2022年吉林省实验中学繁荣学校中考数学一模试卷

这是一份2022年吉林省实验中学繁荣学校中考数学一模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年吉林省实验中学繁荣学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的相反数是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．（3分）北京时间2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风发射场成功着陆．航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功返回地面．目前我国空间站已经官宣：空间站每天绕地球19圈，大约96分钟绕一圈，速度约为28000千米/小时，28000用科学记数法表示为（　　）
A．0.28×105 B．28×103 C．2.8×104 D．2.8×105
3．（3分）如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）不等式组的整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东位置，轮船航行的距离AB长是（　　）海里．

A．2 B．2sin55° C．2cos55° D．2tan55°
6．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，若OC＝AC＝5，则BC长为（　　）

A．10 B．9 C．8 D．5
7．（3分）如图，已知直角△ABC，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线GH，分别交AC，AB于点E，F．
依据以上作图，若AF＝3，CE＝1，则CD的长是（　　）

A． B．2 C． D．3
8．（3分）如图，△DEF的三个顶点分别在反比例函数xy＝n与xy＝m（x＞0，m＞n＞0）的图象上，若DB⊥x轴于B点，FE⊥x轴于C点，若B为OC的中点，△DEF的面积为2，则m，n的关系式是（　　）

A．m﹣n＝8 B．m+n＝8 C．2m﹣n＝8 D．2m+n＝3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝　 　．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是 　 　．
11．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2为　 　度．

12．（3分）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝　 　米．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB＝AC，∠BAC＝90°，则m＝　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣1）2﹣a（a﹣3），其中．
16．（6分）2021年我省开始实施“3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．
（1）小丽选到物理的概率为　 　；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门选到化学、生物的概率．
17．（6分）京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工作效率的20倍，若用一台机器人分栋8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少小时．求一台机器人一小时可分拣多少件货物？
18．（7分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）试判断四边形ADCF的形状，并加以证明；
（2）若AB＝17，BC＝30，求四边形ADCF的面积．

19．（7分）为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度，某校开展了一次网上问卷调查．随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取　 　名学生进行统计调查，扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有3000名学生，估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？
20．（7分）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝；
（2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1；
（3）在图②中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝．

21．（8分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求小张骑自行车的速度；
（2）求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；
（3）求相遇后经过多长时间两人相距500米？

22．（9分）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容．
例3已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
求证：△ADE∽△EFC．
[问题解决]这是“23.3.2相似三角形的判定”的部分内容，请结合图①给出例3的证明过程．
[拓展探究]
（1）如图②，在△ABC中，D是边AB的四等分点且靠近点B，过D分别作DE∥AC，DF∥BC与边BC、AC分别相交于点E、F，若AC＝6，BC＝9．则四边形DECF的周长是 　 　；
（2）如图③，在△ABC中，P是边BC上的一点，且BP：PC＝3：2，连结AP，取AP的中点M，连结BM并延长交AC于点N，若△AMN的面积为3，则△AMB的面积为 　 　．

23．（10分）如图，在 Rt△ABC中，AB＝8，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，作∠BPD＝120°，边PD交折线AC﹣CB于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连结ED，EP得到△PDE．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点E落在边BC上时，求t的值；
（3）设△PDE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）设M为AB的中点，N为ED的中点，连结MN．当MN与△ABC的边垂直时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C（﹣2，﹣2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
（1）当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；
（2）若图象G过点（3，﹣9），求出m的取值范围；
（3）若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
（4）图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

2022年吉林省实验中学繁荣学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的相反数是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．（3分）北京时间2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风发射场成功着陆．航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功返回地面．目前我国空间站已经官宣：空间站每天绕地球19圈，大约96分钟绕一圈，速度约为28000千米/小时，28000用科学记数法表示为（　　）
A．0.28×105 B．28×103 C．2.8×104 D．2.8×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：28000＝2.8×104．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】从上向下看已知几何体，只有一排正方形，即得到选项C中平面图形．
【解答】解：几何体的俯视图有三列，一排，三列上的正方形分别为1，1，1，
故选：C．
【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
4．（3分）不等式组的整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x≥0，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
则不等式组的整数解为0，1，2共3个．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
5．（3分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东位置，轮船航行的距离AB长是（　　）海里．

A．2 B．2sin55° C．2cos55° D．2tan55°
【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A＝∠NPA＝55°．然后解Rt△ABP，得出AB的长．
【解答】解：如图，由题意可知∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°，
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°．
在Rt△ABP中，
∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝2海里，
∴AB＝AP•cos∠A＝2cos55°（海里）．
故选：C．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．
6．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，若OC＝AC＝5，则BC长为（　　）

