数学5.2 三角函数的概念导学案

同角三角函数的基本关系

[课程目标] 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

知识点　同角三角函数的基本关系

1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于__1__，即sin2α＋cos2α＝__1__．

2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的__正切__，即＝__tan__α__.

[研读]同角三角函数关系是同一个角的三种三角函数之间的等量关系，要注意角的范围以及方程思想的应用．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．(　√　)

(2)对任意角θ，＝tan 3θ都成立．(　×　)

(3)若sin α＝0，则cos α＝1.(　×　)

(4)(sin α＋cos α)2＝1－2sin αcos α.(　×　)

 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

解：因为cos α<0，且cos α≠－1，故α是第二或第三象限角．

如果α是第二象限角，那么

sin α＝＝＝，

tanα＝＝×＝－；

如果α是第三象限角，那么sin α＝－，tan α＝.

[规律方法]

若没有指出α是第几象限角，必须由题设条件推断α可能是第几象限的角，再分象限加以讨论．

活学活用

已知tan α＝2，求sin α与cos α的值．

解：因为tan α＝2>0，所以α是第一或第三象限角．

因为tan α＝2，所以＝2，即sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，

得cos2α＝.

当α为第一象限角时，cosα＝，sin α＝2cos α＝；

当α为第三象限角时，cos α＝－，sin α＝2cos α＝－.

 已知tan α＝－，求下列各式的值．

(1)；

(2)2sin2α－sinαcos α＋5cos2α.

解：(1)＝＝＝－.

(2)原式＝

＝·

＝×＝.

活学活用

已知2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，α∈.求：

(1)tanα； (2).

解：(1)2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α

＝

＝＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0，解得tan α＝－或tan α＝1.

∵α∈，∴α为第二象限角，∴tan  α<0，∴tan  α＝－.

(2)∵tan  α＝－，∴原式＝＝＝.

[规律方法]

已知角α的正切，求关于sin α，cos α的齐次式的方法：

(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．

(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．

 化简： ＋ .

解：原式＝ ＋

＝＋

＝＋.

因为α∈，所以∈，

所以cos －sin >0，cos ＋sin >0，

所以原式＝cos －sin ＋cos ＋sin ＝2cos .

活学活用

求证：(1)－＝sinα＋cos α；

(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α).

证明：(1)∵左边＝－＝－＝－＝－＝＝sin α＋cos α＝右边，∴原式成立．

(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，

右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，

∴左边＝右边，∴原式成立．

[规律方法]

三角函数式的化简方法：

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

 已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，计算下列各式的值．

(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α.

解：(1)由sin α＋cos α＝，

两边平方，得sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，

所以sin αcos α＝－.

(2)由(1)知sin αcos α＝－<0，又因为α∈(0，π)，

所以cos α<0，所以α∈，所以sin α－cos α>0，

所以sin α－cos α＝

＝

＝＝＝.

活学活用

若△ABC的内角A满足sin A cos A＝－，则cos A－sin A的值为(　C　)

A．－    B．±

C．－    D．±

【解析】 ∵A为三角形的一个内角，且sin A cos A＝－，

∴A为钝角，∴cos A－sin A＜0.

∴cos A－sin A＝－

＝－＝－＝－.

[规律方法]

已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：

(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；

(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；

(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；

(4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.

1．已知α是第三象限角，sin α＝－，则cos α等于(　B　)

A．－    B．－    C．    D．

【解析】 cos α＝－＝－.

2．已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，则sin α＝(　B　)

A．    B．－    C．    D．－

【解析】 因为2tan α·sin α＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，即2cos2α＋3cosα－2＝0，

解得cos α＝或cos α＝－2(舍去).

又－＜α＜0，所以sin α＝－.

3．若锐角α满足sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　C　)

A．    B．－    C．    D．－

【解析】 由sin α＋cos α＝，

得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝.

4．设tan 160°＝k，则sin 160°＝(　B　)

A．    B．

C．    D．

【解析】 ∵tan 160°＝＝k，∴sin 160°＝k cos 160°.

又∵sin2160°＋cos2160°＝1，

∴(k cos160°)2＋cos2160°＝1，∴cos2160°＝.

又160°是第二象限角，

∴cos160°<0，∴cos 160°＝－，

∴sin 160°＝k cos 160°＝－.

5．已知tan α＝，求下列各式的值：

(1)＋；

(2)；

(3)sin2α－2sinαcos α＋4cos2α.

解：(1)＋＝＋，将tan α＝代入，得原式＝＋＝.

(2)＝＝，将tan α＝代入，

得原式＝.

(3)sin2α－2sinαcos α＋4cos2α＝

＝，将tanα＝代入，得原式＝＝.