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    新人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式1等式性质与不等式性质学案

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    人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案设计

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案设计,共9页。
    等式性质与不等式性质[课程目标] 1.了解等式的性质;2.掌握不等式的基本性质;3.能用不等式的基本性质解决一些简单问题. 知识点一 等式的性质 性质文字表述性质内容注意1对称性a=bb=a2传递性a=bb=ca=c3可加、减性aba±c=b±c4可乘性a=bac=bc5可除性a=bc≠0   判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)由3a-2=2b得3a=2b+2.(  )(2)由-1=2y-3得x1=4y-6.( × )(3)由得x-y=2a+b.( × )(4)x-2=4x+7得x=-3.(  ) 知识点二 不等式的性质 性质文字表述性质内容注意1对称性a>bb<a2传递性a>bb>ca>c3可加性a>ba+c>b+c4可乘性  a>bc>0ac>bc   a>bc<0ac<bcc的符号   5同向可加性a>bc>da+c>b+d同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0ac>bd同向7可乘方性a>b>0那么an>bn(n∈Nn≥2)同正  [研读]将不等式的性质与等式的性质进行比较可以加深对不等式的理解.性质4、性质6、性质7强调数或式的符号性质3、性质5表明不等式只能同向相加不能同向相减. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若a>b则ac>bc一定成立.( × )(2)若a-c<b-c则a<b.(  )(3)若a+c>b+d则a>bc>d.( × )(4)若a>bc>d>.( × )【解析】 (1)由不等式的可乘性知当不等式两端同乘一个正数时不等号方向不变因此若a>b则ac>bc不一定成立故此说法是错误的.(2)在不等式a-c<b-c两边同时加上c可得a<b所以此说法正确.(3)取a=4c=5b=7d=1满足a+c>b+d但不满足a>b故此说法错误.(4)取a=2b=1c=-1d=-2满足a>bc>d>不成立.所以此说法错误.  教材拓展已知ab为正数且a≠b比较a3+b3与a2b+ab2的大小.解:(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).因为a>0b>0且a≠b所以(a-b)2>0a+b>0所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0即a3+b3>a2b+ab2.[规律方法]作差比较法比较两个数(式)大小的步骤:(1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差.(2)变形:对差进行变形常见的变形技巧是:因式分解配方.(3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号.(4)作出结论.  活学活用设xy∈R比较x2+y2与xy+x+y-1的大小.解:x2+y2-(xy+x+y-1)=[(x2-2xy+y2)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]=[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0∴x2+y2≥xy+x+y-1. 已知a>b>c求证:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.证明: (a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)=a2(b-c)-(b2-c2)a+(b-c)bc=(b-c)[a2-(b+c)a+bc]=(a-b)(b-c)(a-c)>0所以a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. 活学活用设xyz∈R比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.解:5x2+y2+z2=(z22z+1)+(y2-2xy+x2)+(4x2-4x+1)=(z-1)2+(y-x)2+(2x-1)2≥0∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2. 若abc为实数判断下列命题的真假:(1)若a>b则ac<bc;(2)若a>bab≠0<(3)若a<b<0则a2>ab>b2(4)若c>a>b>0>.解:(1)因为c可以是正数、负数或零不等式两边都乘c所以ac与bc的大小关系不确定所以为假命题.(2)当a>0>b时不等式不成立所以为假命题.(3)由a2>abab>b2所以a2>ab>b2所以为真命题.(4)因为a>b>0所以-a<-b所以c-a<c-b.又因为c>a>b>0所以>0.在不等式c-a<c-b两边同乘>>0又a>b>0所以>所以为真命题. 活学活用已知abc∈R那么下列命题中正确的是( C )A.  B.a>bC    D.【解析】 对于A若a>b>0c<0d>0A错;对于B当c<0时有a<bB错;对于C由a3>b3a>b又ab<0所以C正确;对于D若a=2b=1满足a2>b2ab>0D错. 已知10<a<3015<b<20则3a-b的取值范围是__10<3a-b<75__.【解析】 依题意30<3a<90-20<-b<-15所以30-20<3a-b<90-15即10<3a-b<75所以3a-b的取值范围是10<3a-b<75.【迁移探究1】在本例的前提下a(b-10)的取值范围是__50<a(b-10)<300__; 的取值范围是__<<2__.【解析】 因为10<a<3015<b<205<b-10<10所以10×5<a(b-10)<30×10即50<a(b-10)<300.又<<所以<<<<2所以a(b-10)的取值范围是50<a(b-10)<300的取值范围是<<2.【迁移探究2】 将本例的条件变为“10<a+b<3015<a-b<20”求3a-b的取值范围.解:令a+b=ma-b=n则10<m<3015<n<20由a+b=ma-b=n得a=b所以3a-b==m+2n.而10<m<3015<n<20所以40<m+2n<70即40<3a-b<70.[规律方法]利用不等式的性质求参数取值范围时一要注意题设中的条件二要正确使用不等式的性质求解.切记想当然以免出现错误如两个不等式相减不等式两边同乘(或除以)一个实数会导致错误结果. 活学活用已知-≤x<y≤试求的取值范围.解:因为-≤x<y≤所以-<<所以-≤-<所以-<. 又因为x<y所以<0故-<0. 已知12<a<6015<b<36的取值范围.解:由12<a<6015<b<36<<4.=t<t<4所以=1-所以-<1-<所以-<<. 活学活用已知a>b>c且a+b+c=0的取值范围是__-2<<-__【解析】 a>0a>b=-a-c>c-2<<-.1.若ma=mb那么下列等式不一定成立的是( A )A.a=b    B.ma-3=mb-3C. ma=-mb    D. ma+8=mb+8【解析】 当m≠0时由ma=mb得a=b当m=0时a=b不一定成立.故选A.2.下列方程的变形中正确的是( C )①3x+6=0变形为x+2=0;②x+7=5-3x变形为4x=-2;③4x=-2变形为x=-2;④=3变形为2x=15.A. ①④    B. ②③C.①②④    D. ①②③【解析】 根据等式的性质可知只有4x=-2变形为x=-2是错误的其余都正确.故选C. 3.如果a<0b>0那么下列不等式中正确的是( A )A.<    B.<C.a2<b2    D.|a|>|b|【解析】 因为a<0b>0所以<0>0所以<.4.下列命题正确的是( D )A.若a>b则ac2>bc2B.若a>-b则-a>bC.若ac>bc则a>bD.若a>b则a-c>b-c【解析】 当c=0时选项A错误;将a>-b两边同乘-1得-a<b选项B错误;当c<0时选项C错误;只有选项D正确.故选D.5.设a=3x2-x+1b=2x2+x则( C )A.a>b    B.a<bC.a≥b    D.a≤b【解析】 a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0所以a≥b.6.已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4求4a-2b的取值范围.解:令a+b=xa-b=y则2≤x≤41≤y≤2.解得所以4a-2b=4·-2·=x+3y.而2≤x≤43≤3y≤6则5≤x+3y≤10所以5≤4a-2b≤10. 

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