高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时同步达标检测题，共6页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，∠C＝60°，则c等于( )
A．3 B． eq \r(3) C．5 D． eq \r(5)
【解析】选B.由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2ab cs C＝1＋4－2×1×2× eq \f(1,2) ＝3，
所以c＝ eq \r(3) .
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs 2 eq \f(A,2) ＝ eq \f(b＋c,2c) ，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选C.在△ABC中，因为cs 2 eq \f(A,2) ＝ eq \f(b＋c,2c) ，
所以 eq \f(1＋cs A,2) ＝ eq \f(b,2c) ＋ eq \f(1,2) ，
所以cs A＝ eq \f(b,c) .
由余弦定理，知 eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(b,c) ，
所以b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cs C＋c cs B＝a sin A，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【解析】选B.因为b cs C＋c cs B＝a sin A，
所以由余弦定理得b· eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＋c· eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝a sin A，整理，得a＝a sin A，
所以sin A＝1.
又A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,2) .
故△ABC为直角三角形．
4. (2021·合肥高一检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝ eq \r(5) ，sin A＝ eq \f(4,5) ，则b＝( )
A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(2\r(5),5)
C． eq \r(5) D． eq \f(\r(5),5) 或 eq \r(5)
【解析】选D.由sin A＝ eq \f(4,5) ，则a＜c，可得cs A＝ eq \f(3,5) ，
根据余弦定理可得4＝b2＋ eq \r(5) 2－2 eq \r(5) b× eq \f(3,5) ，
即b2－ eq \f(6,\r(5)) b＋1＝0，
解得b＝ eq \f(\r(5),5) 或 eq \r(5) .
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．
【解析】由题意，得a＋b＝5，ab＝2.
所以c2＝a2＋b2－2ab cs C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝ eq \r(19) .
答案： eq \r(19)
6．(2021·重庆高一检测)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋2c＝4c cs2 eq \f(B,2) ，则 eq \f(b,a) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b))) eq \s\up12(2) 的最小值为________．
【解析】由余弦定理得a＋b＋2c＝2c(1＋csB)＝2c＋2c× eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝2c＋ eq \f(a2＋c2－b2,a) ，
所以ab＋b2＝c2，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(ab＋b2,b2) ＝ eq \f(a,b) ＋1，
所以 eq \f(b,a) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ＋1≥2 eq \r(\f(b,a)×\f(a,b)) ＋1＝3，
当且仅当 eq \f(b,a) ＝ eq \f(a,b) ，即a＝b时等号成立所以 eq \f(b,a) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b))) eq \s\up12(2) 的最小值为3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．
【解析】已知a－b＝4，则a>b且a＝b＋4.
又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，
则b>c，从而知a>b>c，
所以a为最大边，故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cs A＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，
即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.
又b＝a－4>0，所以a＝14，即此三角形的最大边长为14.
8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2 eq \r(3) ，试判断△ABC的形状．
【解析】(1)因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bc cs A，
所以2cs A＝1，所以cs A＝ eq \f(1,2) .
因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3) .
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cs A，且a＝ eq \r(3) ，
所以( eq \r(3) )2＝b2＋c2－2bc· eq \f(1,2) ＝b2＋c2－bc.①
又因为b＋c＝2 eq \r(3) ，与①联立，解得bc＝3，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))
所以b＝c＝ eq \r(3) ，
于是a＝b＝c＝ eq \r(3) ，即△ABC为等边三角形．
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2021·西宁高一检测)已知锐角△ABC三边长分别为x， eq \r(5) ，x＋1，则实数x的取值范围为( )
A．(1，2) B．(2，3) C．( eq \f(2,5) ，2) D．(2，5)
【解析】选A.因为锐角△ABC三边长分别为x， eq \r(5) ，x＋1，
由题意有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋（x＋1）2－5,2x（x＋1）)＞0,\f(x2＋5－（x＋1）2,2\r(5)x)＞0，)) 解得1＜x＜2.
2．(多选题)(2021·盐城高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋bc，则角A可为( )
A． eq \f(3π,4) B． eq \f(π,4) C． eq \f(7π,12) D． eq \f(2π,3)
【解析】选BC.因为在△ABC中，a2＝b2＋bc，
又由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bc cs A，
所以b2＋bc＝b2＋c2－2bc cs A，
整理可得：c＝b(1＋2cs A)，可得cs A＝ eq \f(c－b,2b) ，
对于选项A，若A＝ eq \f(3π,4) ，可得：－ eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(c－b,2b) ，
整理可得：b＝ eq \f(c,1－\r(2)) ＜0，错误；
对于选项B，若A＝ eq \f(π,4) ，可得： eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(c－b,2b) ，
整理可得：b＝ eq \f(c,\r(2)＋1) ＞0，
对于选项C，若A＝ eq \f(7π,12) ，
可得：cs eq \f(7π,12) ＝ eq \f(\r(2)－\r(6),4) ＝ eq \f(c－b,2b) ，
整理可得：b＝ eq \f(2c,\r(2)－\r(6)＋2) ＞0，
对于选项D，若A＝ eq \f(2π,3) ，可得：
cs eq \f(2π,3) ＝－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(c－b,2b) ，整理可得：c＝0，错误．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2021·咸阳高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3b cs C＝3a－c，且A＝C，则sin A＝________．
【解析】因为3b cs C＝3a－c，且A＝C，
可得a＝c，3b· eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝3a－c，
整理解得a＝c＝ eq \f(\r(3),2) b，
所以cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(b2,2b·\f(\r(3),2)b) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
可得sin A＝ eq \r(1－cs2 A) ＝ eq \f(\r(6),3) .
答案： eq \f(\r(6),3)
4．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，若cs A＝ eq \f(1,2) ，则4cs (B＋C)·cs 2A＝________，若同时a＝ eq \r(6) ，则bc的最大值为________．
【解析】根据题意，在△ABC中，若cs A＝ eq \f(1,2) ，
则A＝ eq \f(π,3) ，则B＋C＝ eq \f(2π,3) ，2A＝ eq \f(2π,3) ，
则4cs (B＋C)·cs 2A＝4cs eq \f(2π,3) cs eq \f(2π,3) ＝4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) ＝1，
若a＝ eq \r(6) ，则a2＝b2＋c2－2bc cs A，即b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝6，又由(b＋c)2≥4bc，则有4bc－3bc＝bc≤6，即bc的最大值为6.
答案：1 6
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且1＋ eq \f(tan A,tan B) ＝－ eq \f(2sin C,sin B) .
(1)求A；
(2)若a＝ eq \r( ,3) ，求b＋c的最大值．
【解析】(1)因为1＋ eq \f(tan A,tan B) ＝－ eq \f(2sin C,sin B) ，
所以1＋ eq \f(sin A cs B,cs A sin B) ＝－ eq \f(2sin C,sin B) ，
即 eq \f(sin B cs A＋sin A cs B,cs A sin B) ＝－ eq \f(2sin C,sin B) ，
所以 eq \f(sin （A＋B）,cs A sin B) ＝－ eq \f(2sin C,sin B) ，
所以cs A＝－ eq \f(1,2) .
因为0