数学4.3 对数巩固练习

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1． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列说法正确的是( ACD )
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫作常用对数
D．以e为底的对数叫作自然对数
【解析】 因为底数及真数需满足一定要求，故B错，故选ACD.
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B )
A．100＝1与lg 1＝0
B．lg39＝2与9eq \f(1,2)＝3
C．27－eq \f(1,3)＝ eq \f(1,3) 与lg27 eq \f(1,3) ＝－ eq \f(1,3)
D．lg77＝1与71＝7
【解析】 因为lg39＝2⇒32＝9，故B错．
3．若lgx eq \r(3,y) ＝m，则( B )
A．y3＝xm B．y＝x3m
C．y＝3xm D．y＝m3x
【解析】 由lgx eq \r(3,y) ＝m，得xm＝ eq \r(3,y) ，所以x3m＝y.
4．方程2lg3x＝ eq \f(1,4) 的解是( A )
A．x＝ eq \f(1,9) B．x＝ eq \f(\r(3),3)
C．x＝ eq \r(3) D．x＝9
【解析】 因为2lg3x＝ eq \f(1,4) ＝2－2，所以lg3x＝－2，
所以x＝3－2＝ eq \f(1,9) .
5．在对数式b＝lg(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( C )
A．a>5或a<2 B．2C．2【解析】 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2>0，,a－2≠1，,5－a>0，))解得26．已知f(2x＋1)＝2x，则下列结论错误的是( B )
A．f(x)＝2lg2(x－1)
B．f(9)＝3
C．f(4)＝2lg23
D．f(2)＝0
【解析】 令2x＋1＝t，得2x＝t－1，则x＝lg2(t－1)，
所以f(x)＝2lg2(x－1)，所以f(4)＝2lg23，f(9)＝2lg28＝2×3＝6，f(2)＝0，所以选项B中结论错误．
二、填空题
7．给出下列各式：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④由lg25x＝ eq \f(1,2) ，得x＝±5.其中正确的是__①②__(把正确的序号都填上).
【解析】 因为lg 10＝1，所以lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；因为ln e＝1，所以lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；若10＝lg x，则x＝1010，故③不正确；由lg25x＝ eq \f(1,2) ，得x＝25eq \f(1,2)＝5，故④不正确．
8．若lg5[lg3(lg2x)]＝0，则xeq \f(2,3)＝__4__．
【解析】 因为lg5[lg3(lg2x)]＝0，所以lg3(lg2x)＝1，所以lg2x＝3，所以x＝23，所以xeq \f(2,3)＝(23)eq \f(2,3)＝22＝4.
9．5lg56－2＝__eq \f(6,25)__．
【解析】 5lg56－2＝ eq \f(5lg56,52)＝ eq \f(6,25) .
10．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为__x＝3__．
【解析】 由lg (x2－1)＝lg (2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1不合题意，所以原方程的根为x＝3.
11．若a>0，aeq \f(2,3)＝ eq \f(4,9) ，则lgeq \f(2,3)a＝__3__．
【解析】 因为aeq \f(2,3)＝ eq \f(4,9) ，a>0，所以a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) eq \s\up12(\f(3,2)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(3) ，设lgeq \f(2,3)a＝x，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(x) ＝a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(3) ，所以x＝3.
三、解答题
12．若lgeq \f(1,2)x＝m，lgeq \f(1,4)y＝m＋2，求 eq \f(x2,y)的值．
解：因为lgeq \f(1,2)x＝m，所以x＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(m) .
因为lgeq \f(1,4)y＝m＋2，所以y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(m＋2) ，
则 eq \f(x2,y)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2m) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(m＋2) ＝2－2m÷2－2m－4＝24＝16.
[B级 素养养成与评价]
13．已知b>0，lg5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( B )
A．d＝ac B．a＝dc
C．c＝ad D．d＝a＋c
【解析】 因为5a＝b，10c＝b，故5a＝10c.又因为5d＝10.所以5dc＝5a⇒a＝dc.故选B.
14．已知方程lga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－3x))＝x(a>0，且a≠1)，若x＝2是方程的解，则a＝__4__；当a＝2时，方程的解x＝__1__.
【解析】 因为x＝2，所以lga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(52－32))＝2⇒lga16＝2⇒a＝4.当a＝2时，lg2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－3x))＝x⇒5x－3x＝2x⇒x＝1.
15．已知lg2[lg3(lg4x)]＝0，且lg4(lg2y)＝1.求 eq \r(x) ·yeq \f(3,4)的值．
解：因为lg2[lg3(lg4x)]＝0，所以lg3(lg4x)＝1，
所以lg4x＝3，所以x＝43＝64.
因为lg4(lg2y)＝1，所以lg2y＝4，所以y＝24＝16，
所以 eq \r(x) ·yeq \f(3,4)＝ eq \r(64) ×16eq \f(3,4)＝8×8＝64.
16．已知lgab＝lgba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).求证：a＝b或a＝ eq \f(1,b) .
证明：设lgab＝lgba＝k，
则b＝ak，a＝bk，所以b＝(bk)k＝bk2.
因为b>0，且b≠1，所以k2＝1，即k＝±1.
当k＝－1时，a＝ eq \f(1,b) ；当k＝1时，a＝b.
所以a＝b或a＝ eq \f(1,b) .