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数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质导学案及答案
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奇偶性[课程目标] 1.了解函数奇偶性的含义,了解奇函数、偶函数的图象的对称性;2.会运用定义判断函数的奇偶性. 知识点一 奇函数和偶函数的概念一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且__f(-x)=f(x)__,那么函数f(x)就叫做偶函数;如果∀x∈I,都有-x∈I,且__f(-x)=-f(x)__,那么函数f(x)就叫做奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,我们就说函数f(x)具有__奇偶性__.[研读]由奇函数和偶函数的定义可知,奇函数或偶函数的定义域关于原点对称. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数f(x)的定义域是R,且f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)是偶函数.( × )(2)函数y=x2(x∈[-2,2))是偶函数.( × )(3)函数f(x)=x+是奇函数.( √ )(4)函数f(x)对定义域内任意一个x,都有f(x)+f(-x)=0,则f(x)是奇函数.( × )【解析】 (1)不满足偶函数的定义.(2)定义域不关于原点对称.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(4)定义域不一定关于原点对称. 知识点二 奇函数、偶函数的图象与性质1.(1)奇函数的图象关于__原点__对称.反过来,若一个函数的图象关于__原点__对称,那么这个函数是__奇函数__.(2)偶函数的图象关于__y轴__对称.反过来,若一个函数的图象关于__y轴__对称,那么这个函数是偶函数.2.重要性质(1)奇函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的单调性. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)等于0.( √ )(2)函数f(x)=0(x∈[-1,1])既是奇函数又是偶函数.( √ )(3)若偶函数f(x)在[0,4]上单调递增,则在[-1,0]上单调递减.( √ )(4)若奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则在(-∞,0)上单调递增.( × )【解析】 (1)f(-0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0.(2)f(x)=0(x∈[-1,1])既满足f(x)=f(-x),又满足f(-x)=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)偶函数f(x)在[0,4]上单调递增,所以在[-4,0]上单调递减,因为[-1,0]⊆[-4,0],所以f(x)在[-1,0]上单调递减.(4)奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则在(-∞,0)上也单调递减. 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=;(2)f(x)=|x+1|-|x-1|.解:(1)依题意得解得-1≤x≤1且x≠0,所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1],所以解析式化简为f(x)=,满足f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)因为x∈R,且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),故f(x)为奇函数. 活学活用判断下列各函数的奇偶性.(1)f(x)=(x-2);(2)f(x)=解:(1)由≥0,得定义域为[-2,2),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.(2)函数的定义域为R.x<-1时,f(x)=x+2,-x>1,所以f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x);x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,所以f(-x)=-x+2=f(x);-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,所以f(-x)=0=f(x).综上知,对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.[规律方法]1.用定义判断函数奇偶性的步骤:①先求定义域,看是否关于原点对称;②再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否恒成立.2.若已知函数的图象,则观察图象是否关于原点或y轴对称,依此判断函数的奇偶性. 若函数f(x)=为奇函数,则a=__-1__.【解析】 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以=-,即2(a+1)x=0.因为x≠0,所以a+1=0,得a=-1. 活学活用若函数f(x)=(|x|-1)(x+a)为奇函数,则a=__0__.【解析】 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,即-a=0,得a=0.检验:当a=0时,f(x)=(|x|-1)x,f(-x)=-(|x|-1)x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数. 设f(x)在R上是偶函数,在(-∞,0)上单调递减,若f(a2-2a+3)>f(a2+a+1),求实数a的取值范围.解:由题意知,f(x)在(0,+∞)上单调递增.又a2-2a+3=(a-1)2+2>0,a2+a+1=+>0,且f(a2-2a+3)>f(a2+a+1),所以a2-2a+3>a2+a+1,解得a<.综上,实数a的取值范围是.[规律方法]利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意的两点:1.奇函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上,单调性相同,偶函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上,单调性相反.2.确定单调区间,依据题设条件将不等式转化为具体不等式,在这个区间上解不等式. 活学活用设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m)等价于f(|1-m|)<f(|m|).又f(x)在区间[0,2]上单调递减,所以解得-1≤m<.即m的取值范围是.【迁移探究】若奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧图象如图所示,则满足f(x)<0的x的集合是__(-2,0)∪(2,5)__.【解析】 由奇函数f(x)的图象可知,当x∈(2,5)时,f(x)<0;当x∈(0,2)时,f(x)>0.因为图象关于原点对称,所以当x∈(-5,-2)时,f(x)>0;当x∈(-2,0)时,f(x)<0.所以满足条件的x的集合是(-2,0)∪(2,5). (1)若函数f(x)=x3+2x+3(x∈[-10,10]),则f(x)min+f(x)max=__6__;(2)函数f(x)=ax2 021+bx+1的最大值和最小值分别为M,m,则M+m=__2__.【解析】 (1)记函数g(x)=f(x)-3=x3+2x,则g(x)=x3+2x为奇函数,由于对称性,所以在区间[-10,10]上,g(x)max+g(x)min=0,f(x)min+f(x)max=g(x)min+3+g(x)max+3=6.(2)令g(x)=ax2 021+bx,易得g(x)为奇函数,即g(x)max=M-1,g(x)min=m-1,由奇函数对称性得M-1+m-1=0,所以M+m=2. 活学活用若函数f(x)=的最大值和最小值分别为M,m,则M+m=__2__.【解析】 f(x)==1+,记函数g(x)=f(x)-1=.易知g(x)=为奇函数,由对称性,得g(x)max+g(x)min=0,所以f(x)min+f(x)max=g(x)min+1+g(x)max+1=2. 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.解:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=x2+x-2,①得f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2,即f(x)-g(x)=x2-x-2.②由①②得f(x)=x2-2,g(x)=x.[规律方法]利用奇偶性求函数解析式的注意点:(1)求哪个区间的解析式就设x在哪个区间内;(2)将问题转化代入已知区间的解析式;(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而求出f(x). 活学活用已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-2x2+2,求f(x)的解析式.解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x=0时,f(-0)=-f(0)⇒f(0)=0.当x<0时,-x>0,从而有f(x)=-f(-x)=-=x3+2x2-2,所以f(x)=1.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( A )A.-3 B.-1C.1 D.3【解析】 f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是( B )A.y=x3 B.y=|x|+1C.y=-x2+1 D.y=-【解析】 对于函数y=|x|+1,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以y=|x|+1是偶函数,当x>0时,y=x+1,所以在(0,+∞)上单调递增.函数y=x3不是偶函数;y=-x2+1在(0,+∞)上单调递减;y=-不是偶函数.故选B.3.函数y=+( B )A.是奇函数B.是偶函数C.是既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数【解析】 由函数可知,定义域为[-1,1],函数解析式满足f(-x)=f(x),所以该函数是偶函数.故选B.4.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A )A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】 由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),由g(x)是奇函数可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.故选A.5.已知y=f(x)是R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x3-1,则x>0时,函数f(x)的解析式为__f(x)=x3+1__.【解析】 因为y=f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.当x>0时,-x<0,所以f(x)=-f(-x)=x3+1.
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