高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系第2课时综合训练题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系第2课时综合训练题，共20页。
【概念认知】
1．异面直线判定定理
文字语言：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
符号语言：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线．
图形语言：
2．异面直线所成的角或夹角
定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．
若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b.
【自我小测】
1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
【解析】选C.假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．
2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
【解析】选B.因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.
3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面但不垂直 D．异面且垂直
【解析】选D.因为正方体的对面平行，且直线A1C1与BD不平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．
4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ eq \r(3) ，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(2),4) B． eq \f(\r(14),4) C． eq \f(\r(28),14) D． eq \f(\r(2),2)
【解析】选A.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，D1B1∥DB，所以∠DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角，因为AB＝BC＝1，AA1＝ eq \r(3) ，所以DB＝ eq \r(2) ，BC1＝2，DC1＝2，由余弦定理得cs ∠DBC1＝ eq \f(DB2＋BC eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －DC eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2DB·BC1) ＝ eq \f(2,4\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),4) .所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为 eq \f(\r(2),4) .
5．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________.
【解析】因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.
答案：60°
6．空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为________．
【解析】取AD的中点H，连FH，EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.
答案：30°
7．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.
【证明】取CD1的中点G，连接EG，DG，
因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG＝ eq \f(1,2) BC.
因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
所以DF∥BC，DF＝ eq \f(1,2) BC，所以EG∥DF，EG＝DF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，
所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又因为A1A＝AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DG⊥CD1，所以∠D1GD＝90°，所以CD1⊥EF.
【基础全面练】
一、单选题
1．若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．以上皆有可能
【解析】选D.平面α，β相交，如图所示：
则a⊂α，b⊂β，a∥b；又a⊂α，c⊂β，a、c异面；c⊂β，d⊂α，c，d相交；所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交．
2．直线c，d与异面直线a，b都相交，则c，d的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交于一点或异面
【解析】选D.已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，
当点B与点C重合时直线c与d相交，当点B与点D不重合时直线c与d异面．
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有( )
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
【解析】选D.在正方体ABCD­A1B1C1D1中与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．
4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有( )
A．2条 B．1条 C．3条 D．4条
【解析】选B.与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
5．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A．梯形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
【解析】选D.连接AC，BD.因为E，F，G，H分别为各边中点，如图．
所以FGEH eq \f(1,2) BD，HGEF eq \f(1,2) AC，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为BD⊥AC且BD＝AC，
所以FG⊥HG且FG＝HG，所以四边形EFGH为正方形．
6．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为( )
A.1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．2
【解析】选B.取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD.
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角．
因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝ eq \r(2) AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为 eq \r(2) ，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 eq \r(2) .
二、多选题
7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是( )
A．直线EF，OD1是异面直线，且EF＝OD1
B．直线OD1，B1B是异面直线且OD1≠B1B
C．直线EF，OD1是相交直线，且EF＝OD1
D．直线OD1，B1B是相交直线且OD1＝B1B
【解析】选ABD.因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，如图，四边形D1EOF是矩形，直线EF，OD1是相交直线，A错误，直线OD1，B1B是相交直线，B错误；EF＝OD1，OD1≠B1B，D错误．
8．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为( )
A．15° B．30° C．45° D．75°
【解析】选AD.如图所示，取AC的中点G，
连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝ eq \f(1,2) AB，
GF∥CD且GF＝ eq \f(1,2) CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．因为AB与CD所成角为30°，所以∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
三、填空题
9．点E，F分别是三棱锥P­ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为________．
【解析】如图，取PB的中点G，
连接EG，FG，则EG eq \f(1,2) AB，GF eq \f(1,2) PC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝ eq \f(1,2) AB＝3，FG＝ eq \f(1,2) PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.
答案：90°
10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论正确的为________．(填序号)
【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
四、解答题
11．如图所示，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.
【解析】(1)因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，
因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
12．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D.
