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    新人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质2函数的基本性质3.2.2奇偶性学案

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    数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质导学案及答案

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    这是一份数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质导学案及答案,共9页。
    奇偶性[课程目标] 1.了解函数奇偶性的含义了解奇函数、偶函数的图象的对称性;2.会运用定义判断函数的奇偶性. 知识点一 奇函数和偶函数的概念一般地设函数f(x)的定义域为I如果x∈I都有-x∈I且__f(-x)=f(x)__那么函数f(x)就叫做偶函数;如果x∈I都有-x∈I且__f(-x)=-f(x)__那么函数f(x)就叫做奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数我们就说函数f(x)具有__奇偶性__.[研读]由奇函数和偶函数的定义可知奇函数或偶函数的定义域关于原点对称. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数f(x)的定义域是R且f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)则f(x)是偶函数.( × )(2)函数y=x2(x∈[-22))是偶函数.( × )(3)函数f(x)=x+是奇函数.(  )(4)函数f(x)对定义域内任意一个x都有f(x)+f(-x)=0则f(x)是奇函数.( × )【解析】 (1)不满足偶函数的定义.(2)定义域不关于原点对称.(3)定义域为(-∞0)∪(0+∞)且满足f(-x)=-f(x)所以f(x)是奇函数.(4)定义域不一定关于原点对称. 知识点二 奇函数、偶函数的图象与性质1.(1)奇函数的图象关于__原点__对称.反过来若一个函数的图象关于__原点__对称那么这个函数是__奇函数__(2)偶函数的图象关于__y__对称.反过来若一个函数的图象关于__y__对称那么这个函数是偶函数.2.重要性质(1)奇函数在区间[ab]和[-b-a](b>a>0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间[ab]和[-b-a](b>a>0)上有相反的单调性. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若奇函数f(x)在x=0处有意义则f(0)等于0.(  )(2)函数f(x)=0(x∈[-11])既是奇函数又是偶函数.( √ )(3)若偶函数f(x)在[04]上单调递增则在[-10]上单调递减.(  )(4)若奇函数f(x)在(0+∞)上单调递减则在(-∞0)上单调递增.( × )【解析】 (1)f(-0)=-f(0)2f(0)=0所以f(0)=0.(2)f(x)=0(x∈[-11])既满足f(x)=f(-x)又满足f(-x)=-f(x)所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)偶函数f(x)在[04]上单调递增所以在[-40]上单调递减因为[-10][-40]所以f(x)在[-10]上单调递减.(4)奇函数f(x)在(0+∞)上单调递减则在(-∞0)上也单调递减. 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=(2)f(x)=|x+1|-|x-1|.解:(1)依题意得解得-1≤x≤1且x≠0所以函数的定义域为[-10)∪(01]所以解析式化简为f(x)=满足f(-x)=-f(x)所以f(x)是奇函数.(2)因为x∈R且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x)故f(x)为奇函数. 活学活用判断下列各函数的奇偶性.(1)f(x)=(x-2)(2)f(x)=解:(1)由≥0得定义域为[-22)不关于原点对称所以f(x)是非奇非偶函数.(2)函数的定义域为R.x<-1时f(x)=x+2-x>1所以f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x);x>1f(x)=-x+2-x<-1所以f(-x)=-x+2=f(x);-1≤x≤1时f(x)=0-1≤-x≤1所以f(-x)=0=f(x).综上知对任意x∈R都有f(-x)=f(x)所以f(x)是偶函数.[规律方法]1.用定义判断函数奇偶性的步骤:①先求定义域看是否关于原点对称;②再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否恒成立.2.若已知函数的图象则观察图象是否关于原点或y轴对称依此判断函数的奇偶性.  若函数f(x)=为奇函数则a=__-1__【解析】 因为f(x)是奇函数所以f(-x)=-f(x)所以=-即2(a+1)x=0.因为x≠0所以a+1=0得a=-1. 活学活用若函数f(x)=(|x|-1)(x+a)为奇函数则a=__0__【解析】 ∵f(x)为R上的奇函数∴f(0)=0即-a=0得a=0.检验:当a=0时f(x)=(|x|-1)xf(-x)=-(|x|-1)x=-f(x)函数f(x)为奇函数. 设f(x)在R上是偶函数在(-∞0)上单调递减若f(a2-2a+3)>f(a2+a+1)求实数a的取值范围.