高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系第3课时课后作业题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系第3课时课后作业题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．(2021·武汉高一检测)已知m，n为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是( )
A．m⊥n，m∥α⇒n⊥α B．n∥β，β⊥α⇒n⊥α
C．m∥n，m⊥β⇒n⊥β D．m∥α，n⊂α⇒m∥n
【解析】选C.A.m⊥n，m∥α ，则n也可在平面α内，故选项A不正确．
B．n∥β，β⊥α ，则n也可在平面α内， 故选项B不正确．
C. m∥n，m⊥β⇒n⊥β成立，两平行线m，n，m⊥平面β，m必垂直于β内的两条相交直线，则n必定垂直于β内那两条相交直线，n⊥β， 故C正确．
D．m∥α，n⊂α，则m，n也可是异面直线的关系．故选项D不正确．
2．(2021·南通高一检测)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列命题中假命题是( )
A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
B．若m∥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
C．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
【解析】选C.A.若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，成立；
B．因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α，因为n∥β，所以平面β内存在c使n∥c，则m∥n∥c，则c⊥α，所以α⊥β成立；
C．不满足面面平行的判断定理，有可能两平面相交，故C不成立；
D．因为m∥n，m⊥α，则n⊥α，又因为n⊥β，则α∥β，故D正确．
3．(2021·济南高一检测)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下结论正确的是( )
A．若l⊥α，α∥β，则l⊥β B．若l∥α，l∥β，则α∥β
C．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
【解析】选A.选项A. 若两平面平行，则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面，故A正确．
选项B. 若α∩β＝m，若l∥m，l∥m且直线l不在平面α，β内，此时满足l∥α，l∥β，但此时α∩β，故B不正确．
选项C. 若l⊥α，α⊥β，则直线l可能有l⊂β，也可能有l∥β，故C不正确．
选项D. 若l∥α，α⊥β，则直线l可能在平面β内，可能与平面β相交，也可能l∥β，故D不正确．
4．在正三棱锥A­BCD中，点P，Q，R分别在棱BC，BD，AB上，CP＝ eq \f(1,2) CB，BQ＝ eq \f(1,4) BD，AR＝ eq \f(1,2) AB，则( )
A．平面RPQ∥平面ACD
B．平面RPQ⊥平面BCD
C．AC∥RQ
D．PQ⊥AD
【解析】选B.取BD的中点为O，连接AO，OC，PQ，RQ，PR，三棱锥A­BCD为正三棱锥，
所以AB＝AD＝AC，BC＝CD＝BD，
因此AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO＝O，AO⊂平面AOC，CO⊂平面AOC，
所以BD⊥平面AOC；
因为BD⊂平面BCD，
所以平面AOC⊥平面BCD；
又因为CP＝ eq \f(1,2) CB，BQ＝ eq \f(1,4) BD，AR＝ eq \f(1,2) AB，
所以RQ∥AO，PQ∥CO，
则PQ⊂平面RPQ，RQ⊂平面RPQ，
又RQ∩PQ＝Q，所以平面RPQ∥平面AOC；
所以平面RPQ⊥平面BCD，即B正确；
因为平面AOC与平面ACD相交，
所以平面RPQ与平面ACD相交，即A错；
因为AC与AO相交，
所以AC与RQ异面，即C错；
因为PQ∥CO，则PQ⊥BD，
若PQ⊥AD，根据BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，可得CO⊥平面ABD，
又CO⊂平面BCD，
所以平面ABD⊥平面BCD，这与该几何体是正三棱锥矛盾(正三棱锥的侧面不与底面垂直)，所以PQ和AD不垂直，故D错．
5．在四棱锥P­ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥CD.
①AB∥平面PCD；
②AD⊥平面PCD；
③M是棱PA的中点，棱BC上存在一点F，使MF∥PC.正确命题的序号为( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解析】选A.对于①：因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，故①正确；
对于②：因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，AD⊥CD，
AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD，故②正确；
对于③：假设棱BC上存在一点F，使得MF∥PC，则MF，PC共面，而M∉PC，所以M，PC确定唯一的平面MPC，即平面PAC，于是点F∈平面PAC，但F∈BC，
BC⊂平面ABCD，所以F∈AC，从而点F与点C重合，这与MF∥PC矛盾，假设不成立，所以棱BC上不存在点F使得MF∥PC，故③不正确，
所以①②正确．
6．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AC＝ eq \f(\r(3),3) BD，E为CD的中点，则下列说法不正确的是( )
A.BD⊥平面PAC
B．平面PAB⊥平面PAE
C．若F为PB的中点，则CF∥平面PAE
D．若PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为 eq \f(π,3)
【解析】选D.选项A. 设底面平行四边形ABCD的对角线相交于点O.