【证明】如图，连接BD，交AC于O，
设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角．
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
【综合突破练】
一、选择题
1．(2021·杭州高一检测)如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和A1C1的中点，则MN与AB1所成角的余弦值为( )

A． eq \f(\r(10),5) B．－ eq \f(\r(10),10)
C．－ eq \f(\r(10),5) D． eq \f(\r(10),10)
【解析】选D.取A1B1的中点P，连接PN、PB，设PB∩AB1＝Q，设AB＝2，
因为P、N分别为A1B1、A1C1的中点，则PN∥B1C1且PN＝ eq \f(1,2) B1C1，
在正三棱柱ABC­A1B1C1中，BC∥B1C1且BC＝B1C1，
因为M为BC的中点，所以，BM∥PN且BM＝PN，
则四边形BMNP为平行四边形，所以MN∥PB，所以异面直线MN与AB1所成的角为∠AQB或其补角，
AB1＝ eq \r(AB2＋BB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝2 eq \r(2) ，PB＝ eq \r(PB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋BB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \r(5) ，
因为A1B1∥AB，则 eq \f(PQ,BQ) ＝ eq \f(B1Q,AQ) ＝ eq \f(PB1,AB) ＝ eq \f(1,2) ，
所以AQ＝ eq \f(2,3) AB1＝ eq \f(4\r(2),3) ，BQ＝ eq \f(2,3) PB＝ eq \f(2\r(5),3) ，
由余弦定理可得cs ∠AQB＝ eq \f(AQ2＋BQ2－AB2,2AQ·BQ) ＝ eq \f(\r(10),10) .
因此MN与AB1所成角的余弦值为 eq \f(\r(10),10) .
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A. eq \f(\r(10),5) B． eq \f(\r(15),5) C． eq \f(4,5) D． eq \f(2,3)
【解析】选B.取BC的中点G，连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE，OH，因为E是CC1的中点，所以GC1∥HE，所以∠OEH为异面直线OE和FD1所成的角．在△OEH中，OE＝ eq \r(3) ，HE＝ eq \f(\r(5),2) ，OH＝ eq \f(\r(5),2) ，由余弦定理可得cs ∠OEH＝ eq \f(OE2＋EH2－OH2,2OE·EH) ＝ eq \f(\r(15),5) .
3．(多选)如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P­DEF，则在此正四面体中，下列说法正确的是( )
A．PG与DH所成的角的正弦值为 eq \f(2,3)
B．DF与PE成角 eq \f(π,2)
C．GH与PD所成的角为 eq \f(π,4)
D．PG与EF所成角的余弦值为 eq \f(\r(3),6)
【解析】选BCD.△ABC的边长为4，折成正四面体
P­DEF后，如下图所示，
因为D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，所以DH⊥FP，DE⊥GP，
连接FG，取GF中点M，则HM∥GP，所以异面直线PG与DH所成角为∠DHM(或补角)，
因为GP＝ eq \r(3) ，所以HM＝ eq \f(\r(3),2) ，连接MD，得DM＝ eq \f(\r(7),2) ，DH＝ eq \r(3) ，cs ∠DHM＝ eq \f(（\r(3)）2＋（\f(\r(3),2)）2－（\f(\r(7),2)）2,2×\r(3)×\f(\r(3),2)) ＝ eq \f(2,3) ，
所以PG与DH所成的角的正弦值为： eq \r(1－（\f(2,3)）2) ＝ eq \f(\r(5),3) ，故A错误；
正四面体P­DEF中，取DF中点N，连接PN，EN，则PN⊥DF，EN⊥DF，PN∩EN＝N，所以DF⊥平面PEN，所以DF⊥PE，所以DF与PE成角 eq \f(π,2) ，故B正确；
连结GN，HN，则NH∥DP，
所以异面直线GH与PD所成的角为∠GHN(或补角)，GH＝ eq \r(GP2－（\f(PF,2)）2) ＝ eq \r(3－1) ＝ eq \r(2) ，GN＝HN＝1，cs ∠GHN＝ eq \f(2＋1－1,2×\r(2)×1) ＝ eq \f(\r(2),2) ，所以∠GHN＝ eq \f(π,4) ，所以GH与PD所成的角为 eq \f(π,4) ，故C正确；异面直线PG与EF所成角为∠PGN(或补角)，由题知PN＝ eq \r(3) 故cs ∠PGN＝
eq \f(PG2＋GN2－PN2,2×PG×GN) ＝ eq \f(3＋1－3,2×\r(3)×1) ＝ eq \f(\r(3),6) ，故D正确．
二、填空题
4．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．
【解题指南】求异面直线所成的角要找到它们的平行线，已知条件中的角会给解题提供方向．
【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
答案：60°
5．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1(侧棱垂直于底面内的所有直线)，其中ABCD是正方形且边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________．
【解析】因为AA1∥DD1，所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角，连接BD，
在Rt△D1DB中，sin ∠DD1B＝ eq \f(DB,BD1) ＝ eq \f(2\r(2),2\r(6)) ＝ eq \f(\r(3),3) .
