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2022年广西桂林市平乐县中考数学第一次适应性试卷
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这是一份2022年广西桂林市平乐县中考数学第一次适应性试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广西桂林市平乐县中考数学第一次适应性试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
3．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
4．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
5．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列计算的结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x6﹣x C．x2•x3 D．（x2）3
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）某厂1月份生产产品100台，计划2月、3月共生产250台．设2月、3月平均每月的增长率是x，根据题意，列方程是（ ）
A．100（1+x）2＝250
B．100（1+x）2×2＝250
C．100（1+x）+100（1+x）2＝250
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝250
11．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝与直线y＝x+1在第一象限交于点P（a，b），则代数式﹣的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）化简：﹣＝ ．
14．（3分）太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示数696 000为 ．
15．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则sin∠DAE＝ ．
18．（3分）如图，点D是线段BC上的一个动点，分别以BD、CD为边在BC上方作等边△ABD和等边△EDC，连接AC、BE相交于点F．若BC＝3，当点D从点B运动到点C时，点F运动的路径长为 ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（6分）计算：|﹣2|+﹣（π﹣3）0﹣2sin45°．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
21．（8分）某山区中学300名学生参加植树节活动，要求每人植3至6棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）．回答下列问题：
（1）这次调查一共抽查了 名学生的植树量；请将条形图补充完整；
（2）被调查学生每人植树量的众数是 棵、中位数是 棵；
（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这300名学生共植树多少棵？
22．（8分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
23．（8分）居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m．求该大楼的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
24．（8分）某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价高4元，用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价分别是多少元？
（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．
25．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接DE．求证：DE∥AO；
（3）连接CE，交OA于点F．若OF：FC＝1：2，求tanB的值．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2022年广西桂林市平乐县中考数学第一次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的相反数为2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：﹣2＜0＜2＜3，最小的实数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了实数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
3．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；
B、3个球都是白球是不可能事件；
C、3个球中有黑球是必然事件；
D、3个球中有白球是随机事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
6．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
7．（3分）下列计算的结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x6﹣x C．x2•x3 D．（x2）3
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂除法法则，幂的乘方以及合并同类项，进行运算即可．
【解答】解：A、x10÷x2＝x8．
B、x6﹣x＝x6﹣x．
C、x2•x3＝x5．
D、（x2）3＝x6
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方以及合并同类项，解答此题关键是熟练运算法则．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用代入法求出解即可．
【解答】解：，
由①得：y＝2﹣x③，
代入②得：3x+2﹣x＝4，
解得：x＝1，
将x＝1代入③得：y＝1，
则方程组的解为．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
10．（3分）某厂1月份生产产品100台，计划2月、3月共生产250台．设2月、3月平均每月的增长率是x，根据题意，列方程是（ ）
A．100（1+x）2＝250
B．100（1+x）2×2＝250
C．100（1+x）+100（1+x）2＝250
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝250
【分析】根据题意可得等量关系：计划2月、3月共生产250台，然后列出方程即可．
【解答】解：设2月、3月平均每月的增长率是x，根据题意，列方程得，100（1+x）+100（1+x）2＝250，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
11．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由点A、B的坐标可得到AB＝2，然后分类讨论：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，确定C点的个数．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB＝2，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（4，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思考思考问题，属于中考常考题型．
12．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝与直线y＝x+1在第一象限交于点P（a，b），则代数式﹣的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把点P（a，b）分别代入y＝与y＝x+1中，可得ab与b﹣a得值，代数式﹣可化为，即可得出答案
【解答】解：把点P（a，b）分别代入y＝与y＝x+1中，
得b＝，b＝a+1，
