新人教A版高中数学必修第二册第十章概率单元形成性评价含解析 试卷

这是一份新人教A版高中数学必修第二册第十章概率单元形成性评价含解析，共10页。
单元形成性评价(五)(第十章)(120分钟　150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．事件A发生的概率接近于0，则(　　)A．事件A不可能发生B．事件A也可能发生C．事件A一定发生D．事件A发生的可能性很大【解析】选B.概率只能度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．2．从高中应届毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选D.设这批学生“体型合格”为事件A，“视力合格”为事件B，“其他标准合格”为事件C，因A，B，C相互独立，所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.3．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”【解析】选A.由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事件．4．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选A.甲、乙两名同学分班有以下情况：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种，其中符合条件的有3种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为＝.5．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB∪ B∪A )＝0.44，则P(B)＝(　　)A．0.3    B．0.4    C．0.5    D．0.6【解析】选A.因为A，B是相互独立事件，所以，B和A，均相互独立．因为P(A)＝0.2，P(AB∪B∪A )＝0.44，所以P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.44，所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，解得P(B)＝0.3.6．如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在1，2，4，5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选C.按规则，小青蛙跳动一次，可能的结果共有4种，跳动三次，可能的结果有16种，而三次跳动后首次跳到5的只有3种可能(3—1—3—5，3—2—3—5，3—4—3—5)，所以，它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是.7．(2021·全国甲卷)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)A．0.3    B．0.5    C．0.6    D．0.8【解析】选C.列出所有情况为：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种情况，其中2个0不相邻的情况有6种，故所求概率为＝0.6.8．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选C.根据频率分布直方图可知产品件数在[10，15)，[15，20)内的人数分别为5×0.02×20＝2，5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10，15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15，20)内的4人分别为C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．则选取这2人不在同一组的概率为.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1，2，3，4，5，6)，若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中不正确的是(　　)A．一定出现“6点朝上”B．出现“6点朝上”的概率大于C．出现“6点朝上”的概率等于D．无法预测“6点朝上”的概率【解析】选ABD.随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关，由于正方体骰子质地均匀，所以它出现哪一面朝上的可能性都是.ABD均不正确．10．下列各选项表述正确的是(　　)A．若事件A与事件B为同一样本空间的两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)B．若事件A与事件B互斥，则P(A)＋P(B)>1C．若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)D．A ∪B表示A，B两事件恰有一个发生【解析】选CD.对于A，同一样本空间内的两个事件A，B，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立，A错；对于B，A与B互斥，则P(A)＋P(B)≤1，B错；对于C，由相互独立事件的定义可知，C正确；对于D，A 表示A发生且B不发生，B表示A不发生且B发生，事件A ∪B表示A，B两事件恰有一个发生，D正确．11．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为(　　)A．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出奇数点}B．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3点}C．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3的倍数点}D．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出的点数小于4}【解析】选ABD.对于A，因为P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝0，所以事件M与事件N不独立；对于B，因为P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝0，所以事件M与事件N不独立；对于C，因为P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝，所以事件M与事件N独立；对于D，因为P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝，所以事件M与事件N不独立．12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配不合理的是(　　)A．甲得9张，乙得3张B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张【解析】选BCD.由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜．于是这两局有四种可能，即(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张).故BCD均不合理．三、填空题(每小题5分，共20分)13．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．【解析】设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝12 000.答案：12 00014．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．【解析】基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为3，故所求概率P＝.答案：15．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为________，“是整数”的概率为________．【解析】因为在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，所以基本事件总数n＝4×3＝12.“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个．