A．10 B．9 C．8 D．5
【分析】先根据圆周角定理判断出△ABC是直角三角形，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵OC＝AC＝5，
∴AB＝2OC＝10，
∴BC＝＝＝5．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
7．（3分）如图，已知直角△ABC，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线GH，分别交AC，AB于点E，F．
依据以上作图，若AF＝3，CE＝1，则CD的长是（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，连接DE，如图，先利用等腰三角形的判定方法得到AE＝AF＝3，再根据线段垂直平分线的性质得到ED＝AE＝3，然后利用勾股定理可计算出CD．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
连接DE，如图，
∵AD平分∠EAF，AD⊥EF，
∴AE＝AF＝3，
∵EF垂直平分AD，
∴ED＝AE＝3，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝2．
故选：A．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
8．（3分）如图，△DEF的三个顶点分别在反比例函数xy＝n与xy＝m（x＞0，m＞n＞0）的图象上，若DB⊥x轴于B点，FE⊥x轴于C点，若B为OC的中点，△DEF的面积为2，则m，n的关系式是（　　）

A．m﹣n＝8 B．m+n＝8 C．2m﹣n＝8 D．2m+n＝3
【分析】设D（a，），则F（2a，），E（2a，），根据S△DEF＝S梯形BCFD﹣S梯形BCED列出等式，整理即可求得．
【解答】解：设D（a，），则F（2a，），E（2a，），
∵S△DEF＝S梯形BCFD﹣S梯形BCED，△DEF的面积为2，
∴2＝（+）•a﹣（+）•a，
整理得m﹣n＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意列出等式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝　2（a﹣1）2　．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是 　a＜1　．
【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
∴a的范围是：a＜1．
故答案为：a＜1．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
11．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2为　20　度．

【分析】过点B作BD∥l，然后根据平行公理可得BD∥l∥m，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，然后求出∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠4，即可得解．
【解答】解：如图，过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠3＝∠1＝25°，
∵△ABC是有一个角是45°的直角三角板，
∴∠4＝45°﹣∠3＝45°﹣25°＝20°，
∴∠2＝∠4＝20°．
故答案为：20．

【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
12．（3分）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝　300　米．

【分析】根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解．
【解答】解：设线段AB对应的圆心角度数为n，
∵100π＝＝，
∴n＝60°，
又AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝300（米），
故答案为：300．

【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定和性质，根据弧长公式求得∠AOB的度数是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为　　．

【分析】依据旋转的性质，即可得到∠OAE＝60°，再根据OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，即可得出AE＝2，AC＝2．最后在Rt△ABC中，可得到．
【解答】解：依题可知，∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，AC＝AE，∠OAE＝60°，
在Rt△AOE中，OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，
∴AE＝2，
∴AC＝2．
∴在Rt△ABC中，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB＝AC，∠BAC＝90°，则m＝　3　．

【分析】作AD⊥BC于D，易证得BC＝2AD＝2（m+1），设B（x1，m），C（x2，m），解方程﹣1＝m，根据根与系数的关系得出x1+x2＝6，x1•x2＝5﹣4m，即可得出（x2﹣x1）2+4x1x2＝36，即（2+2m）2+4（5﹣4m）＝36，解关于m的方程求得即可．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝BD，
∴BC＝2AD，
∵抛物线y＝﹣1的顶点为A，
∴A（3，﹣1），
∵点P（0，m），
∴AD＝1+m，
∴BC＝2+2m，
设B（x1，m），C（x2，m），
∴x2﹣x1＝2+2m，
解﹣1＝m整理得：x2﹣6x+5﹣4m＝0，
∴x1+x2＝6，x1•x2＝5﹣4m，
∴（x2﹣x1）2+4x1x2＝36，
∴（2+2m）2+4（5﹣4m）＝36，
解得m＝3和m＝﹣1（舍去），
故答案为3．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数和方程的关系，等腰直角三角形的性质，根据根与系数的关系列出关于m的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣1）2﹣a（a﹣3），其中．
【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣2a+1﹣a2+3a
＝a+1，
当a＝﹣1时，
原式＝﹣1+1＝．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
16．（6分）2021年我省开始实施“3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．
（1）小丽选到物理的概率为　　；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门选到化学、生物的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、生物两科的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵在物理和历史两个科目中任选1门，
∴小丽选到物理的概率为；
故答案为：；

