高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算第1课时课时训练

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算第1课时课时训练，共9页。试卷主要包含了向量的数量积，向量数量积的性质，向量数量积的运算律等内容，欢迎下载使用。

1．向量的数量积
2.投影与投影向量
(1)变换：
(2)结论：称上述变换为向量a向向量b投影，叫作向量a在向量b上的投影向量．
(3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) csθe．
3．向量数量积的性质
(1)条件：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量．
(2)性质：①a·e＝e·a＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) cs θ．
②a⊥b⇔a·b＝0．
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ eq \r(a·a) .
④|a·b|≤|a||b|．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
1．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
【解析】选A.因为a·b＞0，所以cs θ＞0.又0≤θ≤π，所以0≤θ＜ eq \f(π,2) .
2．已知正方形ABCD的边长为2，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) )＝( )
A．2 eq \r(2) B．3 C．4 D．3 eq \r(3)
【解析】选C.因为四边形ABCD 为正方形，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→)))) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→))
＝| eq \(AB,\s\up6(→)) |·| eq \(AC,\s\up6(→)) |cs 45°＝2×2 eq \r(2) × eq \f(\r(2),2) ＝4.
3．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝1，则|a－2b|＝________.
【解析】因为a⊥b，所以a·b＝0，
所以|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5，所以|a－2b|＝ eq \r(5) .
答案： eq \r(5)
4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
【解析】设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cs θ＝－6，所以cs θ＝ eq \f(1,2) ，
因为0≤θ≤π，故θ＝ eq \f(π,3) .
答案： eq \f(π,3)
5．已知 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝3，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于60°，90°，120°时，求向量a在向量e上的投影向量．
【解析】当θ＝60°时，向量a在向量e上的投影向量为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) cs θ e＝3×cs 60°e＝ eq \f(3,2) e.当θ＝90°时，向量a在向量e上的投影向量为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) cs θ e＝ 3×cs 90°e＝0.
当θ＝120°时，向量a在向量e上的投影向量为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) cs θ e＝ 3×cs 120°e＝－ eq \f(3,2) e.
一、单选题
1．已知单位向量a，b满足|b－2a|＝ eq \r(3) ，则a·b＝( )
A．－ eq \f(1,2) B．－2 C． eq \f(1,2) D．2
【解析】选C.因为|a|＝|b|＝1，|b－2a|＝ eq \r(3) ，两边同时平方得，b2＋4a2－4a·b＝3，故a·b＝ eq \f(1,2) .
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3a＋b|＝( )
A． eq \r(7) B． eq \r(10) C． eq \r(13) D．13
【解析】选C.根据题意，a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，则a·b＝ eq \f(1,2) ，则|3a＋b|＝ eq \r(9a2＋6a·b＋b2) ＝ eq \r(13) .
3．若向量a，b满足|a|＝2，(a＋2b)·a＝6，则b在a方向上的投影为( )
A．1 B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(1,2) D．－1
【解析】选B.因为|a|＝2，所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝6，
所以a·b＝1，所以b在a方向上的投影为 eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))) ＝ eq \f(1,2) .
4．等边三角形ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(BC,\s\up6(→)) 的夹角为( )
A．60° B．－60° C．120° D．150°
【解析】选C.延长AB到D，则∠CBD为 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(BC,\s\up6(→)) 的夹角，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(BC,\s\up6(→)) 的夹角为120°.
5．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A．(a＋b)2＝|a＋b|2 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．|a·b|≤|a|·|b| D．|a－b|≤||a|－|b||
【解析】选D.因为a2＝|a|2，所以(a＋b)2＝|a＋b|2正确，所以A正确不符合题意；(a＋b)(a－b)＝a2－b2，满足向量的运算法则，所以B正确不符合题意；|a·b|＝|a|·|b||cs 〈a，b〉|≤|a|·|b|，所以C正确不符合题意；如果两个向量是相反向量，|a－b|≤||a|－|b||不正确，所以D不正确，符合题意．
6．已知m≠0，向量a＝(m，n)，b＝(－2，m)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数n＝( )
A．± eq \r(2) B． eq \r(2) C．－2 D．2
【解析】选D.因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，所以－2m＋mn＝0，因为m≠0，所以n＝2.
二、填空题
7．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为 eq \f(π,3) ，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，记向量a在向量b上的投影向量为xe1＋ye2，则x＝________，y＝________．
【解析】由投影向量的定义可知：
向量a在向量b上的投影向量与向量b共线，故y＝0，
又a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e12＋6e1·e2＝2＋6· eq \f(1,2) ＝5，故x＝|a|cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|b|) ＝5× eq \f(1,2) ＝ eq \f(5,2) .