即ab＝，b﹣a＝1，
∴﹣＝＝＝
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象上点得坐标特征，合理应用相关特征进行计算是解决本题得关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）化简：﹣＝ ﹣2 ．
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，正确化简是解题关键．
14．（3分）太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示数696 000为 6.96×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：696 000＝6.96×105，
故答案为：6.96×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，
所以抽到同一类书籍的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则sin∠DAE＝ ．
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE＝5，BC＝AD＝8，证得Rt△EGF∽Rt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【解答】解：矩形ABCD中，GC＝4，CE＝3，∠C＝90°，
∴GE＝，
根据折叠的性质：BG＝GF，GF＝GC＝4，CE＝EF＝3，∠AGB＝∠AGF，∠EGC＝∠EGF，∠GFE＝∠C＝90°，∠B＝∠AFG＝90°，
∴BG＝GF＝GC＝4，∠AFG+∠EFG＝180°，
∴BC＝AD＝8，点A，点F，点E三点共线，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF＝180°，
∴∠AGE＝90°，
∴Rt△EGF∽Rt△EAG，
∴，即，
∴，
∴DE＝，
∴，
故答案为：．
【点评】本考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
18．（3分）如图，点D是线段BC上的一个动点，分别以BD、CD为边在BC上方作等边△ABD和等边△EDC，连接AC、BE相交于点F．若BC＝3，当点D从点B运动到点C时，点F运动的路径长为 ．
【分析】通过证明△ADC≌△BDE，利用全等三角形的性质和三角形的内角和定理的推论，计算得到∠BFC＝120°，从而知道点F的运动轨迹，利用弧长公式计算即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD和△ECD为等边三角形，
∴AD＝BD，DE＝CD，∠ADB＝∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠BDE＝120°．
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS）．
∴∠DAC＝∠EBD．
∵∠ADB＝∠DAC+∠DCA＝60°．
∴∠DBE+∠DCA＝60°，
∴∠AFB＝∠DBE+∠DCA＝60°．
∴∠BFC＝120°．
∴点D从点B运动到点C时，点F运动的运动轨迹为以BC为弦，所含圆周角为120°的，如图，
则∠BOC＝120°，
过点O作OH⊥BC于点H，
则BH＝CH＝BC＝，∠BOH＝∠BOC＝60°，
∴OB＝＝，
的长为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，点的轨迹，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的推论，圆的弧长公式，利用题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（6分）计算：|﹣2|+﹣（π﹣3）0﹣2sin45°．
【分析】直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2+2﹣1﹣2×
＝2+2﹣1﹣
＝3﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【分析】先通分括号内的式子，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
21．（8分）某山区中学300名学生参加植树节活动，要求每人植3至6棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）．回答下列问题：
（1）这次调查一共抽查了 20 名学生的植树量；请将条形图补充完整；
（2）被调查学生每人植树量的众数是 4 棵、中位数是 4 棵；
（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这300名学生共植树多少棵？
【分析】（1）由B类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以D类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
（2）根据众数和中位数的概念可得答案；
（3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
【解答】解：（1）这次调查一共抽查植树的学生人数为8÷40%＝20（名），
D类人数＝20×10%＝2（名）．
故答案为：20；
（2）众数是4，中位数是4，
故答案为：4，4；
（3）＝＝4.3（棵），
4.3×300＝1290（棵）．
答：估计这300名学生共植树1290棵．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（8分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，且AD＝BC，根据点C是BE的中点，得到BC＝CE，等量代换得AD＝CE，又因为AD∥CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
23．（8分）居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m．求该大楼的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
【分析】作AH⊥CD于H，则四边形ABDH是矩形，得出HD＝AB＝31.6m，由三角函数定义求出AH≈40.51（m），证出CH＝AH＝40.51m，进而得出答案．
【解答】解：过点A作AH⊥CD于H，如图：
则四边形ABDH是矩形，
∴HD＝AB＝31.6m，
在Rt△ADH中，∠HAD＝38°，tan∠HAD＝，
∴AH＝＝＝≈40.51（m），
在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，
∴CH＝AH＝40.51m，
∴CD＝CH+HD＝40.51+31.6＝72.11≈72.1（m），
答：该大楼的高度约为72.1m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
24．（8分）某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价高4元，用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价分别是多少元？
（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．
【分析】（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，由题意：用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，由题意：甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，列出一元一次不等式组，解得20≤m≤22.5，则m的整数值为20或21或22，得共有3种进货方案，再分别求出费用，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，
由题意，得：＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则x﹣4＝6，
答：甲笔记本的单价为10元，乙笔记本单价6元；
（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，
由题意得：，
解得：20≤m≤22.5，
∵m为正整数，
∴m的整数值为20或21或22，
