苏教版 (2019)必修 第二册第13章 立体几何初步13.2 基本图形位置关系第2课时课后练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第13章 立体几何初步13.2 基本图形位置关系第2课时课后练习题，共14页。试卷主要包含了二面角的概念，平面与平面垂直的判定定理，下列说法等内容，欢迎下载使用。


1．二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
(2)二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面，如图①，②中，棱为l或AB，面为α，β记作α­l­β(α­AB­β)或P­l­Q(P­AB­Q)(P，Q分别为在α，β内且不在棱上的点).
(3)二面角的平面角
文字表述：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
图形语言：
符号语言：α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB为二面角α­l­β的平面角．
(4)二面角大小的度量
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．二面角α的大小范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
2．平面与平面垂直的判定定理
(1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：两个互相垂直的平面通常画成如图(1)，(2)所示．
此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β.
(3)平面与平面垂直的判定定理
3.平面与平面垂直的性质定理
1．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( )
A．ME⊥平面AC B．ME⊂平面AC
C．ME∥平面AC D．以上都有可能
【解析】选A.由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.
2．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A.2对 B．3对 C．4对 D．5对
【解析】选D.由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对．
3．下列说法：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角．
其中正确的是________．(填序号)
【解析】对于①，混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个平面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对于③，因为不垂直于棱，所以是错误的．
答案：②
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．
【解析】因为BD⊥AC，BD⊥C1C，且AC∩C1C＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C.
因为BD⊂平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C1BD.
答案：垂直
5．如图，平面角为锐角的二面角α­EF­β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α­EF­β的平面角．
【解析】作GH⊥β于点H，作HB⊥EF于点B，连接AH，GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，
设AG＝a，则GB＝ eq \f(\r(2),2) a，GH＝ eq \f(1,2) a，sin ∠GBH＝ eq \f(GH,GB) ＝ eq \f(\r(2),2) ，
所以∠GBH＝45°，故二面角α­EF­β的平面角为45°.
一、单选题
1．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【解析】选D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．
2．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为( )
A．a B． eq \f(1,2) a C． eq \f(\r(3),2) a D． eq \r(3) a
【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BD⊥CE，BD⊥A1E.
于是∠A1EC为二面角A1­BD­C的平面角．
故∠A1EC＝60°.
因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形．
所以A1E＝CE＝A1C＝ eq \f(\r(3),2) a.
3．设α­l­β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么说法中正确的是( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
【解析】选C.当a，b都与l平行时，
则a∥b，所以A，D错．如图，若a⊥b，
过a上一点P在α内作a′⊥l，
因为α⊥β，所以a′⊥β.
又b⊂β，所以a′⊥b，
所以b⊥α，与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直．
4．(2021·宁波高一检测)已知直线a，b，平面α，β，下列命题：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β；
③若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
④若a⊥α，α⊥β，则α∥β
其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【解析】选A.对于①，若a∥b，a⊥α，则由线面垂直的性质可得b⊥α，故①正确；
对于②，若α∥β，a⊥α，则由线面垂直的性质可得a⊥β，故②正确；
对于③，若a∥α，则存在a′⊂α，使得a∥a′，若a⊥β，则a′⊥β，则α⊥β，故③正确；
对于④，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，故④错误．
5．(2021·舟山高一检测)三棱锥的各棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
【解析】选C.对于A中，因为D，F分别是AB，CA的中点，可得BC∥DF，
