精品解析：河南省郑州市2022届高三第三次质量预测文科数学试题（解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由交集的概念计算即可.
【详解】由题意得：.
故选：D.
2. 已知复数满足，则等于
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题知,z=,故选A.
考点:复数运算
3. 已知数列的前n项和为，则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合递增数列的意义判断作答.
【详解】令数列通项，显然为递增数列，而，是递减数列，
令，显然为递增数列，而时，，满足上式，即，为常数数列，
所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件.
故选：D
4. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中错误的是（ ）
A. 2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B. 2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比高于医疗保健占比
C. 2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
D. 2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%
【答案】C
【解析】
【分析】观察图1可确定A、C正误，观察图2可确定B、D正误.
【详解】观察图1可知2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，故A正确，
2020年全国居民人均可支配收入的增速下降，而不是收入下降，故C错误，
观察图2可知2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比10.8%高于医疗保健占比8.8%，故B正确，
食品烟酒和居住占比和为29.8%+23.4%=53.2%，超过50%，故D正确.
故选：C.
5. 已知实数x，y满足则的最小值是（ ）
A. B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】先画出可行域，当目标函数经过点时，取得最小值.
【详解】
由题意知：可行区域如图所示，当经过点时取得最小值，最小值为.
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由同角三角函数关系齐次式得，再根据正切的二倍角公式求解即可.
【详解】解：因为，
所以，分子分母同除得，解得，
所以
故选：C
7. 在区间上的最小值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，
故选：B．
8. 关于函数，有下述四个结论：
①一个周期为； ②的图象关于直线对称；
③的一个零点为； ④在上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦函数的周期性、对称性、零点及单调性依次判断即可.
【详解】，①正确；，则图象关于对称，②错误；，，③正确；由可得，单调递减，④错误.
故选：A.
9. 鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图．已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1，则该鲁班锁玩具的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出正八边形的面积，再由该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8个边长为1的正三角形的面积和计算表面积即可.
【详解】
由图可知：该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8个边长为1的正三角形的面积和，如图为正八边形的平面图，易得，作，垂足为，则，则八边形的面积为，则该鲁班锁玩具的表面积为.
故选：A.
10. 已知是定义在R上的偶函数，且．若，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先由是偶函数及求得的周期，令解得，由即可求解.
【详解】由是偶函数可得，则，可得，
则，即的周期，又，令可得，，
解得，则.
故选：C.
11. 斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值.
【详解】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:D.
12. 已知，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数可证，又，可得，即可证．
【详解】解：由
令，则，
当，；当，；
所以在上单调递增，在上单调递减，且
则，因此，所以
又因为，所以，得
故，有.
综上，.
故选：B
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，且，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】解：因为向量，且，
所以，解得
故答案为：
14. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率__.
【答案】.
【解析】
【分析】由题意确定a,b,c的关系，然后确定其离心率即可.
【详解】由题意可知，双曲线的一个焦点坐标为，
双曲线的一条渐近线方程为：，即，
据此可得：，则，
椭圆的离心率.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
15. 设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】先由正弦定理及，得，再由余弦定理求出，即可求解.
【详解】由正弦定理得，又，则，由余弦定理得
，又，则.
故答案为：.
16. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为，则球心O到平面的距离为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先由三角形面积公式及正弦定理求得外接圆半径，再由球的表面积求出球的半径，由勾股定理计算距离即可.
【详解】
设的边长为，外接圆半径为，则，解得，由正弦定理可得，解得.
设球O的半径为，则，解得，则球心O到平面的距离为.
故答案为：.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分
17. 已知数列满足，其中为的前n项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件写出等式，与已知式子相减，利用等比数列通项公式即可得到答案.（2）利用分组求和法可得答案.
【小问1详解】
，，
当时，可得．
当时，，则，即，且．
故是以1为首项，2为公比的等比数列
所以
【小问2详解】
由题意，所以，
设的前n项和为
18. 新郑大枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑的特产，其以皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐，素有“新郑大枣甜似蜜”的盛赞，大枣根据颗粒、质地、色泽、甜度等评分指标打分，得分在区间内分别被评定为四级大枣、三级大枣、二级大枣、一级大枣．某经销商从新郑市大枣种植户中收购一批大枣，共400袋（每袋），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：
（1）求a的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能否达到采购总量一半以上；
（2）该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：
方案1：将采购的400袋大枣不经检测，统一按每袋60元直接售出；
方案2：将采购的400袋大枣逐袋检测分级，并将每袋大枣重新包装成5包（每包），检测分级所需费用和人工费共1600元，各等级大枣每包的售价和包装材料成本如下表所示：
该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．
【答案】（1）；能
（2）该经销商采用方案2所得利润更大；理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用频率和为1可得a的值，计算一级大枣和二级大枣的频率即可得到答案；
（2）分别计算采用方案1和方案2所得到利润，进行比较即可.
