人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案及答案，共8页。
弧度制 [课程目标] 1.了解弧度制下，角的集合与实数集合之间的一一对应关系；2.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的换算；3.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 知识点一　角的两种不同单位制1．角度制：1度的角等于周角的____，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作__1__rad__．3．角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α rad所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系为：__|α|＝__；其中，α的正负由角α的__终边的旋转方向__决定．正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是__0__．[研读]不管是以弧度制还是以角度制为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)1弧度＝1°.(　×　)(2)在同一个圆中，弧长越长，所对圆心角的弧度数越大．(　√　)(3)1弧度是长度等于半径的弧．(　×　)(4)一个角的弧度数是一个实数．(　√　)【解析】 (1)不符合弧度制的定义．(3)弧度是角的单位，弧以长度为单位． 知识点二　角度制与弧度制的换算 角度化弧度弧度化角度360°＝__2π__rad2π rad＝__360°__180°＝__π__radπ rad＝__180°__1°＝____rad≈0．017 45 rad1 rad＝__°__≈57.30° 　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　√　)(2)90°＝rad.(　√　)(3)－5π rad＝－900°.(　√　)【解析】 由角度制与弧度制的换算可知，这三个说法都正确． 知识点三　扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角． 　　　度量单位类别　　　α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝____l＝__αR__扇形的面积S＝____S＝__αR2__＝__lR__　　[研读]在弧度制下的扇形面积公式S＝lR，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)在半径为2的圆中，的圆心角所对的弧长为.(　√　)(2)在半径为3的圆中，120°的圆心角所对的弧长为2π.(　√　)(3)扇形的半径为3，圆心角为120°，则扇形的面积为3π.(　√　)【解析】 由弧长公式和扇形面积公式知，这三个说法都正确． 将下列角度与弧度进行互化．(1)80°；　(2)－25°；　(3)；　(4)－.解：(1)80°＝×80＝.(2)－25°＝×(－25)＝－.(3)＝×°＝75°.(4)－＝×°＝－337.5°. 活学活用将下列角度与弧度进行互化．(1)112°30′；　　(2)－.解：(1)112°30′＝°＝×＝.(2)－＝×°＝－220°. 已知角α＝－680°.(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z，0≤φ≤2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－2π，π]上找出与α终边相同的角．解：(1)α＝－680°＝－2×360°＋40°＝－4π＋.因为是第一象限角，所以α是第一象限角．(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2kπ＋(k∈Z).又θ∈[－2π，π]，所以k＝－1或k＝0，将k的值分别代入θ＝2kπ＋(k∈Z)，得θ＝－或. 活学活用如图，用弧度表示终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合．解：330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度为－，而75°＝75×＝，∴终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合为. 已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，则这个圆心角所对的弧长是____；这个扇形的面积是____．【解析】 因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝，所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝，这个扇形的面积S＝××＝. 活学活用如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB的长为2，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为____. 【解析】 由题意可知OB＝OA＝1，OC＝OC′＝，BC＝B′C′＝，∠B′OC＝∠B′OC′＝，扇形AOB′的面积为，Rt△B′OC′的面积为，故B′C′左边空白图形的面积S1＝－，而B′C′右边两块空白图形的面积之和S2＝××＋＝＋，由此可得空白图形的总面积S＝S1＋S2＝＋＝，而半圆的面积为，所以所求阴影部分的面积为－＝.【迁移探究】已知扇形AOB的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求该扇形的圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长度．解：(1)设该扇形AOB的半径为r，圆心角为θ，面积为S，弧长为l.由题意，得解得或所以圆心角θ＝＝＝6或θ＝＝，所以该扇形的圆心角的大小为rad或6 rad.(2)因为θ＝，所以S＝·r2·＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，所以当r＝2，即θ＝＝2时，Smax＝4 cm2.此时弦长AB＝2×2sin 1＝4sin 1(cm).所以扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad，弦AB的长度为4sin 1 cm.1．已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为(　A　)A．α－β＝π＋2kπ(k∈Z)B．α＋β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z)D．以上都不对2．－4弧度的角的终边所在的象限为(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．第一象限    B．第二象限C．第三象限    D．第四象限【解析】 因为－4∈，所以－4弧度的角的终边在第二象限．3．半径为1，圆心角为的扇形的面积是(　A　)A．    B．    C．    D．π【解析】 S＝××12＝.4．与角－终边相同的角是(　C　)A．    B．    C．    D． 【解析】 与角－终边相同的角的集合为，当k＝1时，α＝－＋2π＝.故选C.5．将－1 125°表示成2kπ＋α，0≤α＜2π，k∈Z的形式为__－8π＋__．【解析】 －1 125°＝－4×360°＋315°，所以－1 125°可表示为－8π＋.