高中1.1 集合的概念学案设计

集合的概念

[课程目标] 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号；3.能够选择适当的方法表示集合．

知识点一　集合的定义及元素的特征

1．集合与元素的概念：一般地，我们把研究对象统称为__元素__，把一些元素__组成的总体__叫做集合，简称为__集__．

2．符号表示：集合常用大写字母A，B，C，…表示，元素常用小写字母a，b，c，…表示．a属于集合A，记作__a∈A__，a∉A的意义是__元素a不属于集合A__．

3．常用数集及其记法：自然数集记作__N__；正整数集记作__N*__或__N＋__；整数集记作__Z__；有理数集记作__Q__；实数集记作__R__．

4．集合中元素的三个特性为__确定性__、__互异性__、__无序性__．

[研读](1)“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．

(2)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．

(3)组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)平面上到点O的距离等于1的点的全体可以组成一个集合．(　√　)

(2)人教A版高中数学必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合．(　×　)

(3)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是同一个集合．(　√　)

(4)某中学2021级高一年级20个班构成一个集合A，则高一(2)班的学生是集合A的元素．(　×　)

【解析】 (1)“平面上到点O的距离等于1的点的全体”是确定的，能够组成集合．

(2)“人教A版高中数学必修第一册课本上所有的难题”不是确定的，不能组成集合．

(3) 根据集合中元素的无序性知，这两个集合表示同一个集合．

(4)因为集合A是由高一年级20个班组成的，所以高一(2)班是集合A中的元素，高一(2)班的学生不是集合A中的元素．

知识点二　集合的表示法

1．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．基本格式为： {a1，a2，…，an}．

2．描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有__共同特征P(x)__的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．

[研读]列举法表示集合的三种情况：

(1)集合的元素较少，如{1，2，3，4}．

(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1，2，3，4，…，100}．

(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“所有的正偶数”可以表示为{2，4，6，8，…}.

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)方程(x－1)(x＋2)＝0的实数根组成的集合是{－2，1}．(　√　)

(2)由直线y＝2x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合是{(x，y)|y＝2x＋4，x∈N}．(　√　)

(3)集合{x|3＜x＜8}是有限集．(　×　)

(4)集合A＝{x|x2－1＝0}与集合B＝{－1，1}表示同一个集合．(　√　)

  教材应用用符号“∈”或“∉”填空：

(1)2__∈__R，2__∉__{x|x<}；

(2)4__∉__{x|x＝n2＋1，n∈N＋}；

(3)(1，1)__∉__{y|y＝2x＋1}，

(1，1)__∈__{(x，y)|y＝2x－1}．

【解析】 (1)2∈R，而2＝>，所以2∉{x|x<}．

(2)因为n2＋1＝4，所以n＝±∉N＋.所以4∉{x|x＝n2＋1，n∈N＋}．

(3)(1，1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y＝2x＋1}表示一次函数的函数值构成的集合，故(1，1)∉{y|y＝2x＋1}．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示直线上的点构成的集合(点集)，且满足y＝2x－1，所以(1，1)∈{(x，y)|y＝2x－1}．

活学活用

1．以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有__3__个元素．

【解析】 因为方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，

方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2，

所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素．

2．已知集合M含有两个元素a－3和2a＋1，若－2∈M，则实数a的值是__1或－__．

【解析】 因为－2∈M，所以a－3＝－2或2a＋1＝－2.

若a－3＝－2，则a＝1，此时集合M中含有两个元素－2，3，符合题意；

若2a＋1＝－2，则a＝－，此时集合M中含有两个元素－2，－，符合题意．

所以实数a的值是1或－.

 用列举法表示下列集合：

(1)小于10的正偶数组成的集合；

(2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；

(3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合；

(4)满足不等式x2＋y2≤2的整数点(横坐标、纵坐标都是整数的点)组成的集合．

解：(1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}．

(2)方程x(x2－1)＝0的根为0，±1，所求集合为{0，－1，1}．

(3)方程组的解是所求集合为{(1，1)}．

(4)满足不等式x2＋y2≤2的整数点组成的集合是{(－1，－1)，(1，－1)，(1，1)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)}．

[规律方法]

用列举法表示集合时，注意以下三点：

(1)元素之间用“，”隔开．

(2)元素不重复、无顺序．

(3)对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．

活学活用

用列举法表示下列集合：

(1)平方等于5的实数组成的集合为__{－，}__；

(2)由＋(a，b∈R，且ab≠0)的所有值构成的集合为__{－2，0，2}__；

(3)绝对值在3到7之间(不含3和7)的整数组成的集合为__{－4，－5，－6，4，5，6}__；

(4)方程组的解组成的集合为__{(0，0)，(1，－1)}__．

【解析】 (1)因为(±)2＝5，所以平方等于5的实数组成的集合为{－，}.