（2）设思想政治为 A，地理为 B，化学为 C，生物为 D，画树状图如下：

共有 12 种等可能情况，选中化学、生物的有2 种，
则P（选中化学、生物）＝＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率：利用树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
17．（6分）京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工作效率的20倍，若用一台机器人分栋8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少小时．求一台机器人一小时可分拣多少件货物？
【分析】设一台机器人一小时可分拣x件货物，则一名分拣工人一小时可分拣件货物，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“若用一台机器人分栋8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少小时”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设一台机器人一小时可分拣x件货物，则一名分拣工人一小时可分拣件货物，
依题意得：﹣＝，
解得：x＝3000，
经检验，x＝3000是原方程的解，且符合题意．
答：一台机器人一小时可分拣3000件货物．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．（7分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）试判断四边形ADCF的形状，并加以证明；
（2）若AB＝17，BC＝30，求四边形ADCF的面积．

【分析】（1）由AAS证明△AEF≌△DEB，得AF＝DB，证得四边形ADCF为平行四边形，根据矩形的判定定理可证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝15，勾股定理求得AD，然后根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）四边形ADCF是矩形；
证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，点D是BC中点，
∴AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形；
（2）∵AB＝AC，点D是BC中点，
∴BD＝CD＝BC＝15，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝8，
∴四边形ADCF的面积＝15×8＝120．

【点评】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．（7分）为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度，某校开展了一次网上问卷调查．随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取　50　名学生进行统计调查，扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为　72°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有3000名学生，估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？
【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得抽取总人数，用360°乘以D类所占的百分比，计算即可得解；
（2）根据总数计算出A类的人数，然后再补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
【解答】解：（1）抽取的学生总数：12÷24%＝50（人），
360°×＝72°，
故答案为：50；72°；

（2）A类学生人数：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），
如图所示；

（3）3000×＝1380（人），
答：该校表示“喜欢”的B类学生大约有1380人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（7分）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝；
（2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1；
（3）在图②中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝．

【分析】（1）在图①中，依据tan∠CAB＝，即可得到点C的位置；
（2）在图②中依据tan∠DAB＝1，即可得到点D的位置；
（3）在图②中依据tan∠AEB＝，即可得到点E的位置．
【解答】解：（1）答案不唯一，以下答案供参考．

（2）答案不唯一，以下答案供参考．

（3）如图所示：

【点评】本题考查了作图﹣运用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
21．（8分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求小张骑自行车的速度；
（2）求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；
（3）求相遇后经过多长时间两人相距500米？

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小张骑自行车的速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；
（3）根据函数图象中的数据，可以计算出小李出发时y与x之间的函数表达式，然后根据（2）中的函数解析式，可以计算出两人相遇的时间和相遇后相距500米时的时间，然后即可计算出相遇后经过多长时间两人相距500米．
【解答】解：（1）由图象可得，
小张骑自行车的速度为：（2400﹣1200）÷4
＝1200÷4
＝300（米/分钟），
即小张骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）设小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
由图象可得，该函数过点（6，1200），（10，0），
∴，
解得，
即小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式是y＝﹣300x+3000；
（3）小李骑摩托车从乙地到甲地用的时间为：2400÷800＝3（分钟），
设小李出发时y与x之间的函数表达式是y＝mx+n，
∵点（6，0），（9，2400）在该函数图象上，
∴，
解得，
即小李出发时y与x之间的函数表达式是y＝800x﹣4800，
令（800x﹣4800）﹣（﹣300x+3000）＝0，
解得x＝，
令（800x﹣4800）﹣（﹣300x+3000）＝500，
解得x＝，
﹣＝（分钟），
答：相遇后经过分钟两人相距500米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（9分）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容．
例3已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
求证：△ADE∽△EFC．
[问题解决]这是“23.3.2相似三角形的判定”的部分内容，请结合图①给出例3的证明过程．
[拓展探究]
（1）如图②，在△ABC中，D是边AB的四等分点且靠近点B，过D分别作DE∥AC，DF∥BC与边BC、AC分别相交于点E、F，若AC＝6，BC＝9．则四边形DECF的周长是 　　；
（2）如图③，在△ABC中，P是边BC上的一点，且BP：PC＝3：2，连结AP，取AP的中点M，连结BM并延长交AC于点N，若△AMN的面积为3，则△AMB的面积为 　12　．

【分析】[问题解决]由平行线的性质得出∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC，则可得出答案；
[拓展探究]（1）D是边AB的四等分点且靠近点B，得出AB＝3AD，求出CE和CF的长；则可求出答案；
（2）过点P作PH∥AC交BN于点H，证明△PMH≌△AMN（AAS），由全等三角形的性质得出MH＝MN，求出S△ABM＝4S△AMN＝12，则可求出答案．
【解答】[问题解决]
证明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠A＝∠FEC，
∴△ADE∽△EFC．

[拓展探究]
（1）解：如图②，若D是边AB的三等分点，且AB＝4AD，
∵DF∥BC，
∴＝，
∴，
∴AF＝，
∴CF＝AC﹣AF＝，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴CE＝，
∵DF∥BC，DE∥AC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴四边形DECF的周长为2（CE+CF）＝2×（+）＝；
故答案为：；