答案： eq \f(5,2) 0
8．四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OD，AC＝2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若 eq \(DE,\s\up6(→)) · eq \(DB,\s\up6(→)) ＝6，则四边形ABCD的面积为______．
【解析】因为OB＝2OD，所以 eq \(DB,\s\up6(→)) ＝3 eq \(DO,\s\up6(→)) ，
则 eq \(DE,\s\up6(→)) · eq \(DB,\s\up6(→)) ＝ eq \(DE,\s\up6(→)) ·3 eq \(DO,\s\up6(→)) ＝6，
所以 eq \(DE,\s\up6(→)) · eq \(DO,\s\up6(→)) ＝2，
又因为DE⊥AC，所以| eq \(DE,\s\up6(→)) |2＝2，得| eq \(DE,\s\up6(→)) |＝ eq \r(2) ，
所以S△DAC＝ eq \f(1,2) ×AC·DE＝ eq \f(1,2) ×2× eq \r(2) ＝ eq \r(2) ，
又S△BAC＝2S△DAC＝2 eq \r(2) ，
所以四边形ABCD的面积为 eq \r(2) ＋2 eq \r(2) ＝3 eq \r(2) .
答案：3 eq \r(2)
9．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝ eq \r(2) ，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝______； eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝______．
【解析】由题意知AC＝BC＝1， eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AB,\s\up6(→)) |×| eq \(AC,\s\up6(→)) |×cs 45°＝ eq \r(2) ×1× eq \f(\r(2),2) ＝1； eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AB,\s\up6(→)) |×| eq \(BC,\s\up6(→)) |×cs 135°＝ eq \r(2) ×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))) ＝－1.
答案：1 －1
10.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，记 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a，从点A，B，C，D，E，F这六点中任取两点为向量b的起点和终点，则a·b的最大值为______．
【解析】可看出从点A，B，C，D，E，F这六点中任取两点为向量b的起点和终点构成的b中，cs 〈 eq \(FC,\s\up6(→)) ， eq \(AB,\s\up6(→)) 〉＝1最大，且| eq \(FC,\s\up6(→)) |＝2，所以a·b的最大值为 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(FC,\s\up6(→)) ＝2.
答案：2
三、解答题
11．已知△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b，当a·b满足下列哪个条件时，能确定△ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由．
①a·b＜0；②a·b＝0；③a·b＞0.
【解析】因为a·b＝|a||b|cs ∠BAC，
①a·b＜0，可得cs ∠BAC＜0，所以∠BAC＞90°，△ABC的形状能确定，是钝角三角形；
②a·b＝0，可得cs ∠BAC＝0，所以∠BAC＝90°，△ABC的形状能确定，是直角三角形；
③a·b＞0，可得cs ∠BAC＞0，所以∠BAC＜90°，但不能确定△ABC的形状．
12．如图所示，已知各单元格都是边长为1的正方形，求出以下向量的数量积．
(1)b·a；(2)c·a；(3)d·a.
【解析】(1)由题图可知|a|＝1，|b|＝ eq \r(2) ，〈b，a〉＝ eq \f(π,4) ，
所以b·a＝|b||a|cs eq \f(π,4) ＝ eq \r(2) ×1× eq \f(\r(2),2) ＝1.
(2)由题图可知，c·a＝0.
(3)由题图可知，向量d在向量a上的投影的数量为－1，且a为单位向量，
因此根据向量数量积的几何意义可知d·a＝－1.
一、选择题
1．已知向量a，b满足|a|＝ eq \r(3) ，|b|＝2 eq \r(3) ，a·b＝－3，则a与b的夹角是( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
【解析】选B.设a与b的夹角为θ，
则cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(－3,\r(3)×2\r(3)) ＝－ eq \f(1,2) ，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.
2．已知等边△ABC的边长为2，则向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 在向量 eq \(CA,\s\up6(→)) 方向上的投影向量为( )
A．－ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→)) B． eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→))
C．2 eq \(AC,\s\up6(→)) D．2 eq \(CA,\s\up6(→))
【解析】选A.在等边△ABC中，因为∠A＝60°，所以向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 在向量 eq \(AC,\s\up6(→)) 方向上的投影向量为 eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ，所以向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 在向量 eq \(CA,\s\up6(→)) 方向上的投影向量为－ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→)) .
3．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( )
A． eq \r(2) －1 B．1 C． eq \r(2) ＋1 D． eq \r(2)
【解析】选A.因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b，
所以a·b＝0，
所以|a－b|＝ eq \r(（a－b）2) ＝ eq \r(a2＋b2－2a·b) ＝ eq \r(2) ，
所以|a－b－c|≥|a－b|－|c|＝ eq \r(2) －1.
4．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则有( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|