则O为BD，AC的中点，由AB＝AC＝ eq \f(\r(3),3) BD，
在△BCO中，OB2＋OA2＝ eq \f(1,4) BD2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)BD)) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(1,3) BD2，AB2＝ eq \f(1,3) BD2，
所以OB2＋OA2＝AB2，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AP，
又AP∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故选项A正确，不符合题意．
选项B.由BD⊥AC，可知底面平行四边形ABCD为菱形．
由AB＝AC，则AD＝AC，又E为CD的中点，
所以AE⊥CD，即AE⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以AE⊥AP，
又AP∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB，
又AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE，故选项B正确，不符合题意．
选项C.如图，取AP的中点H，连接FH，EH，
由H为AP的中点，F为PB的中点，则HF∥AB且HF＝ eq \f(1,2) AB，
又AB∥CD，且AB＝CD，E为CD的中点，所以HF∥CE且HF＝CE，
所以四边形CFHE为平行四边形，则FC∥EH，
又EH⊂平面PAE，CF⊄平面PAE，所以CF∥平面PAE，故选项C正确，不符合题意．
选项D.连接PO, 由选项A的证明过程可知BD⊥平面PAC，
所以直线PB在平面PAC上的射影为PO，
所以∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．
由PA＝AB＝2，则PB＝2 eq \r(2) ， 由AB＝AC，则AO＝1，所以OB＝ eq \r(3) ，
在Rt△BPO中，sin ∠BPO＝ eq \f(BO,BP) ＝ eq \f(\r(3),2\r(2)) ＝ eq \f(\r(6),4) ，所以∠BPO≠ eq \f(π,3) ，故选项D不正确，符合题意．
二、多选题
7．(2021·宜春高一检测)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下面结论正确的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．平面ACC1A1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【解析】选ABC.对于A，因为ABCD­A1B1C1D1为正方体，所以BD∥B1D1，
由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，A正确；
对于B，因为ABCD­A1B1C1D1为正方体，所以BD⊥AC，且CC1⊥BD，
由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，所以BD⊥AC1，B正确；
对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，所以B1D1⊥平面ACC1，
则平面ACC1A1⊥平面CB1D1，C正确；
对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角，为45°，D错误．
三、填空题
8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是________．
(1)若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
(2)若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
(3)若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；
(4)若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.
【解析】 (1)中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
(2)中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
(3)中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；
(4)中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．
答案：(3)
9．(2021·北京高一检测)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将这个菱形沿对角线BD折成60°的二面角，这时线段AC的长度为________．
【解析】如图，找BD的中点E，则由菱形的性质可知AE⊥BD，EC⊥BD.故∠AEC为二面角A­BD­C的平面角，AE＝EC＝ eq \r(3) ，故由余弦定理有AC2＝3＋3－2 eq \r(3) · eq \r(3) · eq \f(1,2) ＝3，故AC＝ eq \r(3) .
答案： eq \r(3)
四、解答题
10．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
【证明】(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1，
所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1，
所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE，
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
一、选择题
1．(2021·西安高一检测)已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是( )
A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n
B．α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
【解析】选D.A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n或异面，故A不正确；
B．缺少l垂直于交线这个条件，不能推出l⊥β，故B不正确；
C．由垂直关系可知，l∥m或l，m相交，或是异面，故C不正确；
D．因为l∥β，所以平面β内存在直线m∥l，若l⊥α，则m⊥α，且m⊂β，所以α⊥β，故D正确．
2．(2021·南通高一检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】选B.对A，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行；对B，若l∥α，l⊥β，则α⊥β；对C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β；对D，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β.
3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥PA，BC⊥PB，PB＝BC，PA＝AB，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则 eq \f(PN,NC) ＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,3) D．1
【解析】选B.取PC的中点O，连接BO，由PB＝BC，所以BO⊥PC，过点M作MN∥BO，交PC于点N，则MN⊥PC，如图所示，
由AM⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AM⊥PC，
且AM∩MN＝M，AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，
所以PC⊥平面AMN，
又PC⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AMN，
由PA＝AB，M为PB的中点，且MN∥BO，
所以 eq \f(PN,PO) ＝ eq \f(PM,PB) ＝ eq \f(1,2) ，
又由 eq \f(PO,PC) ＝ eq \f(1,2) ，
所以 eq \f(PN,PC) ＝ eq \f(1,4) ，所以 eq \f(PN,NC) ＝ eq \f(1,3) .