∴共有3种进货方案，
方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，费用为：20×10+20×6＝320（元）；
方案②：购进甲种笔记本21本，购进乙种笔记本19本，费用为：21×10+19×6＝324（元）；
方案③：购进甲种笔记本22本，购进乙种笔记本18本，费用为：22×10+18×6＝328（元）；
∵320＜324＜328，
∴方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，最省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接DE．求证：DE∥AO；
（3）连接CE，交OA于点F．若OF：FC＝1：2，求tanB的值．
【分析】（1）如图1，过点O作OE⊥AB于点E，由角平分线的性质，得出OE＝OC，即可证明AB为⊙O的切线；
（2）如图2，连接DE，由切线长定理得出AC＝AE，由OE＝OC，得出AC垂直平分EC，再由圆周角定理的推论得出DE⊥EC，即可证明DE∥AO；
（3）如图3，由（2）可知，AE＝AC，AC⊥EC，OE＝OC，由OF：FC＝1：2，设OF＝a，则FC＝2a，OC＝＝a，证明△FOC∽△COA，得出，求出AC＝2a，AE＝AC＝2a，OE＝OC＝a，再证明△BEO∽△BCA，得出，即，求出BE＝，BO＝，即可求出tanB的值．
【解答】（1）证明：如图1，过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴OE＝OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接DE，
∵∠ACB＝90°，OC是半径，
∴AC是⊙O的切线，
∵AB是⊙O的切线，
∴AC＝AE，
∵OE＝OC，
∴AO垂直平分EC，
∵CD是⊙O的直径，
∴DE⊥EC，
∴DE∥AO；
（3）解：如图3，
由（2）可知，AE＝AC，AO⊥EC，OE＝OC，
∵OF：FC＝1：2，
∴设OF＝a，则FC＝2a，OC＝＝a，
∵∠FOC＝∠COA，∠OCA＝∠CFO＝90°，
∴△FOC∽△COA，
∴，即，
∴AC＝2a，
∴AE＝AC＝2a，OE＝OC＝a，
由（1）可知AB为⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∴∠BEO＝∠BCA＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴，即，
∴BE+2a＝2BO，BO+a＝2BE，
∴BE＝，BO＝，
∴tanB＝＝＝．
【点评】本题考查了圆的综合应用，掌握切线的判定方法，角平分线的性质，切线长定理，垂直平分线的判定，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线表达式，求解即可；
（2）连接OQ，得到点Q的坐标，利用S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC得出△BCQ的面积，再令S＝2，即可解出m的值；
（3）证明△APC∽△QPH，根据相似三角形的判定与性质，可得 ，根据三角形的面积，可得QH＝，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线A（﹣1，0），B（4，0），可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令x＝0，则y＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
（2）连接OQ，
∵点Q的横坐标为m，
∴Q（m，），
∴S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC
＝﹣
＝﹣m2+4m，
令S＝2，
解得：m＝或，
（3）如图，过点Q作QH⊥BC于H，连接AC，
∵AC＝，BC＝，AB＝5，
满足AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，又∠QHC＝90°，∠APC＝∠QPH，
∴△APC∽△QPH，
∴，
∵S△BCQ＝BC•QH＝QH，
∴QH＝，
∴＝，
∴当m＝2时，存在最大值．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合．
2022年广西桂林市平乐县中考数学第一次适应性试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
3．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
4．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
5．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列计算的结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x6﹣x C．x2•x3 D．（x2）3
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）某厂1月份生产产品100台，计划2月、3月共生产250台．设2月、3月平均每月的增长率是x，根据题意，列方程是（ ）
A．100（1+x）2＝250
B．100（1+x）2×2＝250
C．100（1+x）+100（1+x）2＝250
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝250
11．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝与直线y＝x+1在第一象限交于点P（a，b），则代数式﹣的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）化简：﹣＝ ．
14．（3分）太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示数696 000为 ．
15．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则sin∠DAE＝ ．
18．（3分）如图，点D是线段BC上的一个动点，分别以BD、CD为边在BC上方作等边△ABD和等边△EDC，连接AC、BE相交于点F．若BC＝3，当点D从点B运动到点C时，点F运动的路径长为 ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（6分）计算：|﹣2|+﹣（π﹣3）0﹣2sin45°．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
21．（8分）某山区中学300名学生参加植树节活动，要求每人植3至6棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）．回答下列问题：
（1）这次调查一共抽查了 名学生的植树量；请将条形图补充完整；
（2）被调查学生每人植树量的众数是 棵、中位数是 棵；
（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这300名学生共植树多少棵？
22．（8分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
23．（8分）居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m．求该大楼的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
24．（8分）某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价高4元，用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价分别是多少元？
（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．
25．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接DE．求证：DE∥AO；
（3）连接CE，交OA于点F．若OF：FC＝1：2，求tanB的值．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2022年广西桂林市平乐县中考数学第一次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的相反数为2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：﹣2＜0＜2＜3，最小的实数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了实数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
