数学必修 第一册4.3 对数课后作业题

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1．若a＞0，且a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式中正确的有( A )
①(lgax)n＝nlgax；②(lgax)n＝lgaxn；
③lgax＝－lga eq \f(1,x) ；④ eq \r(n,lgax)＝ eq \f(1,n) lgax；
⑤ eq \f(lgax,n)＝lga eq \r(n,x) .
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【解析】 根据对数的运算性质lgaMn＝nlgaM(M＞0，a＞0，且a≠1)知③与⑤正确．
2． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列四个命题中是真命题的有( BD )
A．若lg5x＝3，则x＝15
B．若lg25x＝ eq \f(1,2) ，则x＝5
C．若lgx eq \r(5) ＝ eq \f(1,2) ，则x＝ eq \r(5)
D．若lg5x＝－3，则x＝ eq \f(1,125)
【解析】 由对数的定义可知，BD中的命题是真命题．
3．已知lg32＝a，则lg336等于( A )
A．2＋2a B．4＋a
C．4a D．6a
【解析】 lg336＝lg3(9×4)＝2lg33＋2lg32＝2＋2a.
4．计算lg2 eq \f(8,9) ＋lg218－lg31等于( D )
A．2 B． eq \f(3,2)
C．5 D．4
【解析】 原式＝lg2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)×18)) －0＝lg216＝lg224＝4.
5．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于( B )
A．a2＋b
B．2a＋b
C．a＋2b
D．a＋b2
【解析】 lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.
6．已知lg2a，lg2b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则下列结论正确的是( B )
①ab＝4；②a＋b＝2；③a＝2b；④lg2 eq \f(a,b) ＝± eq \r(2) .
A．①②
B．①④
C．②③
D．①②④
【解析】 由题意得，lg2a＋lg2b＝2，且lg2a·lg2b＝ eq \f(1,2) ，得lg2(ab)＝2，所以ab＝4.又因为(lg2a－lg2b)2＝(lg2a＋lg2b)2－4lg2a·lg2b＝4－4× eq \f(1,2) ＝2，所以lg2 eq \f(a,b) ＝± eq \r(2) ，所以①④正确．
二、填空题
7．计算： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(－2) ＋8eq \f(2,3)＋lg 90－2lg 3＝__21__．
【解析】 原式＝42＋23×eq \f(2,3)＋lg eq \f(90,9) ＝16＋4＋lg 10＝20＋1＝21.
8．方程lg x＋lg(x－1)＝1－lg 5的根是__x＝2__．
【解析】 原方程变形为lg[x(x－1)]＝lg 2，所以x(x－1)＝2.解得x＝2或x＝－1.经检验x＝－1不合题意，舍去，所以原方程的根为x＝2.
9．已知m>0，且10x＝lg(10m)＋lg eq \f(1,m) ，则x＝__0__．
【解析】 因为lg(10m)＋lg eq \f(1,m) ＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10m·\f(1,m))) ＝lg 10＝1，所以10x＝1，解得x＝0.
10．若lg x＝m，lg y＝n，则lg eq \r(x) －lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,10))) eq \s\up12(2) ＝__eq \f(1,2)m－2n＋2__；若m＋n＝2，则4lg eq \r(x) ＋lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,10))) eq \s\up12(2) ＝__2__．
【解析】 因为lg x＝m，lg y＝n，所以lg eq \r(x) －lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,10))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(1,2) m－2lg eq \f(y,10) ＝ eq \f(1,2) m－2lg y＋2lg 10＝ eq \f(1,2) m－2n＋2.因为m＋n＝2，所以lg x＋lg y＝2，
所以4lg eq \r(x) ＋lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,10))) eq \s\up12(2) ＝2lg x＋2lg y－2＝2×2－2＝2.
11．化简：lg3 eq \f(1,2) ＋lg3 eq \f(2,3) ＋lg3 eq \f(3,4) ＋…＋lg3 eq \f(80,81) ＝__－4__．
【解析】 原式＝lg3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(80,81))) ＝lg3 eq \f(1,81) ＝－4.
三、解答题
12．计算：
(1)[(1－lg63)2＋lg62·lg618]÷lg64；
(2) eq \f(\r(（lg 3）2－lg 9＋1)（lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1 000)）,lg 0.3×lg 1.2).
解：(1)原式＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg6\f(6,3)))\s\up12(2)＋lg62·lg6\f(36,2))) ÷lg64
＝[(lg62)2＋lg62(lg636－lg62)]÷lg64
＝[(lg62)2＋2lg62－(lg62)2]÷lg64
＝2lg62÷lg64＝lg64÷lg64＝1.
(2)原式＝ eq \f(\r(（lg 3）2－2lg 3＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2))),（lg 3－1）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg 3＋2lg 2－1)))
＝ eq \f(（1－lg 3）×\f(3,2)（lg 3＋2lg 2－1）,（lg 3－1）×（lg 3＋2lg 2－1）) ＝－ eq \f(3,2) .
[B级 素养养成与评价]
13．方程(lg x)2＋lg x5－6＝0的解集是( D )
A．{10} B．{10－6}
C．{10－5，10} D．{10－6，10}
【解析】 原方程可化为(lg x)2＋5lg x－6＝0，
即(lg x＋6)(lg x－1)＝0，
所以lg x＝－6或lg x＝1，
解得x＝10－6或x＝10.
经检验，x＝10－6或x＝10都是原方程的解．
所以原方程的解集为{10－6，10}．
14．已知A＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3)－\r(2)))) eq \s\up12(0) ＋810.25－ eq \r(（－3）2)×8eq \f(2,3)＋lg53×lg325，B＝lg2(4B＋2A)，求A，B的值．
解：A＝1＋(34)eq \f(1,4)－3×23×eq \f(2,3)＋ eq \f(lg 3,lg 5)× eq \f(2lg 5,lg 3)＝1＋3－12＋2＝－6；B＝lg2[4B＋2×(－6)]＝lg2(4B－12)，
所以2B＝4B－12，即(2B)2－2B－12＝0，
解得2B＝－3(舍去)或2B＝4，
所以2B＝4，解得B＝2.
15．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py成立的p的值；
(2)求证： eq \f(1,2y) ＝ eq \f(1,z) － eq \f(1,x) .
解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0，且k≠1)，则x＝lg3k，
y＝lg4k，z＝lg6k.
由2x＝py得2lg3k＝plg4k＝p· eq \f(lg3k,lg34).
因为lg3k≠0，所以p＝4lg32.
(2)证明： eq \f(1,z) － eq \f(1,x) ＝ eq \f(1,lg6k)－ eq \f(1,lg3k)＝lgk6－lgk3＝lgk2＝ eq \f(1,2) lgk4＝ eq \f(1,2lg4k)＝ eq \f(1,2y) .
16．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(lgab＋lgba)的值．
解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0.
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝ eq \f(1,2) .
又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
不妨令t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝ eq \f(1,2) .
∴lg (ab)·(lgab＋lgba)
＝(lg a＋lg b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg b,lg a)＋\f(lg a,lg b)))
＝(lg a＋lg b)· eq \f(（lg b）2＋（lg a）2,lg a·lg b)
＝(lg a＋lg b)· eq \f(（lg a＋lg b）2－2lg a·lg b,lg a·lg b)
＝2× eq \f(22－2×\f(1,2),\f(1,2)) ＝12，
即lg(ab)·(lgab＋lgba)＝12.