因为BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，
所以BC∥平面PDF，
所以A正确，不符合题意；
对于B中，因为AC＝AB，BE＝EC，
所以BC⊥AE，同理可得BC⊥PE，
又因为PE∩AE＝E，
所以BC⊥平面PAE,
又由BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，
所以B正确，不符合题意；
对于D中，由DF⊥平面PAE，
因为DF⊂平面ABC，
所以平面PAE⊥平面ABC，
所以D正确，不符合题意，C不正确，符合题意．
二、多选题
6．(2021·镇江高一检测)若m，n是两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列说法正确的有( )
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若m∥α，n∥β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【解析】选CD.A. 若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故A不正确；B.若m，n都与两平面的交线平行，也满足条件，但不能推出α∥β，故B不正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故C正确；D. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故D正确．
7．(2021·唐山高一检测)如图，在三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，且△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，给出下列结论中，正确的是( )
A.SB⊥AC
B．SB⊥平面ABC
C．平面SBC⊥平面SAC
D．点C到平面SAB的距离为 eq \f(\r(3),2) a
【解析】选ABC.由于AC⊥BC，AC⊥SC，SC，BC⊂平面SBC，SC∩BC＝C，所以AC⊥平面SBC，
所以SB⊥AC，故选项A正确；
前面已经证明AC⊥平面SBC，AC⊂平面SAC，所以平面SBC⊥平面SAC，所以选项C正确；
因为SB⊥AC，SB⊥AB，AB，AC⊂平面ABC，AB∩AC＝A，所以SB⊥平面ABC，故选项B正确；
取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，CD⊥SB，因为AB，SB⊂平面SAB，AB∩SB＝B，故CD⊥平面SAB，则CD的长度即为点C到平面SAB的距离，而CD＝ eq \f(1,2) a，故选项D错误．
三、填空题
8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个结论：
①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；
③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.
则所有正确结论的序号是________．
【解析】若l⊂β，α⊥β，则l，α可以平行或相交，l也可能在平面α内，故①错误；由面面平行的性质、线面垂直的判定方法，得②正确；若l⊥β，α⊥β则l∥α或l⊂α，故③错误；若α∩β＝m，l∥m，则l∥α或l⊂α，故④错误．所以正确结论的序号是②.
答案：②
四、解答题
9．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝ eq \f(1,3) DB，点C为圆O上一点，且BC＝ eq \r(3) AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD.
【证明】连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，
又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，
由 eq \r(3) AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.
一、选择题
1．如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A.一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
2．如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】选D.连接B′C，则△AB′C为等边三角形，
设AD＝a，则B′C＝AC＝ eq \r(2) a，B′D＝DC＝a，
所以B′C2＝B′D2＋DC2，
所以∠B′DC＝90°.
3．(多选)(2021·泉州高一检测)如图菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE的位置后，连接A1C，A1B.若F是A1C的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的有( )
A．异面直线A1E与DC所成的角不断变大
B．二面角A1­DC­E的平面角恒为45°
C．点F到平面A1EB的距离恒为 eq \f(\r(3),2)
D．当A1在平面EBCD的投影为E点时，直线A1C与平面EBCD所成角最大
【解析】选CD.因为DC∥AB，可知∠A1EB或其补角即是异面直线A1E与DC所成的角，
在翻折的过程中，异面直线A1E与DC所成的角是先增大后减小，所以选项A不正确；
二面角A1­DC­E的平面角不是定值，所以选项B不正确；
因为F是A1C的中点，所以F到平面A1EB的距离是C到平面A1EB的距离的一半，
因为DC∥EB，DC⊄平面A1EB，EB⊂平面A1EB，所以DC∥平面A1BE，
所以C到平面A1EB的距离等于D到平面A1EB的距离，
又因为DE⊥EB，DE⊥EA1，EA1∩EB＝E，
所以DE⊥平面A1EB，易知DE＝ eq \r(3) ，
所以点D到平面A1EB的距离为 eq \r(3) ，
即点F到平面A1EB的距离恒为 eq \f(\r(3),2) ，所以选项C正确；
因为DE⊥平面A1EB，DE⊂平面DEBC，所以平面A1EB⊥平面DEBC，
平面A1EB∩平面DEBC＝EB，在平面A1EB中，作A1H⊥EB，垂足为H，则A1H⊥平面DEBC，直线A1C与平面EBCD所成角为∠A1CH，
因为A1H二、填空题
4．如图，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，这时顶点A到BC的距离是________．
【解析】在翻折后的图形中，∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，
即∠BDC＝60°，AD⊥平面BDC.
