高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系学案

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集合间的基本关系[课程目标] 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别出集合的子集，在具体情境中，了解空集的含义；2.能使用Venn图表达集合间的关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 知识点一　子集、真子集及集合相等的概念 类别文字语言图形语言符号表示子集集合A中__任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合__A__为集合__B__的子集__A⊆B__或__B⊇A__真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集__AB__或__BA__集合相等如果集合A是集合B的__子集__(A⊆B)，且集合B是集合A的__子集__(B⊆A)，则称集合A和集合B相等__A＝B__　　[研读] “A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若a∈A，则{a}⊆A.(　√　)(2)若A⊆B或B⊆A，则A＝B.(　×　) (3)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　√　)(4)已知集合M＝{长方形}，N＝{正方形}，则有N⊆M.(　√　)【解析】 (1)根据子集的含义知，若a∈A，则{a}⊆A.(2)根据集合相等的概念知，当A⊆B且B⊆A时，A＝B.(3)因为B是A的子集，所以不属于A的元素一定不属于B.(4)正方形是长方形的特殊情况，所以N⊆M. 知识点二　空集 定义我们把__不含任何元素__的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的__子集__，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅(2)若A≠∅，则∅____A　　[研读] 不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)空集没有子集．(　×　)(2)空集是任何集合的真子集．(　×　)(3)∅∈{0}．(　×　)(4)集合{x|x<3且x>4}是空集．(　√　)(5)若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集．(　√　)【解析】 (1)空集的子集是它本身．(2)空集是空集的子集，但不是真子集．(3)∅⊆{0}．(4)集合{x|x<3且x>4}中没有元素．(5)显然集合A中的元素都是集合C中的元素，所以集合A是集合C的子集．   (1)在以下写法中，正确的个数为(　B　)①0＝{0}；②0∈{0}；③0⊆{0}；④0＝∅； ⑤0∈∅； ⑥0⊆∅；⑦∅＝{0} ；⑧∅∈{0}；⑨∅⊆{0}．A．1个　　　　　　B．2个C．3个    D．4个 (2)用适当的符号填空．①a__∈__{a，b，c}；　②0__∈__{x|x2＝0}；③{0，1}____N；　　　　④{0}____{x|x2＝x}；⑤∅__＝__ {x∈R|x2＋1＝0}；⑥{2，1}__＝__{x|x2－3x＋2＝0}．[规律方法]判断集合间关系的常用方法1．列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．2．集合元素特征法：首先确定集合的代表元素，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．3．数形结合法：利用Venn图、数轴和平面直角坐标系等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴． 活学活用能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　B　)　 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.【解析】 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示． 已知P＝，Q＝{x|x＝4m±1，m∈Z}，求证：P＝Q.证明：一方面：任取x∈P，则存在m∈Z使得x＝2m＋1，当m＝2k(k∈Z)时，x＝4k＋1∈Q；当m＝2k－1(k∈Z)时，x＝4k－1∈Q，从而x∈Q，所以P⊆Q.另一方面：任取x∈Q，当x＝4m＋1，m∈Z时，x＝2(2m)＋1∈P；当x＝4m－1，m∈Z时，x＝2(2m－1)＋1∈P，从而x∈P，所以Q⊆P.综上可得：P＝Q. 活学活用设集合M＝，N＝，P＝，请探求集合M，N，P之间的关系．解：由x0∈M⇒x0＝＝＝－∈N⇒MN.任取x0∈N⇒x0＝－＝＝＝＋∈P⇒N⊆P.任取x0∈P⇒x0＝＋＝＝＝－∈N⇒P⊆N.综上可得：MN＝P.  设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．解：由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1，4}．由0个元素构成的子集为：∅；由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}；由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}．因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}.[规律方法]1．集合子集的确定问题．(1)确定所求集合．(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合．(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．与子集、真子集个数有关的三个结论．假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n.(2)A的真子集的个数为2n－1.(3)A的非空真子集的个数为2n－2. 活学活用已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A且a≠b}，则B的子集个数是(　B　)A．4　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．15【解析】 由B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A且a≠b}，得B＝{3，4，5}，所以B的子集有：∅，{3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，共8个．【迁移探究】已知非空集合P满足：①P⊆，②若a∈P，则∈P.符合上述条件的非空集合P有多少个？并写出这些集合．解：符合条件的非空集合P有7个，分别为，，，，，，. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．解：因为A⊆B，所以解得故3≤m≤4.所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．[规律方法]由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(3)对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．【迁移探究1】 本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，求m的取值范围．解：(1)当B＝∅时，m－6＞2m－1，即m＜－5.(2)当B≠∅时，由得即m∈∅.故实数m的取值范围是{m|m＜－5}．【迁移探究2】 本例中若将“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|x＜－2或x＞5}”，若B⊆A，求实数m的取值范围．解：(1)当B＝∅时，m－6＞2m－1，即m＜－5.(2)当B≠∅时，由或得或即m＞11或－5≤m＜－.综上，实数m的取值范围是. 活学活用已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．若A是B的真子集，则a的取值范围是__{a|a＞2}__；若B是A的子集，则a的取值范围是__{a|a≤2}__．【解析】 若A是B的真子集，即AB，则a>2，即a的取值范围是{a|a＞2}．若B是A的子集，即B⊆A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}．1．若集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1，2}，则P与T的关系为(　D　)A．P＝T　　　　　　B．PTC．P⊇T    D．PT【解析】 由x2－1＝0，得x＝±1，所以P＝{－1，1}．因此PT.故选D. 2．若集合A＝{－1，0，1}，则A的子集中含有元素0的子集共有(　B　)A．2个    B．4个C．6个    D．8个【解析】 集合A含有0的子集分别是{0}，{－1，0}，{0，1}，{－1，0，1}，共4个．故选B.3．下列说法中正确的是(　C　)①若AB，则A⊆B；②若A⊆B，则AB；③若A＝B，则A⊆B；④若A⊆B，则A＝B.A．①②    B．②③C．①③    D．①②③④【解析】 ②不正确，如{1，2}⊆{1，2}，但{1，2}{1，2}不成立；④不正确，如{1}⊆{1，2}，但二者不相等．①③正确．故选C.4．集合A＝{x|0≤x<4，且x∈N}的真子集的个数是(　C　)A．16    B．8C．15    D．4【解析】 A＝{x|0≤x<4，且x∈N}＝{0，1，2，3}，故其真子集有24－1＝15(个).5．设集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<a}，若AB，则实数a的取值范围为__a≥3__．【解析】 画出数轴可得a≥3.