高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时导学案

对数函数的图象和性质

第1课时　对数函数的图象和性质

[课程目标] 1.初步掌握对数函数的图象和性质；2.能够利用对数函数的单调性比较实数的大小，能够解简单的对数型不等式．

知识点　对数函数的图象与性质

　　[研读]作出三点：，(1，0)，(a，1)，就能快速作出函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)若对数函数y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是a>1.(　×　)

(2)函数y＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)的图象过原点．(　√　)

(3)y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax的单调性相同.(　√　)

(4)log<log.(　×　)

【解析】 (1)因为y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，所以a＋1>1，解得a>0.

(2)因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，将y＝logax的图象向左平移1个单位，得到函数y＝loga(x＋1)的图象，所以y＝loga(x＋1)的图象过原点．

(4)y＝logx是减函数，所以log>log.

(1)函数y＝x＋a与y＝logax(a>0，且a≠1)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　C　)

　A.　　　　　　　　　　　B.　

　C.　　　　　　　　　　　D.　

(2)若函数f(x)＝loga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__(2，0)__.

【解析】 (1)选项A中，由直线知a>1，由y＝logax的图象知0<a<1，不合题意；选项B中，由直线知0<a<1，由y＝logax的图象知a>1，不合题意；选项C中，由直线知0<a<1，由y＝logax的图象知0<a<1，所以选项C正确；选项D中，由直线知a<0，不符合对数函数中a的取值范围．

(2)由loga1＝0，故2x－3＝1⇒x＝2，所以恒过定点P.

活学活用

(1)利用作图工具作出的a＝1.5，4，时的对数函数y＝logax的图象如图所示，请你判断对应于C1，C2，C3的a的值分别为(　C　)

A．1.5，4，

B．4，1.5，

C．，1.5，4

D．，4，1.5

(2)若函数f(x)＝loga(x＋m)＋1(a>0，且a≠1)恒过定点(2，n)，则m＋n的值为__0__．

【解析】 (1)由题图可得，C1，C2，C3对应的a的值分别为，1.5，4，故选C.

(2)由loga1＝0，得x＋m＝1⇒x＝1－m＝2⇒m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.

比较下列各组数的大小．

(1)log2π与log20.8；(2)log20.6与log0.20.6；

(3)log0.76，0.76与60.7；(4)log20.4与log30.4.

解：(1)因为函数y＝log2x是增函数，π>0.8，所以log2π>log20.8.

(2)因为log20.6<log21＝0，log0.20.6>log0.21＝0，

所以log20.6<log0.20.6.

(3)因为60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，

又因为log0.76<log0.71＝0，所以60.7>0.76>log0.76.

(4)在同一坐标系中作出函数y＝log2x和y＝log3x的图象，如图所示，

可知log30.4>log20.4.

[规律方法]

利用对数函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法有：

(1)同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较．

(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引入中间变量法比较，通常取中间量为－1，0，1等．

(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来解决，也可利用换底公式化为同底，再进行比较．

已知loga3x≥loga(8－x)，a>0，且a≠1，求实数x的取值范围．

解：当0<a<1时，因为y＝logax是减函数，所以由题意得　解得0<x≤2，所以实数x的取值范围是(0，2]；

当a>1时，因为y＝logax是增函数，所以由题意得

解得2≤x<8，所以实数x的取值范围是[2，8).

综上可知，当0<a<1时，实数x的取值范围是(0，2]；当a>1时，实数x的取值范围是[2，8).

活学活用

解下列关于x的不等式：

(1)logx>log；

(2)loga>loga(a>0，且a≠1)；

(3)logx>1(x>0，且x≠1).

解：(1)由题意得，0<x<4－x⇒x∈.

(2)当a>1时，由2x－5>x－1>0⇒x∈；

当0<a<1时，由0<2x－5<x－1⇒x∈.

(3)由logx>1⇔logx>logxx，当x>1时，由>x>0⇒x∈∅；

当0<x<1时，由x>⇒x∈.故x∈.

[规律方法]

解对数型不等式的一般思路．

1．把不等式两边均化为logaf(x)的形式．

2．利用单调性，把不等式转化为真数的大小关系，得到新的不等式，要注意底数a和1的使用．

3．在真数大于零的前提下，解这个新的不等式．

4．总结得出不等式的解集．

1．若函数f(x)＝loga(x－1)在[a＋1，2a＋1]上单调递减，则f(x)在[a＋1，2a＋1]上的最大值是(　A　)

A．1    B．a

C．loga2    D．1＋loga2

2． 函数y＝log2(2x＋1)的图象大致是(　C　)

A.　　　　　　　　　　　　　B.

C.　　　　　　　　　　　　　D.

【解析】 函数y＝log2(2x＋1)的定义域为，且y＝log2(2x＋1)为增函数，故选C.

3．【多选题】 若a>b>0，0<c<1，则(　BD　)

A．logac<logbc    B．logca<logcb

C．ac<bc    D．ca<cb

【解析】 由a>b>0，0<c<1，所以y＝logcx单调递减，故B正确；y＝xc单调递增，故C错；y＝cx单调递减，故D正确；若a＝4，b＝2，c＝，则logac＝－，logbc＝－1，故A不正确．

4．函数f(x)＝的定义域为__(2，＋∞)__．

【解析】 由题意知，log2x－1>0，即log2x>1，解得x>2.

5．log73，log7，30.7的大小关系是__30.7>log73>log7__．

【解析】 设a＝log73，b＝log7，c＝30.7，因为0<a<1，b<0，c>1，所以30.7>log73>log7.