数学必修 第二册13.2 基本图形位置关系第3课时同步训练题

这是一份数学必修 第二册13.2 基本图形位置关系第3课时同步训练题，共14页。

【概念认知】
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α．直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面．垂线和平面的交点称为垂足．
(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图：
2．直线与平面垂直的判定定理
【自我小测】
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
【解析】选A.由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
【解析】选C.因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，
所以OA⊥平面OBC.
3．如图，BC是Rt△BAC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是( )
A.3 B．5 C．6 D．8
【解析】选D.由PA⊥平面ABC，知△PAC，△PAD，△PAB均为直角三角形，又PD⊥BC，PA⊥BC，PA∩PD＝P，所以BC⊥平面PAD.所以AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB均为直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形．
4．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．
【解析】因为l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，
所以l⊥平面ABC，
又因为AB⊂平面ABC，所以l⊥AB.
答案：垂直
5．在四面体P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直．设PA＝PB＝PC＝3，则点P到平面ABC的距离为________．
【解析】因为PA，PB，PC两两垂直，而PA∩PB＝P，故PC⊥平面PAB，
又S△PAB＝ eq \f(1,2) ×3×3＝ eq \f(9,2) ，VC­PAB＝ eq \f(1,3) ×3× eq \f(9,2) ＝ eq \f(9,2) .
又Rt△PAB中，PA＝PB＝3，故AB＝3 eq \r(2) ，同理AC＝BC＝3 eq \r(2) ，
故△ABC为等边三角形，故S△ABC＝ eq \f(\r(3),4) ×(3 eq \r(2) )2＝ eq \f(9\r(3),2) ，
故VP­CAB＝ eq \f(1,3) × eq \f(9\r(3),2) ×d，其中d为点P到平面ABC的距离，
因为VP­CAB＝VC­PAB，故 eq \f(1,3) × eq \f(9\r(3),2) ×d＝ eq \f(9,2) ，故d＝ eq \r(3) .
答案： eq \r(3)
6．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝ eq \f(1,2) ，则下列结论中正确的序号是________．
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A­BEF的体积为定值；
④△AEF的面积与△BEF的面积相等．
【解析】对于①，由题意及图形知，AC⊥平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故①正确；
对于②，由于正方体ABCD­A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故②正确；
对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到平面DD1B1B的距离等于AC的一半，故可得三棱锥A­BEF的体积为定值，故③正确；
对于④，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故④错误．
答案：①②③
7．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.
【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG，因为CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，
所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.
【基础全面练】
一、单选题
1．已知直线a，b和平面α，下列推理中错误的是( )
A． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α，,b⊂α)) ⇒a⊥b
B． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b，,a⊥α)) ⇒b⊥α
C． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥b，,b⊥α)) ⇒a∥α或a⊂α
D． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α，,b∥α)) ⇒a∥b
【解析】选D.当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．
2．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则( )
A．AE⊥CC1 B．AE⊥B1D1
C．AE⊥BC D．AE⊥CD
【解析】选B.如图所示．
连接AC，BD，因为ABCD ­A1B1C1D1是正方体，
所以四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥平面ABCD，所以BD⊥CE，而AC∩CE＝C，
故BD⊥平面ACE，因为BD∥B1D1，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE.
3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直 B．相交但不垂直
C．平行 D．不确定
【解析】选A.因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．
4．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
【解析】选D.如图所示，直线l和平面α相互平行，直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.
5．(2021·南京高一检测)如图所示，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，且CE与AB不垂直，则图中直角三角形的个数是( )
A.3 B．4 C．5 D．6
【解析】选D.因为∠ACB＝90°，所以△ACB是直角三角形．
由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，所以△PAB，△PAC是直角三角形．
又BC⊥AC，AC∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB是直角三角形．
因为EF∥PA，PA⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，所以EF⊥BE，EF⊥EC，
所以△BEF，△FEC是直角三角形，
所以△PAB，△PAC，△ACB，△PCB，△FEC，△BEF均为直角三角形，共6个．
二、多选题
6．ABCD­A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是( )
A.BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1
【解析】选ABC.在正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即选项B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．
7．(2021·永州高一检测)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，点E为PA的中点，则下列判断正确的是( )
A.PB与CD所成的角为60°
B．BD⊥平面PAC
C．PC∥平面BDE
D．VBCDE∶VPABCD＝1∶4
【解析】选BCD.对A，因为底面ABCD是正方形，
所以AB∥CD，则∠PBA即为PB与CD所成的角，因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AB，因为PA＝AB，所以∠PBA＝45°，故A错误；
对B，连接AC，因为底面ABCD是正方形，
所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，因为PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，故B正确；
对C，设BD∩AC＝O，连接OE，则O是AC中点，又点E为PA的中点，所以PC∥OE，因为OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，所以PC∥平面BDE，故C正确；
对D，因为VBCDE＝VEBCD＝ eq \f(1,3) S△BCD·EA，VPABCD
＝ eq \f(1,3) SABCD·PA＝ eq \f(1,3) ×2S△BCD×2EA＝4VB­CDE，
所以VBCDE∶VPABCD＝1∶4，故D正确．
三、填空题
8．下列语句中正确的是________.(填序号)
①l⊥α⇒l与α相交；
②m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α；
③l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α.
