高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案，共10页。
三角函数的概念 [课程目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)值在各象限的符号，会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；3.掌握公式一并会应用． 知识点一　任意角的三角函数的定义 前提如图所示，设α是一个任意角，α∈R，它的始边为射线OA，终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦函数__把点P的纵坐标y__叫做α的正弦函数，记作sin α，即__y__＝sin α余弦函数__把点P的横坐标x__叫做α的余弦函数，记作cos α，即__x__＝cos α正切函数__单位圆上点P的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数__叫做α的正切函数，记作tan α，即__(x≠0)__＝tan α三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数：y＝sin x，x∈R；余弦函数：y＝cos x，x∈R；正切函数：y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)　　[研读](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集；sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”等是没有意义的．(2)若点P(x，y)是角α终边上的一点，则sin α＝____，cos α＝____，tan α＝__(x≠0)__. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)sin α的含义是角α终边上的点的纵坐标．(　×　)(2)tan α的含义是角α终边上的点的纵坐标与横坐标的比值．(　√　)(3)角α是确定的，则cos α也是确定的．(　√　)(4)任给一个角都有三角函数值．(　×　)【解析】 (1)sin α的含义是角α终边与单位圆的交点的纵坐标．(4)不是所有的角都有三角函数值，如的正切值不存在．  知识点二　三角函数值的符号如图所示：正弦函数：一、二象限正，三、四象限负；余弦函数：一、四象限正，二、三象限负；正切函数：一、三象限正，二、四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[研读]三角函数值的符号的记忆，把握两点：一是三角函数的定义；二是角的终边上一点的坐标的符号． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)判断三角函数值的符号只需确定角的终边所处的位置．(　√　)(2)角的终边不在任何象限时，三角函数值的符号要用三角函数定义判断．(　√　)(3)若θ是三角形的一个内角，则cos θ>0.(　×　)(4)sin (－210°)<0.(　×　)【解析】 (3)若θ为直角或钝角，则cos θ≤0.(4)－210°角是第二象限角，所以sin (－210°)>0. 知识点三　公式一即终边相同的角的同一三角函数的值__相等__．[研读](1)利用公式一，可以把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．(2)上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z). 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)两个角的终边相同，则其同名三角函数值也相同.(　√　)(2)公式一的主要作用是将“大角”的三角函数值化为“小角”的同名三角函数值．(　√　)(3)sin (－335°)＝sin 25°.(　√　)(4)tan 1 200°＝tan 120°.(　√　)【解析】 (3)sin (－335°)＝sin (－360°＋25°)＝sin 25°.(4)tan 1 200°＝tan (3×360°＋120°)＝tan 120°. 若点P(2m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则sin α＝____，cos α＝__－__，tan α＝__－__．【解析】 　如图所示，点P(2m，－3m)(m<0)在第二象限，过点P作x轴的垂线，设点P与原点的距离为r，则r＝－m，故有sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝－. 活学活用已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为__±__．【解析】 在角α的终边上任取一点P(x，y)，则y＝x.当x＞0时，r＝＝x，sin α＋cos α＝＋＝＋＝；当x＜0时，r＝＝－x，sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.综上，sin α＋cos α的值为±.[规律方法]已知角α的终边在直线上，求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0).则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． 有下列三角函数值：①sin 1 125°；②tan ·sin ；③；④sin 1－cos 1.其中为负值的个数是(　B　)A．1    B．2    C．3　    D．4【解析】 由1 125°＝1 080°＋45°，则1 125°角是第一象限角，所以sin 1 125°>0；因为＝2π＋，则角是第三象限角，所以tan >0，sin <0，故tan ·sin <0；因为3弧度的角在第二象限，则sin 3>0，tan 3<0，故<0；因为<1<，则sin 1－cos 1>0.所以②③为负数． 活学活用1．式子sin 1·cos 2·tan 4的值的符号为(　B　)A．正    B．负C．零    D．不能确定【解析】 因为1，2，4分别为第一、二、三象限的角，所以sin 1＞0，cos 2＜0，tan 4＞0，所以sin 1·cos 2·tan 4＜0.故选B.2．若sin θ＜cos θ，且sin θ·cos θ＜0，则角θ的终边位于(　D　)A．第一象限    B．第二象限C．第三象限    D．第四象限【解析】 由条件可知sin θ＜0，cos θ＞0，则θ为第四象限角．3．已知＝－，且lg (cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．解：(1)∵＝－，∴sin α<0.①由lg (cos α)有意义，得cos α>0.②由①②得，角α在第四象限．(2)∵点M在单位圆上，∴＋m2＝1，解得m＝±.又α是第四象限角，∴m<0，∴m＝－.由三角函数定义知，sin α＝－. 求下列各式的值．(1)cos ＋tan ；(2)sin 420°cos 750°＋sin (－690°)cos (－660°).解：(1)因为cos ＝cos ＝cos ＝，tan ＝tan ＝tan ＝1，所以cos ＋tan ＝＋1＝.(2)因为sin 420°＝sin (360°＋60°)＝sin 60°＝，cos 750°＝cos (2×360°＋30°)＝cos 30°＝，sin (－690°)＝sin (－2×360°＋30°)＝sin 30°＝，cos (－660°)＝cos (－2×360°＋60°)＝cos 60°＝，所以sin 420°cos 750°＋sin (－690°)cos (－660°)＝×＋×＝1. 活学活用求下列各式的值．(1)sin ＋tan ；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.解：(1)sin ＋tan ＝sin ＋tan ＝sin ＋tan ＝＋＝.(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin (2×360°＋90°)＋cos (360°＋0°)－tan (3×360°＋45°)＝sin 90°＋cos 0°－tan 45°＝1＋1－1＝1.1．cos 1 110°等于(　D　)A．－    B．　C．－　    D．【解析】 cos 1 110°＝cos (3×360°＋30°)＝cos 30°＝.2．若角α的终边经过点P(1，)，则下列结论错误的是(　C　)A．sin α＝B．cos α＝C．sin α＝D．tan α＝【解析】 由题意得，sin α＝，cos α＝，tan α＝. 3． 已知α是第一象限角，则下列结论正确的是(　AD　)A．sin 2α＞0    B．cos 2α＞0C．cos ＞0    D．tan ＞0【解析】 ∵α是第一象限角，∴2kπ＜α＜2kπ＋(k∈Z)，∴4kπ＜2α＜4kπ＋π(k∈Z)，kπ＜＜kπ＋(k∈Z)，∴2α的终边位于一、二象限及y轴非负半轴上，的终边位于一、三象限．所以sin 2α＞0，tan ＞0.故选AD.4．tan 210°＝____．【解析】 210°角的终边与单位圆的交点坐标为，所以tan 210°＝.5．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).(1)求sin θ＋cos θ的值．(2)试判断cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号．解： (1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.(2)当a＞0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin ＜0；当a＜0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin ＞0.综上，当a＞0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．