高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数导学案

对数的概念

[课程目标] 1.了解对数的概念；2.会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值．

知识点　对数的概念

1．定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__以a为底N__的对数，记作__x＝logaN__，其中a叫做对数的__底数__，N叫做__真数__．

2．常用对数与自然对数：以10为底的对数叫做__常用对数__，并把log10N记为__lg__N__．以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为__自然对数__，并且把logeN记为__ln__N__．

3．对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：当a>0，且a≠1时，ax＝N⇔__x＝logaN__.

4．对数恒等式：alogab＝__b__；logaab＝__b__．

5．对数的性质(a>0，且a≠1)：

(1)logaa＝__1__，语言表述为__底数的对数等于1__．

(2)loga1＝__0__，语言表述为__1的对数等于0__．

(3)__0和负数__没有对数．

[研读]对数式是由指数式得来的，深刻领会其含义，对理解对数的概念有重要意义．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)若2m＝6，则m＝log26.(　√　)

(2)因为3－2＝，所以2＝log39.(　√　)

(3)当a>1，M>0时，logaM>0.(　×　)

(4)若ln x＝，则x＝.(　×　)

【解析】 (2)由3－2＝得32＝9，所以2＝log39.

(3)当a>1，M>1时，logaM>0.

(4)若ln x＝，则x＝e．

将下列指数式化为对数式：

(1)＝5化为__x＝log5__；　　　　　

(2)()x＝6化为__x＝log6__；　　　　　

(3)4－2＝化为__log4＝－2__；　　　　　

(4)πx＝8化为__x＝logπ8__．　　　　　

活学活用

将下列对数式化为指数式：

(1)log10010＝化为__100＝10__；　　　　　　　

(2)logx64＝－6化为__x－6＝64__；　　　　　　　

(3)logx＝6化为__()6＝x__；　　　　　　　

(4)logπ6＝x化为__πx＝6__．　　　　　　　

【迁移探究】

已知loga2＝p，loga3＝q，则a2p＋q＝__12__．

【解析】 由loga2＝p，loga3＝q，得ap＝2，aq＝3，

所以a2p＋q＝a2p·aq＝(ap)2·aq＝22×3＝12.

求下列各式的值．

(1)log464＝__3__；

(2)log530＝__0__；

(3)lg 0.01＝__－2__；

(4)log1212＝__1__．

活学活用

求下列各式中x的值．

(1)log2x＝－，x＝____；

(2)logx25＝2，x＝__5__；

(3)log5x2＝2，x＝__±5__；

(4)log5(lg x)＝1，x＝__100__000__．

【解析】 (1)x＝2－＝＝.

(2)x2＝25，因为x>0，所以x＝5.

(3)x2＝52，得x＝±5.

(4)lg x＝5，x＝105＝100 000.

(1)若log3[log4(log5a)]＝log4[log3(log5b)]＝0，则＝__5__；

(2)若x＝log43，则2·4x＋4－x＝____．

【解析】 (1)由log3[log4(log5a)]＝0，得log4(log5a)＝1，所以log5a＝4，所以a＝54.同理b＝53，所以＝5.

(2)因为x＝log43，所以4x＝3，故2·4x＋4－x＝6＋＝.

活学活用

(1)已知4log4(3x－1)＝5，则x＝__2__；

(2)若a＝log23，则2a＋2－a＝____.

【解析】 (1)由4log4(3x－1)＝5，得3x－1＝5，解得x＝2.

(2)因为a＝log23⇒2a＝3，所以2a＋2－a＝.

 求下列各式中x的取值范围：

(1)lg；　(2)log(x－1).

解：(1)由x－10>0，解得x>10.

(2)由解得x>1且x≠2.

活学活用

若log(x－2)＝0，求x的值．

解：由⇒x＝4.

求下列各式的值：

(1)2log29＝__9__；(2)2－1＋log2＝____．

【解析】 (1)由对数恒等式得，2log29＝9.

(2)2－1＋log2＝2－1·2log2＝·＝.

活学活用

求3log34－2的值．

解：3log34－2＝＝.

1．若logab＝2，则(　D　)

A．2a＝b    B．2b＝a

C．b2＝a    D．a2＝b

【解析】 由logab＝2，得b＝a2.

2．方程2log3x＝的解是(　A　)

A．x＝B．x＝

C．x＝3    D．x＝2

【解析】 由2log3x＝，得2log3x＝2－1，

所以log3x＝－1，得x＝3－1＝.

3．下列互化关系错误的一组是(　C　)

A．e0＝1与ln 1＝0

B．8－＝与log8＝－

C．25＝32与log532＝2

D．log6＝与6＝

【解析】 根据指数式与对数式的互化关系可知，选项C中的互化是错误的．

4．已知log(x＋1)128＝7，则x＝__1__．

【解析】 由log(x＋1)128＝7，得(x＋1)7＝128＝27，所以x＋1＝2，解得x＝1.

5．log(x＋1)中x的取值范围是__{x|x>－1且x≠0，x≠1}__．

【解析】 由⇒x>－1，且x≠0，x≠1.

6．24＋log25＝__80__．

【解析】 24＋log25＝16·2log25＝16×5＝80.