【小问1详解】
∵，∴．
∵，
∴估计经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能够达到采购总量的一半以上．
【小问2详解】
若经销商采用方案1，则收入为元．
若经销商采用方案2，
400袋大枣中四级大枣约袋，包，
三级大枣约袋，包，
二级大枣约袋，包，
一级大枣约袋，包，
400袋大枣共卖元，
400袋大枣的包装袋成本为元，
∴收入为元．
∵，且400袋大枣成本相同，
∴该经销商采用方案2所得利润更大
19. 如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离，
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理计算出，利用勾股定理可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）分析可知点到平面的距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法可计算得出点到平面的距离，即为所求.
【小问1详解】
证明：在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，则，所以，，
又，，，所以，则，
又因为，因此，平面.
【小问2详解】
解：因为四边形为平行四边形，则，
所以，，即，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
由（1）知平面，
，
，，解得.
因此，点到平面的距离为.
20. 已知点M为直线上的动点，，过M作直线的垂线，交的中垂线于点P，记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点的直线与曲线C交于A，B两点，在x轴上求一定点Q（Q异于点N且异于点，使N到直线和的距离相等．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由垂直平分线性质得|PN|＝|PM|，再结合抛物线的定义求出曲线C的方程即可；
（2）设出直线方程及点坐标，联立抛物线求得，由到直线和的距离相等得，表示出，当时，解出点坐标，当时，检验也满足要求即可.
【小问1详解】
由已知可得，|PN|＝|PM|，即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，
l1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为；
【小问2详解】
易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立方程得，
设，所以，，设，因为到直线和的距离相等，
所以直线和的斜率满足，易得，
所以，
所以，因为，
所以，当时，，即存在使得到直线和的距离相等．
当时，满足到直线和的距离相等．故存在使得到直线和的距离相等.
21. 已知函数．
（1）当时，若曲线的一条切线斜率为4，求该切线方程；
（2）试讨论的零点个数．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，设出切点，由解出，求出切点坐标，写出切线方程即可；
（2）求导讨论当时，单增，又，即可确定零点个数；当时，求出最小值，讨论确定最小值和0的大小关系，结合零点存在定理确定零点个数即可.
【小问1详解】
当时，，求导设切点为，由解得 ，
又，则切点为．所求切线方程为；
【小问2详解】
的定义域为，
①当时，即时，，单增，至多有一个零点，又，故有1个零点；
②当时，即时，时，，单减；时，，单增．
有极小值也是最小值，令
，令，
则在上单增，在上单减，又，或时，
（ⅰ）时，，有1个零点；
（ⅱ）时，，，，
令，则，当时，单增，当时，单减，
则，故，，则在有1个零点，又，则有2个零点；
（ⅲ）时，，，则在有1个零点，
又，有2个零点．
【点睛】本题关键点在于求导讨论当时，求出最小值，换元构造函数确定单调性，进而讨论确定最小值和0的大小关系，再结合零点存在定理确定零点个数即可.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修：坐标系与参数方程】
22. 在直角坐标系中，曲线的方程为．为曲线上一动点，且，点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）曲线的极坐标方程为，点为曲线上一动点，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的互化关系求的极坐标方程，利用代入法求的极坐标方程；
（2）为上一点，为上一点，可知，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，将代入得，
则曲线的极坐标方程为，
设点的极坐标为，则，
点的极坐标为，由得，即，
将代入得，
所以点轨迹曲线的极坐标方程为；
【小问2详解】
曲线直角坐标方程为，设点，
曲线的直角坐标方程为，则圆心为，
，
即
当时， ，所以.
【选修：不等式选讲】
23. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若时，函数的图像与直线所围成图形的面积为，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；
（2）分别计算围成的三角形的顶点坐标，，，进而列式计算即可.
【小问1详解】
解：当时，
或或
即或或，
所以原不等式解集为-
【小问2详解】
解：
所以，的图像如图所示，
故令得，即，令得，即，
因为，
所以△的面积为．
解得：-大枣等级
四级
三级
二组
一级
售价（元/包）
11
13.6
17
21.6
包装材料成本（元/包）
2
2
3
4