因为AD∥BC，所以∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，连接D1C，在△D1BC中，
因为长方体ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，
高为4，所以D1B＝2 eq \r(6) ，BC＝2，D1C＝2 eq \r(5) ，
D1B2＝BC2＋D1C2，所以∠D1CB＝90°，
所以sin ∠D1BC＝ eq \f(D1C,D1B) ＝ eq \f(2\r(5),2\r(6)) ＝ eq \f(\r(30),6) ，故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是 eq \f(\r(30),6) .
答案： eq \f(\r(3),3) eq \f(\r(30),6)
6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．
【解析】取A1B1中点M，连接MG，MH，
则MG∥EF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角．
易知△MGH为正三角形，∠MGH＝60°，
所以EF与GH所成的角等于60°.
答案：60°
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，
所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
所以∠MPN＝90°，PN＝ eq \f(1,2) AC＝4，PM＝ eq \f(1,2) BD＝3，
所以MN＝5.
答案：5
三、解答题
8．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线，
则EF与BD共面，从而DF与BE共面，
即AD与BC共面，
所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．
故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，
连接EG，FG，
则EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，
即为异面直线EF与BD所成的角，
由FG∥AC，EG∥BD，且AC⊥BD得EG⊥FG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝ eq \f(1,2) AC，
求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点．求异面直线A1M与DN所成的角的大小．
【解析】如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).
设正方体的棱长为a，
则A1M＝ eq \f(3,2) a，ME＝ eq \f(\r(5),4) a，A1E＝ eq \f(\r(41),4) a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，
所以∠A1ME＝90°，
即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
【素养培优练】
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．如图，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱A1D1的中点，，若过点A，E，F的平面分别交棱CC1，BC于点G，H，则线段GH的长度为( )
A． eq \f(\r(34),3) B． eq \f(4\r(5),3) C． eq \f(\r(97),3) D． eq \f(10,3)
【解析】选B.由知，D1F＝3，FC1＝1，取AD的中点K，在线段DC上取点L，使LD＝3，则LC＝1，
由KDED1，所以四边形KDD1E为平行四边形，KEDD1，由LDFD1，所以四边形DD1FL为平行四边形，FLDD1，所以FLKE，
所以四边形FLKE为平行四边形，EFKL，
在DC的延长线上取点P，使CP＝2，连结AP，
则L是线段DP的中点，所以KL eq \f(1,2) AP，
所以EF∥AP，所以过点A，E，F的平面与棱BC的交点H就是线段AP与线段BC的交点，
设直线EF与B1C1交于点M，连结MH，
则MH和CC1的交点就是过点A，E，F的平面与棱CC1的交点G，
由△D1EF和△C1MF相似，易求MC1＝ eq \f(2,3) ，
由△PCH和△PDA相似，易求HC＝ eq \f(4,3) ，
由△C1GM和△CGH相似，易求GC＝ eq \f(8,3) ，
所以GH＝ eq \r(HC2＋GC2) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2) ＝ eq \f(4\r(5),3) .
2．如图，已知三棱柱ABC­A′B′C′的底面是正三角形，侧棱AA′⊥底面ABC，AB＝9，AA′＝3，点P在四边形ABB′A′内，且P到AA′，A′B′的距离都等于1，若D为BC上靠近C的四等分点，过点P且与A′D平行的直线交三棱柱ABC­A′B′C′于点P，Q两点，则点Q所在平面是( )
A．ACC′A′ B．BCC′B′
C．ABC D．ABB′A′
【解析】选C.如下图所示，连接A′P并延长交直线AB于点M，
由于点P在四边形AA′B′B内，且点P到AA′，A′B′的距离都等于1，可知∠AA′M＝45°，
则△AA′M为等腰直角三角形，且AM＝AA′＝3