3．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；
B、3个球都是白球是不可能事件；
C、3个球中有黑球是必然事件；
D、3个球中有白球是随机事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
6．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
7．（3分）下列计算的结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x6﹣x C．x2•x3 D．（x2）3
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂除法法则，幂的乘方以及合并同类项，进行运算即可．
【解答】解：A、x10÷x2＝x8．
B、x6﹣x＝x6﹣x．
C、x2•x3＝x5．
D、（x2）3＝x6
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方以及合并同类项，解答此题关键是熟练运算法则．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
9．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用代入法求出解即可．
【解答】解：，
由①得：y＝2﹣x③，
代入②得：3x+2﹣x＝4，
解得：x＝1，
将x＝1代入③得：y＝1，
则方程组的解为．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
10．（3分）某厂1月份生产产品100台，计划2月、3月共生产250台．设2月、3月平均每月的增长率是x，根据题意，列方程是（ ）
A．100（1+x）2＝250
B．100（1+x）2×2＝250
C．100（1+x）+100（1+x）2＝250
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝250
【分析】根据题意可得等量关系：计划2月、3月共生产250台，然后列出方程即可．
【解答】解：设2月、3月平均每月的增长率是x，根据题意，列方程得，100（1+x）+100（1+x）2＝250，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
11．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由点A、B的坐标可得到AB＝2，然后分类讨论：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，确定C点的个数．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB＝2，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（4，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思考思考问题，属于中考常考题型．
12．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝与直线y＝x+1在第一象限交于点P（a，b），则代数式﹣的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把点P（a，b）分别代入y＝与y＝x+1中，可得ab与b﹣a得值，代数式﹣可化为，即可得出答案
【解答】解：把点P（a，b）分别代入y＝与y＝x+1中，
得b＝，b＝a+1，
即ab＝，b﹣a＝1，
∴﹣＝＝＝
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象上点得坐标特征，合理应用相关特征进行计算是解决本题得关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）化简：﹣＝ ﹣2 ．
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，正确化简是解题关键．
14．（3分）太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示数696 000为 6.96×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：696 000＝6.96×105，
故答案为：6.96×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
16．（3分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，
所以抽到同一类书籍的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则sin∠DAE＝ ．
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE＝5，BC＝AD＝8，证得Rt△EGF∽Rt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【解答】解：矩形ABCD中，GC＝4，CE＝3，∠C＝90°，
∴GE＝，
根据折叠的性质：BG＝GF，GF＝GC＝4，CE＝EF＝3，∠AGB＝∠AGF，∠EGC＝∠EGF，∠GFE＝∠C＝90°，∠B＝∠AFG＝90°，
∴BG＝GF＝GC＝4，∠AFG+∠EFG＝180°，
∴BC＝AD＝8，点A，点F，点E三点共线，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF＝180°，
∴∠AGE＝90°，
∴Rt△EGF∽Rt△EAG，
∴，即，
∴，
∴DE＝，
∴，
故答案为：．
【点评】本考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
18．（3分）如图，点D是线段BC上的一个动点，分别以BD、CD为边在BC上方作等边△ABD和等边△EDC，连接AC、BE相交于点F．若BC＝3，当点D从点B运动到点C时，点F运动的路径长为 ．
【分析】通过证明△ADC≌△BDE，利用全等三角形的性质和三角形的内角和定理的推论，计算得到∠BFC＝120°，从而知道点F的运动轨迹，利用弧长公式计算即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD和△ECD为等边三角形，
∴AD＝BD，DE＝CD，∠ADB＝∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠BDE＝120°．
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS）．
∴∠DAC＝∠EBD．
∵∠ADB＝∠DAC+∠DCA＝60°．
∴∠DBE+∠DCA＝60°，
∴∠AFB＝∠DBE+∠DCA＝60°．
∴∠BFC＝120°．
∴点D从点B运动到点C时，点F运动的运动轨迹为以BC为弦，所含圆周角为120°的，如图，
则∠BOC＝120°，
过点O作OH⊥BC于点H，
则BH＝CH＝BC＝，∠BOH＝∠BOC＝60°，
∴OB＝＝，
的长为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，点的轨迹，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的推论，圆的弧长公式，利用题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（6分）计算：|﹣2|+﹣（π﹣3）0﹣2sin45°．
【分析】直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝2+2﹣1﹣2×
＝2+2﹣1﹣
＝3﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【分析】先通分括号内的式子，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
21．（8分）某山区中学300名学生参加植树节活动，要求每人植3至6棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）．回答下列问题：
