新人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用单元检测含解析

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单元素养检测(一)(第六章)(120分钟　150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.在四边形ABCD中,++= (　　)A.　 　  　B.　 　  　C.　 　　  D.【解析】选D.在四边形ABCD中,++=++=+=.2.已知△ABC中,+=2,则-= (　　)A.2    B.   C.2    D.0【解析】选D.因为△ABC中,+=2,所以-+-=0,得+=0,所以-=0.3.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且λa+μb=(2,8),则λ-μ= (　　)A.5   B.-5    C.1    D.-1【解题指南】根据平面向量的坐标运算,得到方程组求出结果.【解析】选D.因为a=(1,1),b=(0,2),所以λa+μb=(λ,λ+2μ),因为λa+μb=(2,8),所以(λ,λ+2μ)=(2,8),所以λ=2,μ=3,所以λ-μ=-1.4.已知△ABC中,D为AB上一点,满足=2,且||=2||,则△ABC的形状为 (　　)A.等腰三角形    B.等边三角形C.直角三角形    D.等腰直角三角形【解析】选C.因为△ABC中,D为AB上一点,满足=2,则=,且||=2||,如图,延长CD到E,使=,则ACBE是平行四边形,由向量加法的平行四边形法则,得+==2,则||=||,所以平行四边形ACBE是矩形,即△ABC的形状一定为直角三角形.5.在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于H,记=a,=b,则= (　　)A.a-b    B.a+bC.-a+b    D.-a-b【解析】选B.如图,过点F作BC的平行线交DE于G,则G是DE的中点,且==,所以=,则△AHD∽△FHG,从而=,所以=,=+=b+a,所以==a+b.6.(2019·全国卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·= (　　)A.-3    B.-2    C.2    D.3【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故·=2.7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=bcos C且c=6,A=,则△ABC的面积为 (　　)A.2    B.3    C.4    D.6【解析】选D.在△ABC中,由a=bcos C且c=6,A=,由正弦定理,得==2a=2bcos C,所以c=2bsin Ccos C=6.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,即36=b2cos2C+b2-2b2cos2C=b2(1-cos2C)=b2sin2C,因为sin C>0,所以bsin C=6,代入2bsin Ccos C=6,得cos C=,由于0<C<π,所以C=,B=π-A-C=,所以a=ctan A=2,三角形的面积等于acsin B=×2×6×1=6.【补偿训练】　　　在△ABC中,若·=2且∠BAC=30°,则△ABC的面积为 (　　)A.　　　B.2　　　C.　　　D.【解析】选C.在△ABC中,若·=2且∠BAC=30°,得cos30°=2,所以=,则△ABC的面积为S=||||sin30°=××=.8.在三角形ABC中,=2,=2,∠BAC=45°,P为线段AC上任意一点,则·的取值范围是 (　　)A.    B.C.    D.【解析】选B.设=λ,=,0≤λ≤1,·=·= ·,结合题目中的条件得到原式=4= 4,0≤λ≤1,结合二次函数的性质得到范围是.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是 (　　)A.=     B.∥C.与共线   D.=【解析】选ABC.如图,因为与方向相同,长度相等,所以A正确;因为B,O,D三点在一条直线上,所以∥,B正确;因为AB∥CD,所以与共线,C正确;因为与方向不同,所以≠,D错误.10.已知a∥b,=2=6,则的值可能为 (　　)A.3    B.6    C.8    D.9【解析】选AD.因为a∥b,=2=6,则=6,=3.当a,b方向相同时,=+=9;当a,b方向相反时,==3.【易错警示】本题易忽略两个向量方向相反的情形而漏解.当两个非零向量共线时,如果没有明确向量的方向相同或相反,要对两种情形分类讨论求值.11.在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中没有两个解的是 (　　)A.b=10,A=45°,B=60°B.a=60,c=48,B=120°C.a=7,b=5,A=75°D.a=14,b=16,A=45°【解析】选ABC.若b=10,A=45°,B=60°,则由正弦定理可得=,求得a=,故△ABC有一解;若a=60,c=48,B=120°,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac·cos B=8 784,求得b只有一解,故△ABC有一解;若a=7,b=5,A=75°,则由正弦定理可得=,求得sin B=,再根据b<a,可得B为锐角,故角B只有一个,故△ABC有一解;若a=14,b=16,A=45°,则由正弦定理可得=,求得sin B=,再根据b>a,可得B>A,所以B可能是锐角也可能是钝角,即角B有2个值,故△ABC有两解.12.点G为△ABC的重心,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,则下列等式成立的是 (　　)A.