（2）如图③，过点P作PH∥AC交BN于点H，

∵PH∥AC，
∴∠PHM＝∠ANM，
∵∠PMH＝∠AMN，AM＝PM，
∴△PMH≌△AMN（AAS），
∴MH＝MN，
∵PM∥CN，BP：PC＝3：2，
∴＝，
∴＝＝4，
∴S△ABM＝4S△AMN＝12，
故答案为：12．

【点评】本题是相似形综合题，考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
23．（10分）如图，在 Rt△ABC中，AB＝8，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，作∠BPD＝120°，边PD交折线AC﹣CB于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连结ED，EP得到△PDE．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点E落在边BC上时，求t的值；
（3）设△PDE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）设M为AB的中点，N为ED的中点，连结MN．当MN与△ABC的边垂直时，直接写出t的值．

【分析】（1）证明△APD是等边三角形，可得结论；
（2）证明PB＝2PE，由此构建方程，可得结论；
（3）分三种情形：如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是△PDE，如图3中，当＜t≤2时，重叠部分是四边形PDNM，如图4中，当2＜t≤4时，重叠部分是△PQD，分别求解即可；
（4）分三种情形：如图5中，当MN⊥AC时，PM＝PN．如图6中，当MN⊥AB时．如图7中，当NM⊥BC时，PB＝2PM，分别求解即可．
【解答】（1）解：∵∠BPD＝120°，
∴∠APD＝180°﹣120°＝60°，
∵∠A＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD＝AP＝2t，
①当0＜t≤2时，PD＝AP＝2t；
②当2＜t＜4时，PD＝PB＝8﹣2t；

（2）如图1中，

∵A，E关于PD对称，
∴△PED≌△PAD，
∴PPE＝2t，∠APD＝∠EPD＝60°，
∴∠BPE＝60°，
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴∠BEP＝90°，
∴BP＝2PE＝4t，
∴AB＝6t＝8，
∴t＝；

（3）如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是△PDE，S＝×（2t）2＝t2．


如图3中，当＜t≤2时，重叠部分是四边形PDNM，S＝S△PDE﹣S△EMN＝t2﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）＝﹣t2+12t﹣8．

如图4中，当2＜t＜4时，重叠部分是△PQD，S＝×（4﹣t）×（4﹣t）＝t2﹣4t+8．

综上所述，S＝．

（4）如图5中，当MN⊥AC时，PM＝PN，

∴4﹣2t＝×t，
∴t＝．
如图6中，当MN⊥AB时，t＝2．

如图7中，当NM⊥BC时，PB＝2PM，

∴8﹣2t＝2（2t﹣4），
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或2或．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形30度角的性质，三角形的面积等知识，解题关键是学会用分类讨论解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C（﹣2，﹣2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
（1）当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；
（2）若图象G过点（3，﹣9），求出m的取值范围；
（3）若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
（4）图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由m＝﹣2代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线经过定点（3，﹣9），根据3≤2m求解．
（3）将x＝2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质可得|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，进而求解．
（4）分类讨论，根据AB与CD，AD与BC的位置关系，结合对应抛物线的顶点位置结合图象求解．
【解答】解：（1）m＝﹣2时，y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16（x≤﹣4），
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，16），
∵﹣4＜﹣2，
∴x＝﹣4时，y＝﹣16+16+12＝12为函数最大值，
∴图象G的最高点坐标为（﹣4，12）．
（2）∵y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣（x﹣m）2+m2﹣6m，
∴抛物线对称轴为直线x＝m，
将x＝3代入y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣9，
∴抛物线过定点（3，﹣9），
∴2m≥3，
解得m≥．
（3）将x＝2m代入y＝﹣x2+2mx﹣6m得y＝﹣6m，
∴点A坐标为（2m，﹣6m），
∵C（﹣2，﹣2），
∴|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴点A坐标为（0，0）或（1，﹣6）．
（4）点A为抛物线与矩形交点，
当m＞0时，抛物线对称轴在线段AD左侧，y轴右侧，
当﹣6m＜﹣2时，AB在CD下方，m＞，
∴当抛物线顶点（m，m2﹣6m）在CD下方时满足题意，
∴m2﹣6m＜﹣2，
解得3﹣＜m＜3+3，

当﹣1＜m≤0时，AD在BC右侧，抛物线对称轴在AD右侧，抛物线在矩形内部的部分y随x增大而增大，满足题意，

当m＜﹣1时，图象G与矩形只有1交点为A，
综上所述，3﹣＜m＜3+3或﹣1＜m≤0．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过数形结合求解．