小值.【解析】(1)由复数z1为实数,则m2-2m=0,解得m=2或m=0.(2)因为z1+z2=(m+1)+(m-1)i,所以|z1+z2|==,当m=0时,故|z1+z2|的最小值为.21.(12分)已知x2-(3-2i)x-6i=0.(1)若x∈R,求x的值;(2)若x∈C,求x的值.【解析】(1)x∈R时,由方程得(x2-3x)+(2x-6)i=0.则得x=3.(2)x∈C时,设x=a+bi(a,b∈R),代入方程整理,得(a2-b2-3a-2b)+(2ab-3b+2a-6)i=0.则得或故x=3或x=-2i.22.(12分)若z∈C,4z+2=3+i,ω=sin θ-icos θ(θ为实数),i为虚数单位.(1)求复数z;(2)求|z-ω|的取值范围.【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,即6a+2bi=3+i,所以⇒所以z=+i.(2)|z-ω|=====.因为-1≤sin ≤1,所以0≤2-2sin ≤4,所以0≤|z-ω|≤2,故|z-ω|的取值范围是[0,2].
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