人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第2课时学案及答案

对数函数的图象和性质

第2课时　对数函数的图象及性质的应用

[课程目标] 1.了解反函数的概念及它们的图象的特点；2.掌握对数型复合函数的单调性、奇偶性、最值等的求解方法．

知识点一　反函数的概念

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)和指数函数__y＝ax(a>0，且a≠1)__互为反函数．

[研读]通过作图，可以发现函数y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)函数y＝的反函数是y＝logx.(　√　)

(2)函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．(　√　)

(3)若点(m，n)在函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象上，则点(n，m)在函数y＝logax的图象上．(　√　)

(4)函数y＝3x与y＝log3x的定义域与值域是互换的.(　√　)

【解析】 (4)函数y＝3x的定义域为R，值域为(0，＋∞)，y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，即它们的定义域和值域互换．

知识点二　y＝logaf(x)型函数性质的研究

1．定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．

2．值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．

3．单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据__同增异减____法则判定(或运用单调性定义判定).

4．奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．

5．最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．

　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)函数y＝log(x－2)在(2，＋∞)上单调递增．(　×　)

(2)函数y＝log3(x2＋)的值域是(0，＋∞).(　×　)

(3)函数y＝lg(x2－1)是偶函数．(　√　)

(4)函数y＝ln是奇函数．(　√　)

【解析】 (1)函数y＝log(x－2)在(2，＋∞)上单调递减．

(2)因为x2＋≥，所以函数y＝log3(x2＋)的值域是.

(3)函数y＝lg(x2－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，因为f(－x)＝lg(x2－1)＝f(x)，所以函数y＝lg(x2－1)是偶函数．

(4)函数y＝ln的定义域为{x|－3<x<3}，因为f(－x)＝ln＝ln＝－f(x)，所以函数y＝ln是奇函数．

若函数y＝与y＝logbx互为反函数，a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，则a与b的关系为(　A　)

A．ab＝1    B．a＋b＝1

C．a＝b    D．a－b＝1

【解析】 y＝logbx的反函数为y＝bx，所以函数y＝bx与函数y＝是同一个函数，所以b＝，即ab＝1.故选A.

活学活用

若点(2，4)在函数f(x)＝logax的反函数的图象上，则f等于(　C　)

A．－2    B．2    C．－1    D．1

【解析】 因为点(2，4)在函数f(x)＝logax的反函数的图象上，所以点(4，2)在函数f(x)＝logax的图象上，所以2＝loga4，即a2＝4，得a＝2，所以f＝log2＝－1.故选C.

函数f(x)＝|log4x|的图象大致是(　A　)

【解析】 先作出函数f(x)＝log4x的图象，然后把x轴下方的图象翻到x轴上方即得函数f(x)＝|log4x|的图象，故选A.

活学活用

函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　A　)

【解析】 因为x∈R，f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以该函数为偶函数，排除选项C；又f(0)＝0，排除选项B，D.故选A.

[规律方法]

1．对数型函数的图象，一般以函数y＝logax的图象为基础，通过平移、对称变换得到．

2．两种常见的对称变换：

①含有绝对值的函数的图象变换．一般地，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)的图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的；②y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．

【迁移探究】

函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一坐标系中的图象大致是(　C　)

【解析】 函数f(x)＝1＋log2x为增函数且图象过点，排除A；函数g(x)＝2－x＋1为减函数且图象过点(0，2)，排除B，D.故选C.

已知f(x)＝log为奇函数，a为常数．

(1)确定a的值；

(2)用定义法证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增；

(3)若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式f(x)＞＋m恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)因为f(x)是奇函数，

所以定义域关于原点对称，由＞0，

得(x－1)(1－ax)＞0.

令(x－1)(1－ax)＝0，解得x1＝1，x2＝，

所以＝－1，解得a＝－1.

(2)证明：由(1)得f(x)＝log，

令u(x)＝＝1＋，

设任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，

则u(x1)－u(x2)＝，

因为1＜x1＜x2，所以x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0，

所以u(x1)－u(x2)＞0，即u(x1)＞u(x2).

