数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数习题

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1．函数y＝lga(2x＋3)的图象恒过定点P, 则点P的坐标是( B )
A．(2，1) B．(－1，0)
C．(－1，－1) D．(1，1)
【解析】 当2x＋3＝1，即x＝－1时，y＝0，故点P的坐标是(－1，0).
2．设a＝lg54，b＝(lg53)2，c＝lg45，则( D )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【解析】 ∵1＝lg55＞lg54＞lg53＞lg51＝0，
∴1＞a＝lg54＞lg53＞b＝(lg53)2.
又∵c＝lg45＞lg44＝1，∴c＞a＞b.
3．将函数f(x)＝lg3x的图象上每一点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到y＝h(x)的图象，则h(x)的解析式是( D )
A．h(x)＝－1＋lg3x B．h(x)＝1＋lg3x
C．h(x)＝lg33x－3 D．h(x)＝lg3(3x－3)
【解析】 y＝lg3x eq \(――→,\s\up7(向右平移1个),\s\d5(单位)) y＝lg3(x－1) eq \(――→,\s\up7(向上平移1个),\s\d5(单位)) y＝lg3(x－1)＋1＝lg3(3x－3).
4．已知a>0，且a≠1，若函数y＝lga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围是( D )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
C．(1，＋∞) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)
【解析】 当a∈(0，1)时，由y＝lga(3a－1)恒为正值可得0＜3a－1＜1，解得 eq \f(1,3) ＜a＜ eq \f(2,3) ；
当a＞1时，由y＝lga(3a－1)为正值可得3a－1＞1，解得a＞ eq \f(2,3) .
又因为a＞1，所以a＞1.
综上，a的取值范围是 eq \f(1,3) ＜a＜ eq \f(2,3) 或a＞1.故选D.
5．函数f(x)＝lg2(1－x)的图象为( A )
A. B. C. D.
【解析】 因为f(x)＝lg2(1－x)，所以定义域为{x|x<1}，排除选项B，D，又因为f(x)＝lg2(1－x)是定义域上的减函数，所以选项A正确．
6． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列四个结论，其中正确的是( AD )
A．函数y＝ln(x2－x＋1)的定义域为R
B．已知函数y＝lga(2－ax)(a＞0，且a≠1)在(0，1)上是减函数，则a的取值范围是(1，2)
C．在同一直角坐标系中，函数y＝lg2x与y＝lgeq \f(1,2)x的图象关于y轴对称
D．在同一直角坐标系中，函数y＝2x与y＝lg2x的图象关于直线y＝x对称
【解析】 A项正确，∵x2－x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,4) ＞0恒成立，∴函数y＝ln(x2－x＋1)的定义域为R；
B项错误，∵函数y＝lga(2－ax)在(0，1)上是减函数，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞1，,2－a≥0，))解得1＜a≤2；
C项错误，在同一直角坐标系中，函数y＝lg2x与y＝lgeq \f(1,2)x的图象关于x轴对称；
D项正确，在同一直角坐标系中，函数y＝2x与y＝lg2x的图象关于直线y＝x对称．
二、填空题
7．已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32))) ＝__－5__．
【解析】 设对数函数f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，将点P(8，3)代入得，3＝lga8，所以a3＝8，所以a＝2，所以f(x)＝lg2x，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32))) ＝lg2 eq \f(1,32) ＝lg22－5＝－5.
8．若函数y＝lgeq \f(1,2)(3x－a)的定义域是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) ，则a＝__2__．
【解析】 根据题意，得3x－a>0，所以x> eq \f(a,3) .又因为函数的定义域是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) ，所以 eq \f(a,3) ＝ eq \f(2,3) ，解得a＝2.
9．已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x，x≤2，,lgax，x＞2)) 的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围是__(1，2]__．
【解析】 因为函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x，x≤2，,lgax，x＞2)) 的值域为[1，＋∞)，且当x≤2时，y＝3－x≥1，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞2，,lgax>lga2≥1，))解得1＜a≤2.
10．如图是对数函数y＝lgax的图象，已知a的取值为 eq \r(3) ， eq \f(4,3) ， eq \f(3,5) ， eq \f(1,10) ，则对应于函数图象①，②，③，④的a值依次是__eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)__．
【解析】 令y＝1，则真数等于底数，由函数图象得，直线y＝1与四条曲线的交点(略)，则四个函数图象所对应的底数从小到大依次为④③②①，而 eq \r(3) ＞ eq \f(4,3) ＞ eq \f(3,5) ＞ eq \f(1,10) ，故对应于函数图象①，②，③，④的a值依次是 eq \r(3) ， eq \f(4,3) ， eq \f(3,5) ， eq \f(1,10) .
三、解答题
11．已知函数f(x)＝|lg x|，且 eq \f(1,c) ＞a＞b＞1，借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小．
解：先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|的图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
由 eq \f(1,c) ＞a＞b＞1得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c))) ＞f(a)＞f(b)，
而f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,c)))＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c).
∴f(c)＞f(a)＞f(b).
12．已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg2x.
(1)当x∈(－∞，0)时，求函数f(x)的解析式；
(2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间，并指出单调性．
解：(1)设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝lg2(－x).
又因为f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝lg2(－x)(x∈(－∞，0)).
(2)由(1)可得函数的图象如图所示．
f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0).
[B级 素养养成与评价]
13．已知0A．1C．n【解析】 因为lgamn>1.
14．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x－1），x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)－1，x<2，))若f(x0)>1，则x0的取值范围是__(－∞，－1)∪(3，＋∞)__．
【解析】 当x0≥2时，因为f(x0)>1，所以lg2(x0－1)>1，得lg2(x0－1)>1＝lg22，所以x0－1>2，解得x0>3；
当x0<2时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x0)－1>1，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x0)>2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1) ，所以x0<－1.
综上，x0的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
15．已知实数x满足－3≤lgeq \f(1,2)x≤－ eq \f(1,2) .求函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(x,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(x,4))) 的值域．
解：y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(x,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(x,4))) ＝(lg2x－1)(lg2x－2)
＝(lg2x)2－3lg2x＋2.
因为－3≤lg eq \s\d9(\f(1,2)) x≤－ eq \f(1,2) ，所以 eq \f(1,2) ≤lg2x≤3.
令t＝lg2x，则t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，
即y＝t2－3t＋2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2))) eq \s\up12(2) － eq \f(1,4) ，
所以当t＝ eq \f(3,2) 时，ymin＝－ eq \f(1,4) ；当t＝3时，ymax＝2，
故该函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).