（1）这次调查一共抽查了 20 名学生的植树量；请将条形图补充完整；
（2）被调查学生每人植树量的众数是 4 棵、中位数是 4 棵；
（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这300名学生共植树多少棵？
【分析】（1）由B类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以D类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
（2）根据众数和中位数的概念可得答案；
（3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
【解答】解：（1）这次调查一共抽查植树的学生人数为8÷40%＝20（名），
D类人数＝20×10%＝2（名）．
故答案为：20；
（2）众数是4，中位数是4，
故答案为：4，4；
（3）＝＝4.3（棵），
4.3×300＝1290（棵）．
答：估计这300名学生共植树1290棵．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（8分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，且AD＝BC，根据点C是BE的中点，得到BC＝CE，等量代换得AD＝CE，又因为AD∥CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
23．（8分）居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m．求该大楼的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
【分析】作AH⊥CD于H，则四边形ABDH是矩形，得出HD＝AB＝31.6m，由三角函数定义求出AH≈40.51（m），证出CH＝AH＝40.51m，进而得出答案．
【解答】解：过点A作AH⊥CD于H，如图：
则四边形ABDH是矩形，
∴HD＝AB＝31.6m，
在Rt△ADH中，∠HAD＝38°，tan∠HAD＝，
∴AH＝＝＝≈40.51（m），
在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，
∴CH＝AH＝40.51m，
∴CD＝CH+HD＝40.51+31.6＝72.11≈72.1（m），
答：该大楼的高度约为72.1m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
24．（8分）某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价高4元，用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价分别是多少元？
（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．
【分析】（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，由题意：用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，由题意：甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，列出一元一次不等式组，解得20≤m≤22.5，则m的整数值为20或21或22，得共有3种进货方案，再分别求出费用，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，
由题意，得：＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则x﹣4＝6，
答：甲笔记本的单价为10元，乙笔记本单价6元；
（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，
由题意得：，
解得：20≤m≤22.5，
∵m为正整数，
∴m的整数值为20或21或22，
∴共有3种进货方案，
方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，费用为：20×10+20×6＝320（元）；
方案②：购进甲种笔记本21本，购进乙种笔记本19本，费用为：21×10+19×6＝324（元）；
方案③：购进甲种笔记本22本，购进乙种笔记本18本，费用为：22×10+18×6＝328（元）；
∵320＜324＜328，
∴方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，最省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接DE．求证：DE∥AO；
（3）连接CE，交OA于点F．若OF：FC＝1：2，求tanB的值．
【分析】（1）如图1，过点O作OE⊥AB于点E，由角平分线的性质，得出OE＝OC，即可证明AB为⊙O的切线；
（2）如图2，连接DE，由切线长定理得出AC＝AE，由OE＝OC，得出AC垂直平分EC，再由圆周角定理的推论得出DE⊥EC，即可证明DE∥AO；
（3）如图3，由（2）可知，AE＝AC，AC⊥EC，OE＝OC，由OF：FC＝1：2，设OF＝a，则FC＝2a，OC＝＝a，证明△FOC∽△COA，得出，求出AC＝2a，AE＝AC＝2a，OE＝OC＝a，再证明△BEO∽△BCA，得出，即，求出BE＝，BO＝，即可求出tanB的值．
【解答】（1）证明：如图1，过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴OE＝OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接DE，
∵∠ACB＝90°，OC是半径，
∴AC是⊙O的切线，
∵AB是⊙O的切线，
∴AC＝AE，
∵OE＝OC，
∴AO垂直平分EC，
∵CD是⊙O的直径，
∴DE⊥EC，
∴DE∥AO；
（3）解：如图3，
由（2）可知，AE＝AC，AO⊥EC，OE＝OC，
∵OF：FC＝1：2，
∴设OF＝a，则FC＝2a，OC＝＝a，
∵∠FOC＝∠COA，∠OCA＝∠CFO＝90°，
∴△FOC∽△COA，
∴，即，
∴AC＝2a，
∴AE＝AC＝2a，OE＝OC＝a，
由（1）可知AB为⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
∴∠BEO＝∠BCA＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴，即，
∴BE+2a＝2BO，BO+a＝2BE，
∴BE＝，BO＝，
∴tanB＝＝＝．
【点评】本题考查了圆的综合应用，掌握切线的判定方法，角平分线的性质，切线长定理，垂直平分线的判定，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线表达式，求解即可；
（2）连接OQ，得到点Q的坐标，利用S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC得出△BCQ的面积，再令S＝2，即可解出m的值；
（3）证明△APC∽△QPH，根据相似三角形的判定与性质，可得 ，根据三角形的面积，可得QH＝，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线A（﹣1，0），B（4，0），可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令x＝0，则y＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
（2）连接OQ，
∵点Q的横坐标为m，
∴Q（m，），
∴S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC
＝﹣
＝﹣m2+4m，
令S＝2，
解得：m＝或，
（3）如图，过点Q作QH⊥BC于H，连接AC，
∵AC＝，BC＝，AB＝5，
满足AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，又∠QHC＝90°，∠APC＝∠QPH，
∴△APC∽△QPH，
∴，
∵S△BCQ＝BC•QH＝QH，
∴QH＝，
∴＝，
∴当m＝2时，存在最大值．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合．
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