所以u(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减．

又y＝logu(x)为减函数，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增．

(3)由题意知log－＞m在x∈[3，4]时恒成立，

令g(x)＝log－，x∈[3，4]，

由(2)知y＝log在[3，4]上单调递增，

又y＝－在[3，4]上也单调递增，

故g(x)在[3，4]上单调递增，

所以g(x)的最小值为g(3)＝－，所以m＜－，

故实数m的取值范围是.

活学活用

函数f(x)＝的单调递增区间是(　D　)

A．    B．(0，1]

C．(0，＋∞)    D．[1，＋∞)

【解析】 f(x)＝＝

当x≥1时，t＝logx单调递减，f(x)＝－logx单调递增．

所以f(x)的单调递增区间为[1，＋∞).

[规律方法]

1．求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域．

2．求此类型函数单调性的两种思路：①利用定义求证；②借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．

求函数y＝log3(x2－4x＋7)的值域．

解：因为x2－4x＋7＝(x－2)2＋3>0，

所以函数y＝log3(x2－4x＋7)的定义域为R．

令t＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，则y＝log3t，t∈[3，＋∞)，

因为函数y＝log3t在[3，＋∞)上单调递增，

所以y＝log3t≥log33＝1，即y∈[1，＋∞).

所以函数y＝log3(x2－4x＋7)的值域是[1，＋∞).

活学活用

已知函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当x∈[3，9]时，函数的最大值比最小值大1，则a＝__3或__．

【解析】 当0<a<1时，函数y＝logax在[3，9]上单调递减，由题意得loga3－loga9＝loga＝1，所以a＝；

当a>1时，函数y＝logax在[3，9]上单调递增，由题意得loga9－loga3＝loga3＝1，所以a＝3.综上可知a＝或3.

[规律方法]

求对数型函数的值域或最值时，主要有两种方法：①利用对数函数的单调性；②若函数是与二次函数复合的函数，要考虑二次函数的最值情况．

【迁移探究】 已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1).

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.

解：(1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R．当a＝0时，x>－，这与x∈R相矛盾，所以a≠0；

当a≠0时，由题意得

解得a>1.即实数a的取值范围为.

(2)若f(x)的值域为R，则ax2＋2x＋1能取遍所有的正数，

所以a＝0或解得0≤a≤1.

即实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}．

已知函数f＝kx＋loga(ax＋1)(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，求k的值．

解：由题意可知函数f(x)为偶函数，故f＝－kx＋loga＝－kx＋loga＝－x＋loga＝kx＋loga，

所以k＝－k－1⇒k＝－.

活学活用

函数f(x)＝lg |x＋a|是偶函数，则a＝__0__．

【解析】 依题意，得lg |x＋a|＝lg |－x＋a|，所以当x≠±a时，|x＋a|＝|－x＋a|总成立，所以a＝0.

[规律方法]

判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．

1．已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f[g(2)]＝(　B　)

A．1    B．2    C．3    D．4

2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　B　)

A.　　 　　B.　　　　　C.　　　　　D.

【解析】 由f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)且定义域关于原点对称得，f(x)是偶函数，由此C，D错误；又当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，故选B.

3．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是(　C　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

【解析】 函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝，此函数是R上的减函数，其图象经过点(0，2)，只有选项C中的图象符合要求．

4．若函数y＝log(x2－ax＋a)在(－∞，)上单调递增，则实数a的取值范围是__[2，2＋2]__.

【解析】 令u＝x2－ax＋a，则y＝logu显然为减函数，则要使函数在区间(－∞，)上单调递增，则u＝x2－ax＋a在区间(－∞，)上应单调递减，且恒大于0，

则解得2≤a≤2＋2，故a的取值范围是[2，2＋2].

5．函数y＝log的值域是__[－1，＋∞)__．

【解析】 因为4－x2>0，所以x2<4，得－2<x<2，所以函数的定义域为(－2，2).令t＝，则0<t≤2.因为y＝logt是减函数，所以y≥log2＝－1.所以所求函数的值域为[－1，＋∞).