高中数学6.1 平面向量的概念同步测试题

这是一份高中数学6.1 平面向量的概念同步测试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.下列说法中,正确的个数是( )
①时间、摩擦力、重力都是向量;
②向量的模是一个正实数;
③相等向量一定是平行向量;
④向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.对于①,时间没有方向,不是向量,摩擦力、重力都是向量,故①错误;对于②,零向量的模为0,故②错误;③正确,相等向量的方向相同,因此一定是平行向量;④显然正确.
2.在四边形ABCD中,∥,||≠||,则四边形ABCD是( )
A.梯形B.平行四边形
C.矩形D.正方形
【解析】选A.因为∥,所以AB∥CD.
又因为||≠||,所以AB≠CD.
所以四边形ABCD是梯形.
3.(多选题)设O是等边三角形ABC的外心,则,,是( )
A.有相同起点的向量B.平行向量
C.相等向量D.模相等的向量
【解析】选AD.因为O是等边三角形ABC的外心,起点都是O,外心为各边垂直平分线的交点,
所以||=||=||.
4.数轴上点A,B分别对应-1,2,则向量的长度是( )
A.-1 B.2 C.1 D.3
【解析】选D.||=2-(-1)=3.
5.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||=( )
A.1B.C.2D.2
【解析】选D.易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在Rt△ABO中,易得||=,则||=2||=2.
6.(多选题)有下列说法,其中正确的说法是( )
A.若a≠b,则a一定不与b共线
B.若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点
C.在▱ABCD中,一定有=
D.若a=b,b=c,则a=c
【解析】选CD.对于A,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故A不正确;对于B,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故B不正确;对于C,在▱ABCD中,||=||,与平行且方向相同,所以=,故C正确;
对于D,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=________.
【解析】因为正方形的对角线长为2,所以||=.
答案:
【补偿训练】
如果在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为______.
【解析】结合图形进行判断求解(图略),根据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为.
答案:
8.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=________.
【解析】因为A,B,C不共线,所以与不共线.又m与,都共线,所以m=0.
答案:0
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求向量的模.
【解析】(1)作出向量,,,如图所示:
(2)由题意得,
△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,
BC=10米,CD=10米,所以BD=10米.
△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD==5(米).
所以||=5米.
【补偿训练】
如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量平行且模为的向量共有几个?与向量方向相同且模为3的向量共有几个?
【解析】(1)依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.
因为共有12个小方格,所以满足条件的向量共有24个.
(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个.
10.如图所示,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=.
求证:=.
【证明】因为=,所以||=||且AB∥CD,
所以四边形ABCD是平行四边形,
所以||=||且DA∥CB.
同理可得,四边形CNAM是平行四边形,
所以=,
所以||=||,
所以||=||,
又与的方向相同,所以=.