(2)设x＝＋，当a＞0，b＞0时，x＝2；当a＜0，b＜0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0.故用列举法表示为{－2，0，2}．

(3)绝对值在3到7之间(不含3和7)的整数是－4，－5，－6，4，5，6，所以组成的集合为{－4，－5，－6，4，5，6}．

(4)方程组的解为或所以方程组的解组成的集合为{(0，0)，(1，－1)}.

 用描述法表示下列集合：

(1)使y＝有意义的实数x组成的集合；

(2)坐标平面上第一、三象限内的点组成的集合；

(3)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点组成的集合；

(4)函数y＝x2－2x＋2的函数值组成的集合．

解：(1)要使y＝有意义，则x2＋x－6≠0，即x≠2且x≠－3，故可写成{x∈R|x≠2且x≠－3}．

(2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同，因此可写成{(x，y)|xy>0，x∈R，y∈R}.

(3)易知集合可写成{(x，y)|y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈R}．

(4)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，所以函数值组成的集合为{y|y≥1}．

[规律方法]

用描述法表示集合时，注意以下几点：

(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号).

(2)说明该集合中元素的特征．

(3)不能出现未被说明的字母．

(4)多层描述时，应当准确使用“或”“且”等．

(5)所有描述的内容都要写在集合括号内．

(6)用于描述法的语句力求简明、确切．

活学活用

用描述法表示下列集合：

(1)满足不等式3x＋2＞2x＋1的实数x组成的集合为__{x|x>－1}__；

(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合为__{(x，y)|x<0，y＞0，且x，y∈R}__；

(3)所有正奇数组成的集合为__{x|x＝2k－1，k∈N*}__．

【迁移探究】 设M＝{a＝x2－y2，x，y∈Z}，求证：

(1)2k－1∈M，k∈Z；(2)4k－2∉M，k∈Z；

(3)若p∈M，q∈M，则pq∈M.

证明：(1)由2k－1＝×1＝·＝k2－(k－1)2，且k，k－1∈Z，从而2k－1∈M.

(2)假设4k－2∈M，那么4k－2＝x2－y2，且x，y∈Z．

则(x－y)(x＋y)＝2(2k－1).

由于(x＋y)与(x－y)具有相同的奇偶性，所以(x＋y)(x－y)不可能是一奇一偶的乘积，所以4k－2∉M，k∈Z．

(3)设p＝x2－y2，q＝a2－b2，且x，y，a，b∈Z，

则pq＝＝－∈M.

故pq∈M.

1．下列对象能构成集合的是(　C　)

A．2021年高考数学试卷中所有的难题

B．平面直角坐标系中第一象限内的一些点

C．2021年北京大学的所有应届毕业生

D．杭州某校高一年级的尖子生

【解析】 A中难题标准不明确，不满足确定性，不能构成集合；B中“平面直角坐标系中第一象限内的一些点”，元素不明确，故不能构成一个集合；C中的对象都是确定的而且是不同的，因而能构成集合；D中尖子生标准不明确，不满足确定性，故不能构成集合．

2．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　C　)

A．1　　　B．－2　　　C．6　　　D．2

【解析】 因为A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证，知选C.

3．已知集合A＝{x|x(x－2)＝0}，下列正确的是(　A　)

A．0∈A    B．2∉A

C．－1∈A    D．0∉A

【解析】 集合A中有两个元素：0和2，所以0∈A.

4．由10到20之间的质数组成的集合为__{11，13，17，19}__．

【解析】 10到20之间的质数是11，13，17，19，所以组成的集合为{11，13，17，19}．

5．集合{x|x＝2m－3，m∈N*，m＜5}用列举法表示为__{－1，1，3，5}__．

【解析】 集合中的元素满足x＝2m－3，m∈N*，m＜5，则满足条件的x的值为：m＝1时，x＝－1；m＝2时，x＝1；m＝3时，x＝3；m＝4时，x＝5.则集合为{－1，1，3，5}．

6．试用适当的方法表示下列集合．

(1)被3除余1的自然数集合：__{x|x＝3n＋1，n∈N}__；

(2)二次函数y＝2x2＋6的函数值组成的集合：____；

(3)反比例函数y＝－的图象上的点组成的集合：

____；

(4)方程组的解组成的集合：____；

(5)不等式6x－2≥5x的解集：____．

【解析】 (1)被3整除的特征是可以表示成x＝3n(n∈N)，所以被3除余1的自然数集合为.

(2) 函数值组成的集合的代表元素是y，所以集合为.

(3)反比例函数y＝－的图象上的点组成的集合应该是点集，故为.

(4)由⇒所以所求集合为.

(5)解集可以表示为

.