【解析】①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线m，n的情况；③正确，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α.
答案：①③
9．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
能判定直线与此平面垂直的有________.
【解析】由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边可能平行，所以也无法判定线面垂直．
答案：①③
四、解答题
10．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.
【证明】因为AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，
所以AA1⊥平面A1B1C1，显然A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，所以A1C1⊥A1B1，而A1B1∩AA1＝A1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝ eq \r(2) ，A1D＝ eq \r(2) ，AA1＝2.所以AD2＋A1D2＝AA eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，
所以A1D⊥AD.
因为A1C1∩A1D＝A1，
所以AD⊥平面A1DC1.
11．如图，在四棱锥S­ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.
【证明】因为AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，所以底面ABCD为直角梯形，
AD＝ eq \r(（2－1）2＋22) ＝ eq \r(5) .
因为侧面SAB为等边三角形，
所以SA＝SB＝AB＝2.
又SD＝1，所以AD2＝SA2＋SD2，所以SD⊥SA.
连接BD，则BD＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ，
所以BD2＝SD2＋SB2，
所以SD⊥SB.
又SA∩SB＝S，
所以SD⊥平面SAB.
【综合突破练】
一、选择题
1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是( )
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
【解析】选C.取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD，AC异面，所以选C.
2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面
B．AH⊥△EFH 所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
【解析】选B.根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，所以AH⊥平面EFH，B正确；
因为过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；
因为AG⊥EF，EF⊥AH，所以EF⊥平面HAG，所以平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，所以C不正确；因为HG不垂直于AG，所以HG⊥平面AEF不正确，D不正确．
3．如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM∥平面ADE；②DE⊥BM；③平面BDM∥平面AFN；④AM⊥平面BDE.以上四个命题中，真命题的序号是( )
A.①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
【解析】选A.把正方体的平面展开图还原成正方体ABCDEFMN，如图1所示；
对于①，平面BCMF∥平面ADNE，BM⊂平面BCMF，
所以BM∥平面ADNE，①正确；
对于②，如图2所示，连接AN，则AN∥BM，又ED⊥AN，所以DE⊥BM，②正确；
对于③，如图2所示，
BD∥FN，BD⊄平面AFN，FN⊂平面AFN，所以BD∥平面AFN；
同理BM∥平面AFN，且BD∩BM＝B，所以平面BDM∥平面AFN，③正确；
对于④，如图3所示，连接AC，则BD⊥AC，又MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以MC⊥BD，又AC∩MC＝C，所以BD⊥平面ACM，所以BD⊥AM，
同理得ED⊥AM，ED∩BD＝D，所以AM⊥平面BDE，所以④正确．
4．(多选)在正方体中ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，则下列结论正确的是( )
A．AC1⊥EG B．GC∥ED
C．B1F⊥平面BGC1 D．EF和BB1所成角为 eq \f(π,4)
【解析】选AD.如图，
对于A，连接B1D1，A1C1，则A1C1⊥EG，又AA1⊥平面A1B1C1D1，EG⊂平面A1B1C1D1，
所以AA1⊥EG，又AA1∩A1C1＝A1，所以EG⊥平面AA1C1，又A1C⊂平面AA1C1，
所以AC1⊥EG，故A正确；
对于B，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，
所以CM∥ED，又GC∩CM＝C，因此GC∥ED不成立，故B错误；
对于C，假设B1F⊥平面BGC1，则B1F⊥GC1，连结B1D1，
因为D1F⊥平面A1B1C1D1，GC1⊂平面A1B1C1D1，
所以D1F⊥GC1，又B1F∩D1F＝F，所以GC1⊥平面D1B1F，又D1B1⊂平面D1B1F，
所以GC1⊥D1B1，显然不成立，故C错误；
对于D，因为D1D∥B1B，所以∠D1FE为异面直线EF和BB1所成的角，
在等腰直角△D1EF中，∠D1FE＝ eq \f(π,4) ，所以异面直线EF和BB1所成的角为 eq \f(π,4) ，故D正确．
二、填空题
5．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则四个侧面△PAB，△PBC，△PCD，△PAD中，有________个直角三角形．
【解析】因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
所以△PAB，△PAD为直角三角形，
因为BC⊥PA，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，
同理，△PDC为直角三角形，
所以四个侧面三角形均为直角三角形．
答案：4
6．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与面对角线BC1所在直线间的距离是________.