过D作DE⊥BC于E，连接AE，
则E为BC的中点，且AE⊥BC，
所以AE即为点A到BC的距离．
易知，AD＝ eq \f(\r(3),2) a，△BCD是边长为 eq \f(a,2) 的等边三角形，
所以DE＝ eq \f(\r(3),4) a，AE＝ eq \r(AD2＋DE2) ＝ eq \f(\r(15),4) a.
答案： eq \f(\r(15),4) a
5．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．
【解析】如图：因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA⊂α，根据两平面垂直的判定定理，可得α⊥β.
答案：两平面垂直的判定定理
6．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是__________．
【解析】如图，过A作AO⊥BD于O 点，
因为平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
因为∠BAD＝90°，AB ＝AD.所以∠ADO＝45°.
答案：45°
7．如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
(1)平面PBE与平面PAB的位置关系是________；
(2)平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值为________．
【解析】(1)连接BD.
因为四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，
所以△BCD是等边三角形，
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，所以BE⊥AB.
因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE，
又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A，
所以BE⊥平面PAB，
又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)延长AD，BE相交于点F，连接PF，过点A作AH⊥PB于H，
由(1)知平面PBE⊥平面PAB，
所以AH⊥平面PBE.PF⊂平面PBE，则AH⊥PF，
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以AF＝2AB＝2＝AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG，
则AG⊥PF，连接HG.AG∩AH＝A，AG⊂平面AGH，AH⊂平面AGH，
所以PF⊥平面AGH，所以PF⊥HG，
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成的二面角的平面角(锐角).
在等腰Rt△AGP中，AG＝ eq \f(\r(2),2) AP＝ eq \r(2) ，
在Rt△PAB中，AH＝ eq \f(AP·AB,PB) ＝ eq \f(AP·AB,\r(AP2＋AB2)) ＝ eq \f(2,\r(5)) ＝ eq \f(2\r(5),5) ，
所以，在Rt△AHG中，sin ∠AGH＝ eq \f(AH,AG) ＝ eq \f(\f(2\r(5),5),\r(2)) ＝ eq \f(\r(10),5) ，
故平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值为 eq \f(\r(10),5) .
答案：(1)垂直 (2) eq \f(\r(10),5)
三、解答题
8．如图，在三棱锥A BCD中，AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
【解题指南】(1)根据AB⊥AD，EF⊥AD，可得EF∥AB，从而得EF∥平面ABC.
(2)证明BC⊥AD，再由AB⊥AD，从而可得AD⊥平面ABC，即得AD⊥AC.
【证明】(1)在平面ABD内，
因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD, BC⊂平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，
所以BC⊥AD.
又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.
9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．
(1)求证：平面MNF⊥平面NEF；
(2)求二面角M­EF­N的平面角的正切值．
【解析】(1)因为N，F均为所在棱的中点，
所以NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN⊂平面A1B1C1D1，所以NF⊥MN.
又因为M，E均为所在棱的中点，
所以△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形，
所以∠MNC1＝∠B1NE＝45°，
所以∠MNE＝90°，
所以MN⊥NE.
又NF∩NE＝N，
所以MN⊥平面NEF.
而MN⊂平面MNF，
所以平面MNF⊥平面NEF.
(2)在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.
由(1)知MN⊥平面NEF，
又EF⊂平面NEF，
所以MN⊥EF.
NG⊂平面NEF，所以MN⊥NG.
又MN∩NG＝N，
所以EF⊥平面MNG，
所以EF⊥MG.
所以∠MGN为二面角M­EF­N的平面角．
设该正方体的棱长为2.
在Rt△NEF中，NG＝ eq \f(NE·NF,EF) ＝ eq \f(\r(2)×2,\r(6)) ＝ eq \f(2\r(3),3) ，
所以在Rt△MNG中，
tan ∠MGN＝ eq \f(MN,NG) ＝ eq \f(\r(2),\f(2\r(3),3)) ＝ eq \f(\r(6),2) .
所以二面角M­EF­N的平面角的正切值为 eq \f(\r(6),2) .文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
图形语言
符号语言
⇒a⊥β