数学必修 第一册4.1 指数当堂检测题

这是一份数学必修 第一册4.1 指数当堂检测题，共5页。
1．下列函数中，指数函数的个数为( B )
①y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(x－1) ；②y＝ax(a>0，且a≠1)；
③y＝1x; ④y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2x) ＋2.

A．0 B．1 C．3 D．4
【解析】 由指数函数的定义知仅②是指数函数．
2．若f(4)＝81，则指数函数f(x)的解析式为( B )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) D．f(x)＝xeq \f(1,3)
3．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( C )
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a> eq \f(1,2) ，且a≠1 D．a≥ eq \f(1,2)
【解析】 由题意得，2a－1>0，且2a－1≠1，解得a> eq \f(1,2) ，
且a≠1.
4．有n个数，第1个数是2，从第2个数起，每一个数都是它前一个数的2倍，则第n个数可以表示为( C )
A．f(n)＝2n B．f(n)＝2n＋2
C．f(n)＝2n D．f(n)＝2n－1
【解析】 由题意得，f(1)＝2，f(2)＝4，f(3)＝8，…，所以f(n)＝2n.
5．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k≠0，a>0，a≠1)模型的是( C )
A．自由落体运动中，物体离地面的高度与时间的关系
B．钟表盘中，时针的运行角度与时间的关系
C．某省的人口自然增长率为1.2%时，该省的人口总数与年份的关系
D．邮件的邮资与邮件质量之间的关系
【解析】 选项A中的关系是二次函数关系，选项B中的关系是一次函数关系，选项C中的关系是指数型函数关系，选项D中的关系是分段函数关系．
6．已知f(x)＝(m＋3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 是指数函数，则下列结论错误的是( B )
A．m＝－2 B．m取任意实数
C．f(－2)＝4 D．f(1)＝ eq \f(1,2)
【解析】 因为f(x)＝(m＋3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 是指数函数，所以m＋3＝1，解得m＝－2，所以f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ，所以f(－2)＝4，f(1)＝ eq \f(1,2) ，所以选项B中结论错误．
二、填空题
7．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(－1，2)，则a的值为__eq \f(1,2)__．
【解析】 依题意得，2＝a－1，解得a＝ eq \f(1,2) .
8．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝__1__．
【解析】 由指数函数的定义得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－2a＋2＝1，,a＋1＞0，,a＋1≠1，))解得a＝1.
9．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)，且f(－1)＝5，f(0)＝4，则f(－2)的值为__7__．
【解析】 由已知得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))所以f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ＋3，所以f(－2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2) ＋3＝4＋3＝7.
三、解答题
10．已知某种放射性物质经过100年后剩余的质量是原来质量的96%，设质量为1克的这种物质，经过n年后剩余质量为y，求n与y之间的关系式．
解：设质量为1克的这种物质经过1年后的质量为a克，则a100＝0.96，所以a＝0.96eq \f(1,100)，所以y＝an＝0.96eq \f(n,100)(n∈N*).
11．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知后一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍．若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了多少天？
解：由题意设荷叶覆盖水面的初始面积为1，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝2x－1(x∈N*).因为荷叶20天可以完全长满池塘水面，故当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时， eq \f(1,2) ×220－1＝2x－1，解得x＝19.即当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了19天．
[B级 素养养成与评价]
12． eq \a\vs4\al(【多选题】) 设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中正确的是( AC )
A．f(x－y)＝ eq \f(f（x）,f（y）)
B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y))) ＝f(x)－f(y)
C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋)
【解析】 f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝ eq \f(ax,ay)＝ eq \f(f（x）,f（y）) ，故A中的等式正确；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y))) ＝aeq \f(x,y)＝(ax)eq \f(1,y)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)eq \f(1,y)，故B中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故C中的等式正确；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n·(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，故D中的等式错误．故选AC.
13．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则该股民的股票盈亏情况(不计其他成本)是( D )
A．赚723元 B．赚145元
C．亏145元 D．亏723元
【解析】 依题意得，100 000×(1＋5%)5(1－4.9%)5≈100 000×0.99 277＝99 277，所以100 000－99 277＝723(元)，
所以该股民亏723元．
14．已知f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么当x＜0时，f(x)＝__－2x__．
【解析】 由x＞0时f(x)的图象可知f(1)＝ eq \f(1,2) ，
∴a＝ eq \f(1,2) ，∴f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) (x＞0).
当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－x) ＝2x.
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－2x(x＜0).
15．某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2020年年末，森林剩余面积为原来面积的 eq \f(\r(2),2) .
(1)求每年砍伐面积的百分比p%；
(2)到2020年年末，该森林已砍伐了多少年？
解：(1)由题意可得，a(1－p%)10＝ eq \f(1,2) a，解得p%＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1),10) ，∴每年砍伐面积的百分比p%为1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1),10) ．
(2)设经过m年剩余面积为原来的 eq \f(\r(2),2) ，则a·(1－p%)m＝ eq \f(\r(2),2) a，
∴(1－p%)m＝ eq \f(\r(2),2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1),2) ，
由(1)可得，1－p%＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1),10) ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(m),10) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(1),2) ，
∴ eq \f(m,10) ＝ eq \f(1,2) ，解得m＝5，故到2020年年末，该森林已砍伐了5年．