高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数第1课时学案设计

第1课时　指数函数的图象和性质

[课程目标] 1.掌握指数函数的图象和性质；2.能利用指数函数的单调性比较函数值的大小．

知识点　指数函数的图象与性质

[研读]函数的图象是函数的重要表示形式，作指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，只需作出三点，(0，1)，(1，a)，就能快速作图．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)y＝(＋1)x在R上单调递增．(　√　)

(2)函数y＝2－x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称.(　×　)

(3)函数f(x)＝的定义域为R．(　√　)

(4)3.2－5<3.2－2.(　√　)

【解析】 (1)＋1>1，所以y＝(＋1)x在R上单调递增．

(2)函数y＝2－x的图象与y＝2x的图象关于y轴对称，函数y＝2－x的图象与y＝－2－x的图象关于x轴对称．

(4)因为y＝3.2x是增函数，所以3.2－5<3.2－2.

比较下列各组数的大小：

(1)1.82.2__<__1.83.2；

(2)0.3－0.4__<__0.3－0.6；

(3)2.10.3__>__0.93.1；

(4)__<__.

【解析】 (1)1.82.2，1.83.2是函数y＝1．8x的两个函数值．因为1.8>1，所以y＝1．8x是增函数，所以1.82.2<1.83.2.

(2)因为y＝0.3x是减函数，又因为－0.4>－0.6，

所以0.3－0.4<0.3－0.6.

(3)因为2.10.3>2.10＝1，0.93.1<0.90＝1，所以2.10.3>0.93.1.

(4)取中间量，因为＝<＝1，所以<.因为y＝是减函数，>，

所以<，所以<.

活学活用

比较下列各组数的大小：

(1)1.72.5，1.73；(2)1.70.3，0.73.1；

(3)1.80.3，1.60.2.

解：(1)由于y＝1.7x是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.

(2)因为1.70.3>1.70＝1＝0.70>0.73.1，所以1.70.3>0.73.1.

(3)因为1.80.3>1.80.2>1.60.2，所以1.80.3>1.60.2.

[规律方法]

比较幂的大小的方法：

(1)对于底数相同，但指数不同的幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．

(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．

(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．

下列函数的图象是由函数y＝3x的图象经过怎样的变换得到？并作简图．

(1)y＝；　　(2)y＝3；　　(3)y＝3－1.

解：(1)y＝3xy＝3－x＝，如图1.

(2)y＝3xy＝3|x|y＝3，如图2.

(3)y＝3xy＝3x－1y＝3－1，如图3.

活学活用

若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围为____．

【解析】 ①当0<a<1时，作出函数y＝|ax－1|图象：

若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，

则直线y＝2a－1与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，

由图象可知0<2a－1<1，

∴<a<1，

②当a>1时，作出函数y＝|ax－1|图象：

若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，

则直线y＝2a－1与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，

由图象可知0<2a－1<1，

此时无解，

综上：a的取值范围是<a<1.

设函数f(x)＝，g(x)＝.

(1)在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)和g(x)的图象；

(2)计算f()与g(－)，f(π)与g(－π), f(k)与g(－k)的值，从中你能得出什么结论？

解：(1)列表：

描点，连线，得到图象如图所示．

(2)易知f()＝g(－)＝，f(π)＝g(－π)＝，

f(k)＝g(－k)＝.

结论：当自变量互为相反数时，两个函数的函数值相等，即两个函数图象关于y轴对称．

 已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，则下列四个关系式中不可能成立的是(　CD　)

A．0＜b＜a

B．a＜b＜0

C．0＜a＜b

D．b＜a＜0

【解析】 如图，观察易知，a，b的关系为a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.

故不可能成立的关系式有2个，即0＜a＜b和b＜a＜0，故选CD.

[规律方法]

1．无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象都与直线x＝1相交于点(1，a)，画出当a取不同值时的函数图象，由图象可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．

2．处理指数函数图象的关键：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0，1)；②巧用图象的平移变换；③注意函数单调性的影响．

活学活用

1．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是(　C　)

【解析】 由1＞n＞m＞0可知两图象应递减，故排除A，B，再由n＞m可知选C.

2．已知函数y＝4x的图象，经过怎样的变换得到函数y＝＋1的图象？

解：先将函数y＝4x的图象关于y轴对称翻折，得到函数y＝的图象，再将y＝的图象向右平移2个单位长度，得到函数y＝的图象，最后将y＝的图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝＋1的图象．

1．若函数y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)在定义域内是增函数，则(　B　)

A．1<a<2    　　　B．a>2

C．a>1且a≠2    　　　D．a>3

【解析】 因为y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)在定义域内是增函数，所以a－1>1，得a>2.

2．y＝的图象可能是(　A　)

【解析】 因为>1，且函数图象经过点(0，1)，所以y＝的图象可能是选项A的图象．

3．已知a＝，b＝2－1.5，c＝，则下列关系中正确的是(　C　)

A．c<a<b    　　　B．a<b<c

C．b<a<c    　　　D．b<c<a

【解析】 因为2－1.5＝＝，函数y＝在R上是减函数，且<<，所以>>，即c>a>b.

4．若指数函数f(x)的图象经过点(－1，3)，则f(2)＝____．

【解析】 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(－1)＝3，即a－1＝3，则a＝，所以f(x)＝，f(2)＝＝.

5．函数y＝3x－2的值域是__(－2，＋∞)__．

【解析】 因为对于任意x∈R，都有3x>0，

所以3x－2>－2，即函数y＝3x－2的值域是(－2，＋∞).