数学必修 第一册5.7 三角函数的应用练习

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1．若一台发电机的输出电流与时间的关系是f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100x＋\f(1,2))) (x∈(0，＋∞))，则该函数的周期、振幅、初相分别是( B )
A． eq \f(π,50) ，2， eq \f(π,2) B． eq \f(π,50) ，2， eq \f(1,2)
C． eq \f(π,100) ，2，－ eq \f(π,2) D． eq \f(π,100) ，2，－ eq \f(1,2)
【解析】 周期T＝ eq \f(2π,100) ＝ eq \f(π,50) ，振幅A＝2，初相φ＝ eq \f(1,2) .
2．若商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin eq \f(t,2) (t≥0)，则人流量增加的时间段是( C )
A．[0，5] B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
【解析】 由2kπ－ eq \f(π,2) ≤ eq \f(t,2) ≤2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z．当k＝1时，t∈[3π，5π].因为[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6))) ，s2＝5cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(π,3))) .则在时间t＝ eq \f(2π,3) 时，s1与s2的大小关系是( C )
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
【解析】 当t＝ eq \f(2π,3) 时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.
4．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)(在水面下则y为负数)与时间x(s)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有( B )
A．ω＝ eq \f(5π,12) ，A＝5 B．ω＝ eq \f(2π,15) ，A＝3
C．ω＝ eq \f(5π,12) ，A＝3 D．ω＝ eq \f(15,2π) ，A＝5
【解析】 ∵水轮的半径为3 m，水轮圆心O距离水面2 m，∴A＝3.又水轮每分钟旋转4圈，故转1圈需要15 s，∴T＝15＝ eq \f(2π,ω) ，∴ω＝ eq \f(2π,15) ，故选B.
5．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝ eq \f(1,2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2))) ，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( B )
A．2， eq \f(1,π) B． eq \f(1,2) ， eq \f(1,π)
C． eq \f(1,2) ，π D．2，π
【解析】 当t＝0时，θ＝ eq \f(1,2) sin eq \f(π,2) ＝ eq \f(1,2) ，由函数解析式易知单摆周期为 eq \f(2π,2) ＝π，故单摆频率为 eq \f(1,π) .
6． eq \a\vs4\al(【多选题】) 一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( BC )
A．点P第一次到达最高点需要10秒
B．在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米
C．点P距离水面的高度h(米)(在水面下则h为负数)与t(秒)的函数解析式为h＝4.8sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6))) ＋2.4
D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面1.2米
【解析】 由题意可得，点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4.8sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6))) ＋2.4，即选项C正确；令 eq \f(π,30) t－ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ，解得t＝20，即点P第一次到达最高点需要20秒，即选项A错误；令4.8sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6))) ＋2.4≥4.8(0≤t≤60)，解得10≤t≤30，即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间点P距离水面的高度不低于4.8米，即选项B正确；因为h＝4.8sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)×50－\f(π,6))) ＋2.4＝－2.4，即点P在水面下方，距离水面2.4米，所以D选项错误，综上可得选项BC正确，故选BC.
二、填空题
7．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以用函数I＝5 eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2))) ，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行__25__次．
【解析】 ∵周期T＝ eq \f(2π,100π) ＝ eq \f(1,50) (s)，∴频率为每秒50次．
∴0.5 s往复运行25次．
8．若函数y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,3)x＋\f(π,3))) 的周期在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,4))) 内，则正整数m的值是__26，27，28__．
【解析】 因为T＝ eq \f(6π,m) ，又因为 eq \f(2,3) < eq \f(6π,m) < eq \f(3,4) ，所以8π