【解析】如图所示：
连接BC1，B1C交于点O，连接A1O，
因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1
所以BC1⊥平面A1B1O，
所以BC1⊥A1O，
所以A1O的长度即为所求．
因为A1B1＝a，B1O＝ eq \f(\r(2),2) a，
所以A1O＝ eq \r(A1B eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋B1O2) ＝ eq \f(\r(6),2) a.
答案： eq \f(\r(6),2) a
7．(2021·嘉兴高一检测)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，且SA＝SB＝SC＝SD，其中E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的有________.
【解析】因为底面ABCD为正方形，且SA＝SB＝SC＝SD，故四棱锥SABCD为正四棱锥，
设AC与BD的交点为F，则SF⊥底面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，故SF⊥AC，又AC⊥BD，SF∩BD＝F，故AC⊥平面SBD，
又E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，故EN∥SB.EN⊄平面SBD，SB⊂平面SBD，故EN∥平面SBD，同理可证EM∥平面SBD，EM∩EN＝E，则平面EMN∥平面SBD，则AC⊥平面EMN，又EP⊂平面EMN，故AC⊥EP，①正确；当P与M重合时，才满足EP∥BD，故②错误；由平面EMN∥平面SBD，EP⊂平面EMN，可得EP∥面SBD，故③正确；由BD⊥AC，BD⊥SF得BD⊥平面SAC，只有当P与M重合时，满足EP∥BD，EP⊥面SAC，故④错误．
答案：①③
8．已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6，E为棱PD上一点，且ED＝2PE，过EB作平面α分别与线段PA，PC交于点M，N，且AC∥α，则 eq \f(PM,PA) ＝________，四边形EMBN的面积为________.
【解析】如图，延伸平面α，交平面ABCD于RS，
因为B∈平面α∩平面ABCD，
所以B∈RS，
即R，S，B三点共线，
又AC∥α，由线面平行的性质可得AC∥RS，
则∠ARB＝∠ABR＝ eq \f(π,4) ，即AR＝AB，
所以A是RD的中点，
过M作MK⊥PD，垂足为K，
则在△PDA中， eq \f(MK,DA) ＝ eq \f(PK,PD) ，
在△EDR中， eq \f(MK,DR) ＝ eq \f(EK,ED) ，
所以 eq \f(PK,PD) ·DA＝ eq \f(EK,ED) ·DR，
即 eq \f(PK,6) ·4＝ eq \f(PK－2,4) ·8，解得PK＝3，
所以K是PD中点，则M是PA中点，
所以 eq \f(PM,PA) ＝ eq \f(1,2) ，
则 eq \f(PN,PC) ＝ eq \f(PM,PA) ＝ eq \f(1,2) ，MN∥AC，
因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PD⊥AC，
因为BD⊥AC，BD∩PD＝D，
所以AC⊥平面PBD，
所以AC⊥BE，所以MN⊥BE，
因为 eq \f(MN,AC) ＝ eq \f(PM,PA) ＝ eq \f(1,2) ，所以MN＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1,2) ×4 eq \r(2) ＝2 eq \r(2) ，
又EB＝ eq \r(ED2＋BD2) ＝ eq \r(42＋（4\r(2)）2) ＝4 eq \r(3) ，
所以四边形EMBN的面积为 eq \f(1,2) MN·EB＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(2) ×4 eq \r(3) ＝4 eq \r(6) .
答案： eq \f(1,2) 4 eq \r(6)
三、解答题
9．如图所示，四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A，B的任意一点．求证：AC⊥平面BB1C.
0
【证明】因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面，
所以BB1⊥底面ABC.
因为AC⊂底面ABC，
所以BB1⊥AC.
因为AB为底面圆的直径，所以∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC.又因为BB1∩BC＝B，BB1⊂平面BB1C，BC⊂平面BB1C，所以AC⊥平面BB1C.
10．如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．
求证：(1)DF∥平面ABC.
(2)AF⊥BD.
【证明】(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝ eq \f(1,2) AE.
因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
所以CD∥AE.
又因为CD＝ eq \f(1,2) AE，
所以FG∥CD，FG＝CD，
所以四边形CDFG是平行四边形，
所以DF∥CG，
又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，
所以DF∥平面ABC.
(2)易知CG⊥GF，
又CG⊥AB，AB∩FG＝G，
所以CG⊥平面ABE，
所以CG⊥AF，DF∥CG，
所以AF⊥DF，
在Rt△ABE中，AF⊥BE，
又DF∩BE＝F，
所以AF⊥平面BDF，
所以AF⊥BD.