∠ACB=90°   B.BG=C.·=    D.·=-【解析】选ABCD.因为点G为△ABC的重心,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 60°=3,即AC=,由勾股定理逆定理,得∠ACB=90°,所以∠BAC=30°.延长BG交AC于点D,则D为AC的中点,CD=,在△BCD中,BD2=BC2+CD2=,得BD=,所以BG=BD=,则·=(-)·(-)=-(+)+·=- 2+·=-2·+·=-2+2×1×=-2×+1=-.延长CG交AB于点E,则E为AB的中点,CE=1,CG=CE=,则·=(-)·=-=-=-·(+)=-(+)=-(·+)=-(0+1)=.【拓展延伸】三角形的四心与性质学习向量的加减法离不开三角形,三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,你知道三角形“四心”的意义吗?它们与向量的表示是什么?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助.一、三角形“四心”的意义重心:三角形三边中线的交点.垂心:三角形三边高线的交点.外心:三角形三边中垂线的交点.内心:三角形三条内角平分线的交点.二、三角形“四心”的向量表示结论1:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足·=·=·,则点O为△ABC的垂心.证明:由·=·,得·-·=0,即·(-)=0,⊥.同理可证⊥,故O为△ABC的垂心.结论2:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足+=+=+,则点O为△ABC的垂心.证明:由+=+,得+(-)2=+(-)2,所以·=·.同理可证·=·.容易得到·=·=·,由结论1知O为△ABC的垂心.结论3:若点G为△ABC所在的平面内一点,满足++=0,则点G为△ABC的重心.证明:由++=0,得-=+.设BC边中点为M,则2=+,所以-=2,即点G在中线AM上.设AB边中点为N,同理可证G在中线CN上,故点G为△ABC的重心.结论4:若点G为△ABC所在的平面内一点,满足=(++),则点G为△ABC的重心.证明:由=(++),得(-)+(-)+(-)=0,得++=0.由结论3知点G为△ABC的重心.结论5:若点P为△ABC所在的平面内一点,并且满足=+λ(+)(或=+λ(+)),则点P为△ABC的内心.证明:由于=+λ(+),可得=λ(+).设与同方向的单位向量为e1,与同方向的单位向量为e2,则=λ(e1+e2),因为e1、e2为单位向量,所以向量e1+e2在∠A的平分线上.由λ>0,知点P在∠A的平分线上.同理可证点P在∠B的平分线上.故点G为△ABC的内心.结论6:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足(+)·=(+)·=(+)·=0,则点O为△ABC的外心.证明:因为=-,所以(+)·=||2-||2.同理得(+)·=||2-||2,(+)·=||2-|OA|.由题意得||2-||2=||2-||2=||2-||2,所以||2=||2=||2,得||=||=||.故点O为△ABC的外心.注意:||=||=||⇔||2=||2=||2⇔(+)·=(+)·=(+)·=0.以上几个结论不仅展示了三角形的“四心”的向量表示,而且是向量加减法应用的很好典例,值得大家关注.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知a=(2,-2),b=(x,2),若a·b=6,则x=________. 【解析】因为a=(2,-2),b=(x,2),所以a·b=2x-4,又因为a·b=6,所以2x-4=6,解得x=5.答案:514.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为________. 【解析】因为cos B=,又因为b=6,a=2c,B=,可得c2=12,解得c=2,a=4,则△ABC的面积S=×4×2×=6.答案:615.(2019·浙江高考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=________,cos∠ABD=________. 【解析】如图,在△ABD中,由正弦定理有:=,而AB=4,∠ADB=,AC==5,sin∠BAC==,cos∠BAC==,所以BD=.cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.答案:　【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos B=,b=4,S△ABC=4,则△ABC的周长为________. 【解题指南】先根据cos B=求出sin B,再由S△ABC=4求出ac,最后再由余弦定理可求出a2+c2,进而可求出a,c的值,即可求出周长.【解析】由cos B=,得sin B=,由三角形面积公式可得acsin B=ac·=4,则ac=12①,结合余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得16=a2+c2-2×12×,则a2+c2=24②,由①②联立可得a=c=2,所以△ABC的周长为4+4.答案:4+416.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满足6--2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是________. 【解析】记2=,因为-+2-2=0,所以=2,如图,得S△ABN=S△ABC,又因为S△ABM=S△ABN,所以S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.