新人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用阶段过关练含解析

这是一份新人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用阶段过关练含解析，共7页。
阶段过关练(一)(45分钟　85分)一、选择题(每小题5分，共35分)1．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)A.充分不必要条件      B．必要不充分条件C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积及充分条件和必要条件．【解析】选B.若c⊥a且c⊥b，则a·c＝b·c＝0，但a不一定等于b，故充分性不成立．若a＝b，则a·c＝b·c，故必要性成立．故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．2．(2021·北京高一检测)如图，向量b－a等于(　　)A.－2e1－4e2     B．－4e1－2e2C．e1－3e2      D．－e1＋3e2【解析】选C.如图：设＝a，＝b，则b－a＝－＝＋＝＝e1－3e2.3．(2021·合肥高一检测)已知向量a与b共线，下列说法正确的是(　　)A．a＝b或a＝－bB．a与b平行C．a与b方向相同或相反D．存在实数λ，使得a＝λb【解析】选B.向量a与b共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；向量a与b共线，则a与b平行，故B正确；a为零向量，则满足a与b共线，方向不一定相同或相反；故C错；当a≠0，b＝0时，满足a与b共线，但不存在实数λ，使得a＝λb，故D错．4．在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝(　　)A．a＋b     B．－a＋bC．a－b     D．－a－b【解析】选A.由已知可得＝，＝.＝－＝－＝，＝＋＝＋＝＋＝＋＝a＋b.5．(2021·西安高一检测)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则·的值为(　　)A.12    B．8    C．4    D．2【解析】选B.设圆C的半径为r，∠CAB＝θ，则cos θ＝，所以·＝··cos θ＝4×r×＝8.6．(多选题)已知向量a＝(，1)，b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是(　　)A．若a⊥b，则tan θ＝B．若b在a上的投影为－，则向量a与b的夹角为C．存在θ，使得|a＋b|＝|a|＋|b|D．a·b的最大值为【解析】选BCD.若a⊥b，则a·b＝cos θ＋sin θ＝0，则tan θ＝－，故A错误；若b在a上的投影为－，且|b|＝1，则|b|cos 〈a，b〉＝－，cos 〈a，b〉＝，故B正确；若(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(|a|＋|b|)2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|，即cos 〈a，b〉＝1，故<a，b>＝0，|a＋b|＝|a|＋|b|，故C正确；a·b＝cos θ＋sin θ＝sin (θ＋φ)，因为0≤θ≤π，0<φ<，则当θ＋φ＝时，a·b的最大值为，故D正确．7．(多选题)已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足＋2＝0，＝2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　)A．∥B．＝＋C．·>0D．S＝4【解析】选BD.由＋2＝0，＝2，可知点P为AC的三等分点，点Q为AB延长线的点，且B为AQ的中点，如图所示：对于A，点P为AC的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；对于B，＝＋＝＋＝＋＝＋，故B正确；对于C，·＝cos π＝－<0，故C错误；对于D，设△ABC的高为h，S△ABC＝h＝3，即h＝6，则△APQ的面积S△APQ＝·h＝·2·h＝×6＝4，故D正确．二、填空题(每小题5分，共20分)8．已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为CD的中点，则·＝________．【解析】·＝·＝·＝2－·－2＝2－2＝1－×22＝－1.答案：－19．在静水中划船的速度为40m/min，水流的速度为20m/min，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是____________．【解析】如图所示，设水流的速度为，船航行的速度为，由题意可知，＋＝，且⊥，＝20，＝40，在直角三角形ACD中，DC＝AB＝20，AD＝40，所以∠DAC＝30°，所以∠DAB＝120°，所以船行进的方向与水流方向所成角是120°.答案：120°10．如图，在矩形ABCD中，＝2，F为DE的中点，若＝m·＋n·，则m＋n＝________．【解析】由F为DE的中点，利用向量平行四边形法则可得：＝＋，利用向量三角形法则知：＝＋＝＋＝＋，所以＝＋＝＋，因为＝m＋n，所以m＝，n＝，所以m＋n＝＋＝.答案：11．(2021·绍兴高一检测)已知圆内接四边形ABCD的边长BC＝2AB＝2，CD＝DA＝，则AC＝________，四边形ABCD的面积为________．【解析】设AC＝x，由余弦定理可得cos ∠ABC＝，cos ∠ADC＝由题意可得∠ABC＋∠ADC＝π，所以－＝，解得x＝，所以cos ∠ABC＝－，∠ABC＝，所以∠ADC＝.S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×2×＋×××＝.答案：　三、解答题(每小题10分，共30分)12．已知向量a＝(1，－1)，|b|＝，且(2a＋b)·b＝4.(1)求向量a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|的值．【解析】(1)由题意＝，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋2＝4，所以a·b＝1，所以a·b＝×cos θ＝1，cos θ＝，所以θ＝；(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2＋2＝6，所以|a＋b|＝.13．(2021·佛山高一检测)设向量a＝(cos 2x，cos x)，b＝(2sin x，)，c＝(1－2sin x，－3)，x∈.(1)若a∥b，求|2a＋c|的值；(2)设f(x)＝a·(b＋c)，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．【解析】(1)因为向量a＝(cos 2x，cos x)，b＝(2sin x，)，且a∥b，所以cos 2x＝2sin x cos x，即cos 2x＝sin 2x.若cos 2x＝0，则sin 2x＝0，与sin 22x＋cos 22x＝1矛盾，故cos 2x≠0.于是tan 2x＝.又x∈，所以2x＝，x＝，所以2a＝(1，)，c＝(1－2sin x，－3)＝(0，－3)，则2a＋c＝(1，－2)，所以|2a＋c|＝.(2)因为b＝(2sin x，)，c＝(1－2sin x，－3)，所以b＋c＝(1，－2)，所以f(x)＝a·(b＋c)＝(cos 2x，cos x)·(1，－2)＝cos 2x－2cos x＝2cos 2x－2cos x－1＝22－又x∈，所以cos x∈，所以当cos x＝，即x＝时，f(x)取到最小值－；因为1－<－.所以当cos x＝，即x＝时，f(x)取到最大值－－.14．(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C. (1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.【解析】(1)在△ABC中，＝　①，因为BD sin ∠ABC＝a sin C，所以＝　②，联立①②得＝，即ac＝b·BD，因为b2＝ac，所以BD＝b；(2)若AD＝2DC，△ABC中，cos C＝　③，△BCD中，cos C＝　④，因为③＝④，所以(a2＋b2－c2)＝3，整理得a2＋b2－c2＝3a2＋－3b2，所以2a2－b2＋c2＝0，因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，即a＝或a＝c，若a＝时，b2＝ac＝，则cos ∠ABC＝＝＝＝(舍)，若a＝c，b2＝ac＝c2，则cos ∠ABC＝＝＝＝.