高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第一课时学案设计

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知识点一 一元二次不等式的概念
1．我们把只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__的不等式称为一元二次不等式．
2．使一元二次不等式成立的__未知数__的值叫做一元二次不等式的解，所有的解所组成的__集合__叫做一元二次不等式的__解集__．
eq \a\vs4\al(【思辨】) 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)kx2－x＋1≥0是关于x的一元二次不等式．( × )
(2)不等式m2x＋2x－30，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( × )
(4)不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．( √ )
【解析】 (1)当k＝0，该不等式不是一元二次不等式．
(2)因为x的最高次数是1，所以m2x＋2x－30时，任意实数x都能使不等式ax2＋1>0成立，所以不等式ax2＋1>0的解集是R．
(4)因为x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以x2－2x＋1≤0只能成立“＝”，所以不等式x2－2x＋1≤0的解集是{1}．
知识点二 二次函数和一元二次方程、不等式的关系
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，这时方程的根就是抛物线与x轴交点的__横坐标__；当y≠0时，得不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c0时，二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系：
[研读]通过二次函数将一元二次方程、一元二次不等式联系起来，通过二次函数的图象可以解一元二次不等式和一元二次方程．
eq \a\vs4\al(【思辨】) 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝x2－x＋1的图象与x轴有交点．( × )
(2)方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．( √ )
(3)关于x的方程x2－2ax＋(a2－1)＝0恒有两个不相等的实数根．( √ )
(4)函数y＝ax2＋2x－4的图象与x轴的一个交点是(1，0)，则方程ax2＋2x－4＝0的两个根是1和2.( × )
【解析】 (1)由(－1)2－4×1×1＝－30，所以方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
(3)因为(－2a)2－4(a2－1)＝4>0，所以方程x2－2ax＋(a2－1)＝0恒有两个不相等的实数根．
(4)因为ax2＋2x－4＝0有一个根是1，所以a×12＋2×1－4＝0，得a＝2，所以方程变为2x2＋2x－4＝0，即x2＋x－2＝0，由求根公式得另一个根为－2.
eq \(\s\up7(),\s\d5( 解一元二次不等式))
eq \a\vs4\al(例1) 教材拓展求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3>0； (2)－x2＋8x－3>0；
(3)4x2－4x＋1>0； (4)－ eq \f(1,2) x2＋3x－50，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－ eq \f(1,2) .又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)，或x0；
(3) －x2＋2x－3>0.
解：(1)不等式的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x2)))) .
(2)不等式的解集为{x|00，a∈R；
(3)x2－ax＋10.
①当a2