解:由题意知f(x)在(0+∞)上单调递增.又a2-2a+3=(a-1)2+2>0a2+a+1=>0且f(a2-2a+3)>f(a2+a+1)所以a2-2a+3>a2+a+1解得a<.综上实数a的取值范围是.[规律方法]利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意的两点:1.奇函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上调性相同偶函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上单调性相反.2.确定单调区间依据题设条件将不等式转化为具体不等式在这个区间上解不等式. 活学活用设定义在[-22]上的偶函数f(x)在区间[02]上单调递减若f(1-m)<f(m)求实数m的取值范围.解:因为f(x)是偶函数所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m)等价于f(|1-m|)<f(|m|).又f(x)在区间[02]上单调递减所以解得-1≤m<.即m的取值范围是.【迁移探究】若奇函数f(x)的定义域为[-55]其y轴右侧图象如图所示则满足f(x)<0的x的集合是__(-20)∪(25)__.【解析】 由奇函数f(x)的图象可知当x∈(25)时f(x)<0;当x∈(02)时f(x)>0.因为图象关于原点对称所以当x∈(-5-2)时f(x)>0;当x∈(-20)时f(x)<0.所以满足条件的x的集合是(-20)∪(25).  (1)若函数f(x)=x3+2x+3(x∈[-1010])则f(x)min+f(x)max=__6__;(2)函数f(x)=ax2 021+bx+1的最大值和最小值分别为Mm则M+m=__2__.【解析】  (1)记函数g(x)=f(x)-3=x3+2x则g(x)=x3+2x为奇函数由于对称性所以在区间[-1010]上g(x)max+g(x)min=0f(x)min+f(x)max=g(x)min+3+g(x)max+3=6.(2)令g(x)=ax2 021+bx易得g(x)为奇函数即g(x)max=M-1g(x)min=m-1由奇函数对称性得M-1+m-1=0所以M+m=2. 活学活用若函数f(x)=的最大值和最小值分别为Mm则M+m=__2__.【解析】 f(x)==1+记函数g(x)=f(x)-1=.易知g(x)=为奇函数由对称性得g(x)max+g(x)min=0所以f(x)min+f(x)max=g(x)min+1+g(x)max+1=2. 已知f(x)是偶函数g(x)是奇函数且f(x)+g(x)=x2+x-2求f(x)g(x)的解析式.解:因为f(x)是偶函数g(x)是奇函数所以f(-x)=f(x)g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=x2+x-2得f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2即f(x)-g(x)=x2-x-2.②由①②得f(x)=x2-2g(x)=x.[规律方法]利用奇偶性求函数解析式的注意点:(1)求哪个区间的解析式就设x在哪个区间内;(2)将问题转化代入已知区间的解析式;(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)从而求出f(x).                活学活用已知f(x)是定义在R上的奇函数且当x>0时f(x)=x3-2x2+2求f(x)的解析式.解:因为f(x)是定义在R上的奇函数所以当x=0时f(-0)=-f(0)f(0)=0.当x<0时-x>0从而有f(x)=-f(-x)=-=x3+2x2-2所以f(x)=1.设f(x)是定义在R上的奇函数当x≤0时f(x)=2x2-x则f(1)=( A )A.-3    B.-1C.1    D.3【解析】 f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.2.下列函数中既是偶函数又在(0+∞)上单调递增的函数是( B )A.y=x3    B.y=|x|+1C.y=-x2+1    D.y=-【解析】 对于函数y=|x|+1f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x)所以y=|x|+1是偶函数当x>0时y=x+1所以在(0∞)上单调递增.函数y=x3不是偶函数;y=-x2+1在(0+∞)上单调递减;y=-不是偶函数.故选B.3.函数y=( B )A.是奇函数B.是偶函数C.是既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数【解析】 由函数可知定义域为[-11]函数解析式满足f(-x)=f(x)所以该函数是偶函数.故选B.4.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数则下列结论恒成立的是( A )A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】 由f(x)是偶函数可得f(-x)=f(x)由g(x)是奇函数可得g(-x)=-g(x)故|g(x)|为偶函数所以f(x)+|g(x)|为偶函数.故选A.5.已知y=f(x)是R上的奇函数且当x<0时f(x)=x3-1则x>0时函数f(x)的解析式为__f(x)=x3+1__【解析】 因为y=f(x)是R上的奇函数所以f(-x)=-f(x)f(0)=0.当x>0时-x<0所以f(x)=-f(-x)=x3+1.  

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