广东省汕头市2022届高三三模数学试题及解析

2022年汕头市普通高考第三次模拟考试试题

数    学

本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．

考生注意：

1．答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号等信息填涂在答题卡相应位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷    选择题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集为R，，，，则（    ）

A 1 B. 2 C.  D. 0

2. 2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（    ）

A. 36 B. 24 C. 18 D. 42

3. 在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（    ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

4. 已知数列中，，当时，，则（    ）

A  B.  C. 5 D.

5. 下列说法错误的是（    ）

A. 命题“，”的否定是“，”

B. 在△ABC中，是的充要条件

C. 若a，b，，则“”的充要条件是“，且”

D. “若，则”是真命题

6. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

8. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，下列说法中正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则

D 若，则

10. 关于曲线C：，下列说法正确的是（    ）

A. 曲线C一定不过点

B. 若，过原点与曲线C相切的直线有两条

C. 若，曲线C表示两条直线

D. 若，则直线被曲线C截得弦长等于

11. 已知函数，，若存，使得对任意，，则（    ）

A. 在单调递增

B. ，，

C. ，使得在上有且仅有1个零点

D. 若在单调，则

12. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（    ）

A.  B. 是奇数

C.  D.

第Ⅱ卷    非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中，16题第一空2分，第二空3分．

13. 已知函数在点处的切线为l，若l与函数相切，切点为，则__________．

14. 已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E：上，若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是__________．

15. 某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）

附：若，．

16. 如图，DE是边长为的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球O的表面积为__________；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为∠ABC的角平分线．

（1）求证：；

（2）若且，求△ABC的面积．

18. 目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据，，2，3，4，5，…，10，表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；

模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，令，则有，，，．

（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；

（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．

（3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．

附：样本（，2，…，n）最小二乘估计公式为，；相关指数，参考数据：．

19. 已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．

20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为和8，椭圆的短轴长大于焦距．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P为椭圆C上的动点（不是顶点），点P与点M关于原点对称，过M作直线垂直于x轴，垂足为E．连接PE并延长交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，E，F分别是PA，PD的中点，过E，F作平面交线段PB，PC分别于点G，H，且

（1）求证：；

（2）若PD⊥平面ABCD，且二面角为，二面角的正弦值为，求t的值．

22. 已知函数．

（1）求在的极值；

（2）证明：函数在有且只有两个零点．