答案:3四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量|a|=2,a·b=1,a在b方向上的投影为1.(1)求向量a,b的夹角;(2)求|a-b|.【解析】(1)因为|a|=2,a·b=1,由a在b方向上的投影为1,得=1,所以=1,向量a,b的夹角θ满足cos θ==,又θ∈[0,π],得θ=.(2)|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-2×1+1=3,所以|a-b|=.18.(12分)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,(1)ka+b与a-3b垂直?(2)ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【解析】由a=(1,2),b=(-3,2),得ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),(1)(ka+b)⊥(a-3b),得(ka+b)·(a-3b)=10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,解得k=19.(2)(ka+b)//(a-3b),得-4(k-3)=10(2k+2),解得k=-,此时ka+b=(-,)=-(10,-4),所以方向相反.【补偿训练】　　　如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,动点M,N满足=λ, =μ,λ,μ≠0.(1)当λ=μ=时,求|-|的值;(2)若·=-2,求+的值.【解题指南】(1)λ=μ=时,M,N分别为BC,CD的中点,可得==,根据模长的计算公式得到结果;(2)根据平面向量基本定理得到·=(+)·(+),按照向量点积公式展开得到结果.【解析】(1)当λ=μ=时,M,N分别为BC,CD的中点,此时易得==且,的夹角为60°,则===.(2)·=(+)·(+)=·+·+·+·,所以-2=2×2×+2×2μ+2×2λ+2λ×2μ×(-),所以4(λ+μ)=2λμ,所以2(λ+μ)=λμ,故+==.19.(12分)设向量m=,n=,在△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边,且2csin C=(2b-a)sin B+(2a-b)sin A.(1)求角C;(2)若m⊥n,边长c=2,求△ABC的周长l和面积S的值.【解析】(1)由已知可得2c2=(2b-a)b+(2a-b)a,即c2=b2+a2-ab,所以cos C==,所以C=.(2)由题意可知m⊥n,可得a+b=0,所以a+b=ab,由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,则(a+b)2-3(a+b)-4=0,即a+b=4,故周长为4+2=6,面积为S=absin C=·4·sin=.20.(12分)已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin A-cos A,1-sin A),q=(2+2sin A,sin A+cos A),p与q是共线向量,且≤A≤.(1)求角A的大小;(2)若sin C=2sin B,且a=,试判断△ABC的形状,并说明理由.【解析】(1)因为p∥q,所以(sin A-cos A)(sin A+cos A)-2(1-sin A)(1+sin A)=-cos2A-2cos2A=0,所以1+2cos2A=0,所以cos2A=-.因为≤A≤,所以≤2A≤π,所以2A=,所以A=.(2)△ABC是直角三角形.理由如下:由cos A=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.又sin C=2sin B,由正弦定理得c=2b.联立可得解得所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.21.(12分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PC=,求PA;(2)若∠APB=150°,求△ABP的面积S.【解析】(1)因为在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,所以sin∠PBC==,可得∠PBC=60°,BP=BCcos60°=.因为∠PBA=90°-∠PBC=30°,所以△APB中由余弦定理,得PA2=PB2+AB2-2PB·AB·cos∠PBA,得PA2=+3-2×××=,解得PA=(舍负值).(2)设∠PBA=α,可得∠PBC=90°-α,∠PAB=180°-∠PBA-∠APB=30°-α,在Rt△BPC中,PB=BCcos∠PBC=cos(90°-α)=sin α,△ABP中,由正弦定理得=,所以sin α=2sin(30°-α)=2(cos α-sin α),化简得4sin α=cos α,所以结合α是锐角,解得sin α=,所以PB=sin α=,所以△ABP的面积S=AB·PB·sin∠PBA=.22.(12分)(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.因为sin A≠0,所以sin=sin B.由A+B+C=180°,可得sin=cos,故cos=2sincos.因为cos≠0,故sin=,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.由正弦定理得a===+.由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故<a<2,从而<S△ABC<.因此,△ABC面积的取值范围是.