所以“不是整数”的概率为＝.“是整数”与“不是整数”是对立事件，其概率为1－＝.答案：　16．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则ξ＝3的概率为________．【解析】设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0，1，2，3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(1·2·3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(1)·P(2)·P(3)＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24.答案：0.24四、解答题(共70分)17．(10分)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的三个黑球，从中任意摸出2个球．(1)共有多少个不同的基本事件，这样的基本事件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？(2)摸出的两个球都是黑球记为事件A，问事件A包含几个基本事件？(3)计算事件A的概率．【解析】(1)任意摸出两球，共有{白球和黑球1}，{白球和黑球2}，{白球和黑球3}，{黑球1和黑球2}，{黑球1和黑球3}，{黑球2和黑球3}6个基本事件．因为4个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件都是等可能事件．由古典概型定义知，这个试验是古典概型．(2)从4个球中摸出2个黑球包含3个基本事件．故事件A包含3个基本事件．(3)因为试验中基本事件总数n＝6，而事件A包含的基本事件数m＝3.所以P(A)＝＝＝.18．(12分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．【解析】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为p＝＝.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.19．(12分)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A班6　6.5　7　7.5　8B班6　7　8　9　10　11　12C班3　4.5　6　7.5　9　10.5　12　13.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．【解析】(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×＝40(人).(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1，2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1，2，…，8.由题意可知，P(Ai)＝，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝，j＝1，2，…，8.P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝.20．(12分)某食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A，B，C，D，E.现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：XABCDE频率0.10.20.450.150.1从等级系数为A，D，E的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同).(1)求取出的两件样品是等级系数为A与D的概率；(2)求取出的两件样品是不同等级的概率．【解析】(1)A级所取的样品数为20×0.1＝2，D级所取的样品数为20×0.15＝3，E级所取的样品数为20×0.1＝2.将等级系数为A的2件样品分别记为a1，a2；等级系数为D的3件样品分别记为x1，x2，x3；等级系数为E的2件样品分别记为y1，y2；现从a1，a2，x1，x2，x3，y1，y2这7件样品中一次性任取两件，共有21个不同的结果，分别为(a1，a2)，(a1，x1)，(a1，x2)，(a1，x3)，(a1，y1)，(a1，y2)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3)，(a2，y1)，(a2，y2)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2).记事件M为“取出的两件样品是等级系数为A与D”，则事件M所包含的样本点有6个，分别为(a1，x1)，(a1，x2)，(a1，x3)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3).所以事件M的概率P(M)＝＝.(2)方法一：记事件N为“取出的两件样品是等级系数为A与E”，则事件N所包含的样本点有4个，分别为(a1，y1)，(a1，y2)，(a2，y1)，(a2，y2)，所以事件N的概率P(N) ＝.记事件Q为“取出的两件样品是等级系数为D与E”，则事件Q所包含的样本点有6个，分别为(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，所以事件Q的概率P(Q)＝＝.因为事件M，N，Q为互斥事件，所以取出的两件样品是不同等级的概率为P(M∪N∪Q)＝P(M)＋P(N)＋P(Q) ＝.方法二：记事件L为“取出的两件样品是不同等级”，则事件为“取出的两件样品是同等级”，所以事件所含的样本点有5种，分别为(a1，a2)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，所以事件的概率P()＝，所以P(L)＝1－P()＝1－＝，即取出的两件样品是不同等级的概率为.21．(12分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；(3)求ξ＝0与ξ＝2的概率．【解析】(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xzy＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24.(3)根据题意，知ξ可能的取值为0，2，P(ξ＝0)＝0.24.根据对立事件的性质，知P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)＝0.76.22．(12分)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)(单位：克)中，经统计的频率分布直方图如图所示．某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以9元/千克收购；方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．(1)求抽取的100个芒果质量的平均数；(2)若按分层随机抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；(3) 种植园选择哪种方案获利更多．【解析】(1)频率分布直方图知，这组数据的平均数≈ 0.07×125＋0.15×175＋0.20×225＋0.30×275＋0.25×325＋0.03×375＝255.(2)利用分层随机抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为b1，b2，b3；从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3).记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A有4个样本点：(a1，a2)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，从而P(A)＝＝.(3)方案①收入：y1＝×10 000×9＝×10 000×9＝22 950(元)；方案②：低于250克的芒果收入为(0.07＋0.15＋0.2)×10 000×2＝8 400(元)；不低于250克的芒果收入为(0.25＋0.3＋0.03)×10 000×3＝17 400(元)；故方案②的收入为y2＝84 00＋17 400＝25 800(元).由于22 950<25 800，所以选择方案②获利多．