数学第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第二课时学案

这是一份数学第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第二课时学案，共8页。
第2课时　基本不等式的简单应用[课程目标] 1.进一步了解基本不等式 ≤(a>0，b>0)；2.会用基本不等式解决简单最大(小)值问题；3.会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题． 知识点　基本不等式与最值已知x＞0，y＞0，则(1)若x＋y＝S(和S为定值)，则当x＝y时，积xy取得最__大__值.(2)若xy＝P(积P为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最__小__值2.记忆口诀：两正数“和为定值积__最大__”，两正数“积为定值和__最小__”．[研读]应用基本不等式求最值时，需注意：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是不是定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是不是定值；(3) 等号成立的条件是否满足． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)两个正数的积为定值，它们的平方和有最小值．(　√　) (2)若a>0，b>0且a＋b＝10，则ab≤25.(　√　)(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数的最小值是2.(　×　)(4)当a≥2时，a＋的最小值为2.(　×　)【解析】 (1)由x2＋y2≥2xy知，该说法正确．(2)因为≤＝5，所以ab≤25(当且仅当a＝b＝5时等号成立).(3)当x>1时，x－1>0，则y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数取到最小值3.(4)a＋≥2，当且仅当a＝1时取等号，与a≥2矛盾．  教材拓展若0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值是____．【解析】 因为0<x<，所以1－2x>0，所以y＝x·(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y的最大值是. 教材应用已知x>2，则y＝x＋的最小值为__6__．【解析】 因为x>2，所以x－2>0，所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋的最小值为6.【迁移探究1】 若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，则y＝x＋的最大值是__－2__．【解析】 因为x<2，所以2－x>0，所以y＝x＋＝－＋2≤－2＋2＝－2.又2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去).即当且仅当x＝0时，等号成立．故y＝x＋的最大值为－2.【迁移探究2】 若把本例中的条件“x>2”去掉，则y＝x＋的取值范围是__y≤－2或y≥6__．【解析】 当x>2时，y＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6(当且仅当x＝4时取等号).当x<2时，y＝x＋＝(x－2)＋＋2＝－＋2≤－2＋2＝－4＋2＝－2(当且仅当x＝0时取等号).即y＝x＋的取值范围是y≤－2或y≥6.[规律方法]利用基本不等式求函数最值时的配凑技巧．在利用基本不等式求函数的最值时，有时不一定恰好能用上基本不等式，因此还必须对所给的函数解析式进行变形整理，通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解． 活学活用1．已知t＞0，则y＝的最小值为(　B　)　　　　　　　　　　　　　　 A．－1    B．－2C．2    D．－5【解析】 依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即y＝(t>0)的最小值是－2.2．若x>1，则y＝x＋＋的最小值为__8__．【解析】 ∵x>1，∴y＝x＋＋＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即x＝2＋时等号成立． 设x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值是__4__.【解析】 x＋y＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4.当＋＝1且＝，即x＝y＝2时，＝4.【迁移探究1】 设x>0，y>0且x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是__5__．【解析】 因为x>0，y>0，由x＋3y＝5xy⇒＋＝5，所以3x＋4y＝＝≥5.当＋＝5且＝时等号成立，即x＝1，y＝时，＝5.【迁移探究2】 已知a，b>0，且不等式＋≥恒成立，求m的取值范围．解：由＋≥⇒≥m对任意a，b>0恒成立．又＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时等号成立，所以m≤9.[规律方法]利用基本不等式求最值的方法．(1)消元法．通过代换消去其中一个变量，将其转化为求函数的最大(小)值问题．(2)配凑法．根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件．(3)构造法．通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式． 活学活用1．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为__16__．【解析】 因为x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16.当且仅当x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.2．设xy≠0且x2＋3y2＝4，则＋的最小值是__4__.【解析】 由＋＝＝＋≥＋＝4，当且仅当x2＝1，y2＝1时，＝4. 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为多少辆/时？(2) 如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加多少辆/时？解：(1)当l＝6.05时，F＝，∴F＝＝≤＝1 900，当且仅当v＝，即v＝11时等号成立．∴最大车流量F为1 900辆/时．(2)当l＝5时，F＝＝，∴F≤＝2 000，当且仅当v＝，即v＝10时等号成立．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100(辆/时).[规律方法]利用基本不等式求最优化问题，关键是将实际问题转化为函数最值问题或者多变量最值问题，结合最值求法，解得最优解． 活学活用某厂家拟举行2021年度促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数．(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，所以1＝3－k，得k＝2，所以x＝3－.每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以2021年该产品的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－＋29(m≥0).(2)当m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3时，y取得最大值21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．1．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是(　D　)A．2    B．2C．3    D．4 【解析】 因为a>0，所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时等号成立．2．已知a>0，b>0，a＋2b＝1，则ab的最大值是(　D　)A．1    B．C．    D．【解析】 1＝a＋2b≥2，得ab≤，当且仅当a＝，b＝时，等号成立．3．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的取值范围是(　C　)A．＋≥2    B．＋≥3C．＋≥4    D．＋≥6【解析】 因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号．4．已知x>3，则对于函数y＝x＋，下列说法正确的是(　B　)A．y有最大值7    B．y有最小值7C．y有最小值4    D．y有最大值4【解析】 y＝x＋＝x－3＋＋3，结合x>3可得x－3>0，则y≥2＋3＝7，当且仅当x＝5时等号成立．即y有最小值7.故选B.5．若长方形的周长为6，则长方形的面积的最大值是____.【解析】 设长方形的长和宽分别为a，b，则2a＋2b＝6，即a＋b＝3，所以3＝a＋b≥2，得ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以长方形的面积的最大值是.