4．(多选)(2021·三明高一检测)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是( )
A.E为PA的中点
B．PB与CD所成的角为 eq \f(π,3)
C．平面BDE⊥平面PAC
D．点P与点A到平面BDE的距离相等
【解析】选ACD.对于A项，连接AC交BD于点M，连接EM，如图所示，
因为PC∥平面BDE，PC⊂平面APC，且平面APC∩平面BDE＝EM，所以PC∥EM，
又因为四边形ABCD是正方形，所以M为AC的中点，
所以E为PA的中点，故A正确；
对于B项，因为AB∥CD，所以∠PBA为PB与CD所成的角，
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，
在Rt△PAB中，PA＝AB，所以∠PBA＝ eq \f(π,4) ，故B错误；
对于C项，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，
又AC⊥BD，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，又BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC，故C正确．
因为PA∩平面BDE＝E，且E为线段PA的中点，
所以点P与点A到平面BDE的距离相等，所以D正确．
二、填空题
5．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．
【解析】因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．
答案：5
6．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝ eq \r(2) ，则平面α与平面β的位置关系是__________ .
【解析】因为PC⊥α，AB⊂α，所以PC⊥AB.
同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.
设AB与平面PCD的交点为H，连接CH，DH.
因为AB⊥平面PCD，
所以AB⊥CH，AB⊥DH，
所以∠CHD是二面角C­AB­D的平面角．
又PC＝PD＝1，CD＝ eq \r(2) ，
所以CD2＝PC2＋PD2＝2，
即∠CPD＝90°.在平面四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，
所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.
答案：垂直
7．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 eq \r(3) ，CC1＝ eq \r(2) ，则二面角C1­BD­C的大小为________．
【解析】如图，取BD中点O，连接OC，OC1.
因为AB＝AD＝2 eq \r(3) ，
所以CO⊥BD，CO＝ eq \r(6) .
因为CD＝BC，
所以C1D＝C1B，
所以C1O⊥BD.
所以∠C1OC为二面角C1­BD­C的平面角，
所以tan ∠C1OC＝ eq \f(C1C,OC) ＝ eq \f(\r(2),\r(6)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
所以∠C1OC＝30°，
即二面角C1­BD­C的大小为30°.
答案：30°
8．(2021·咸阳高一检测)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是________(填序号).①若直线m平行于平面α内的无数条直线，则m∥α；②若直线m在平面α外，则m∥α；③若直线m∥n，n⊂平面α，那么直线m就平行于平面α内的无数条直线；
④α⊥β，α∩β＝m，m⊥n⇒n⊥β；⑤m⊥n，m⊂α，n⊂β⇒α⊥β；⑥α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，m∥β⇒m∥n.
【解析】①若直线m平行于平面α内的无数条直线，m⊂α或m∥α，①错；
②若直线m在平面α外，则m∥α或m与平面α相交，②错；
③若直线m∥n，n⊂平面α，那么直线m就平行于平面α内的无数条直线，③正确；
④α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，直线n与平面β可能相交，可能平行，也可能在平面β内，不能得到垂直关系，④错；
⑤m⊥n，m⊂α，n⊂β，α与β可能平行，可能相交，不一定垂直，⑤错；
⑥α⊥β，α∩β，m⊂α，m∥β，由线面平行的性质定理得m∥n，⑥正确．
答案：③⑥
三、解答题
9．如图，在三棱锥P­ABC中，△PAB为正三角形，O为△PAB的重心，PB⊥AC，∠ABC＝60°，BC＝2AB.
(1)求证：平面PAB⊥平面ABC；
(2)在棱BC上是否存在点D，使得直线OD∥平面PAC？若存在，求出 eq \f(BD,DC) 的值；若不存在．说明理由．
【解析】(1)设AB＝m，则BC＝2m，在△ABC中，由余弦定理，得AC＝ eq \r(m2＋4m2－2m2) ＝ eq \r(3) m.
因为AB2＋AC2＝4m2＝BC2，
所以AC⊥AB.
因为AC⊥PB，AB∩PB＝B，
所以AC⊥平面PAB.
因为AC⊂平面ABC，
所以平面PAB⊥平面ABC.
(2)如图所示：
取PA的中点E，连接BE，CE，则点O在BE上，
在平面BCE内过点O作CE的平行线交BC于点D.
因为OD∥CE，OD⊄平面PAC，CE⊂平面PAC，
所以OD∥平面PAC.
因为O为△PAB的重心，
所以BO∶OE＝2∶1，
又BD∶DC＝BO∶OE，
所以 eq \f(BD,DC) ＝2，
所以在棱BC上存在点D，使得直线OD∥平面PAC，此时 eq \f(BD,DC) ＝2.
10．如图所示，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ eq \r(3) .
(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A­BE­P的大小．
【解析】(1)如图所示，连接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以PB⊥BE.
又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A­BE­P的平面角．
在Rt△PAB中，tan ∠PBA＝ eq \f(PA,AB) ＝ eq \r(3) ，∠PBA＝60°，故二面角A­BE­P的大小是60°.