高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案设计

指数函数的概念

[课程目标] 1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．

知识点　指数函数的概念

一般地，函数y＝ax(__a>0，且a≠1__)叫做__指数函数__，其中指数x是自变量，定义域是__R__．

[研读]指数函数y＝ax中，a必须满足a>0，且a≠1.

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)y＝xx(x>0)是指数函数．(　×　)

(2)y＝2x＋1是指数函数．(　×　)

(3)当a＝6时，函数y＝(a－5)·3x是指数函数.(　√　)

(4)若函数y＝ax是指数函数，则a>0.(　×　)

【解析】 (1)指数函数的底数是大于0且不等于1的常数．

(2)不符合指数函数的表达式．

(4)若函数y＝ax是指数函数，则a>0，且a≠1.

下列函数中，属于指数函数的是__①⑤__(填序号).

①y＝0.6x；②y＝5x＋1；③y＝－6x；

④y＝xα(α为常数)；⑤y＝()x.

【解析】 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，ax前面的系数为1，自变量在指数上，且只为x，依此标准，只有y＝0.6x和y＝()x是指数函数，其余都不是．

活学活用

1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝__2__.

【解析】 由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得

解得a＝2.

2．找出下列函数中的指数函数，并说明理由．

(1)y＝x2；(2)y＝－3x；(3)y＝πx；(4)y＝2·3x；

(5)y＝3x＋1；(6)y＝3x＋1；(7)y＝32x；(8)y＝2x·3x.

解：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，ax前面的系数为1，自变量在指数上，且只为x，依此标准，只有(3)y＝πx，(7)y＝32x＝9x，(8)y＝2x·3x＝6x为指数函数．

如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过点E，B，则a等于(　A　)

A．B．

C．2    D．3

【解析】 设点C(0，m)(m＞0)，则由已知可得A，

E，B.因为点E，B在指数函数的图象上，所以

将①式两边平方，得m2＝a，③

②③联立，得m2－2m＝0，所以m＝0(舍)或m＝2，

所以2＝a2，所以a＝.

已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，f(1)＝，f(2)＝，求函数f(x)的解析式．

解：依题意，得

即所以解得

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋2－x.

活学活用

已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则f(3)等于(　C　)

A．2－2    B．－3

C．3－3    D．3－3或－3－3

【解析】 由题中图象知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝(负值舍去)，故f(x)＝3－3，

所以f(3)＝3－3.

甲、乙两城市的现有人口都是100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：

(1)分别写出甲、乙两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；

(3)对两城市人口增长情况作出分析．

[参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430]

解：(1)1年后甲城市人口总数为y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；

2年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；

3年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)3；

……

x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*).

x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x(x∈N*).

(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如下表：

(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口后期增长的速度快些，从中可以得出，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．

活学活用

某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P＝P02－kt(其中P0表示初始废气中的污染物数量).经过5 h后，经测试，消除了20%的污染物．问：

(1)15 h后还剩百分之几的污染物？

(2)污染物减少36%需要花多长时间？

解：(1)由题意得，P＝P02－5k＝(1－20%)P0，则2－5k＝0.8，

故当t＝15时，P＝P0·2－15k＝P0·(2－5k)3＝(80%)3·P0＝51.2%P0.

故15个小时后还剩51.2%的污染物．

(2)由题意，P02－kt＝(1－36%)P0，

即(2－5k)＝0.64，所以0.8＝0.64，所以＝2，即t＝10，

故污染物减少36%需要花10 h．

1．给出下列函数：①y＝x；②y＝(－3)x；③y＝2x－1；④y＝(a－2)x(a>2，且a≠3).其中指数函数的个数是(　A　)

A．1    B．2

C．3    D．4

【解析】 根据指数函数的定义知，y＝(a－2)x(a>2，且a≠3)是指数函数，其他都不是．故选A.

2．若y＝(2－a)·2x是指数函数，则a等于(　B　)

A．－1    B．1

C．－3    D．3

【解析】 由题意知，2－a＝1，解得a＝1.

3．已知函数f(x)＝2x＋1＋，则f等于(　D　)

A．2＋B．1＋

C．3D．2

【解析】 f＝2＋＝2.

4．某企业为了调动员工的劳动积极性，决定基础工资部分每年按6%的速度增加．设第一年的基础工资为a，则第n年的基础工资y与n的关系式为__y＝a(1＋6%)n－1__．

5．已知f(x)是指数函数，若f(2)＝，则f(x)＝____.

【解析】 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则a2＝，

得a＝，所以f(x)＝.