【解析版】河北省唐山市2022学年九年级上期中数学试卷

2022学年河北省唐山市九年级（上）期中数学试卷

一、精心选一选（每小题2分，共20分）

1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

　 A． B． C． D．

2．下列各式与﹣相加的结果可以用一个二次根式表示的是（　　）

　 A． B． C． D．

3．方程x2+x=0的根为（　　）

　 A． ﹣1，0 B． ﹣1 C． 1，0 D． ﹣2

4．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）

　 A． （3，4） B． （﹣3，﹣4） C． （﹣4，3） D． （3，﹣4）

5．下列一元二次方程中，无实数根的是（　　）

　 A． x2﹣2x+1=0 B． 2x2+3x+1=0 C． x2+x﹣1=0 D． x2﹣x+1=0

6．在平面直角坐标系中，点（，1）绕原点顺时针旋转60°后得到点（　　）

　 A． （，﹣1） B． （﹣1，） C． （﹣，1） D． （1，﹣）

7．一菱形的两条对角线的和为14，面积为24，则此菱形的周长为（　　）

　 A． 12 B． 16 C． 20 D． 28

8．下列图形中，不是中心对称图形的为（　　）

　 A． 平行四边形 B． 线段 C． 等边三角形 D． 菱形

9．一元二次方程x2+2x﹣1=0的两根和为（　　）

　 A． 2 B．﹣2 C． 1 D． ﹣1

10．若m是方程x2+x﹣1=0的根，则2m2+2m+2011的值为（　　）

　 A． 2010 B． 2011 C． 2012 D． 2013

二、细心填一填（本大题共10小题，每小题3分，共30分）把答案直接写在题中的横线上．

11．方程（x﹣1）2﹣2=0的根为　　　　　　．

12．计算：=　　　　　　．

13．矩形的一组邻边长分别为和，则此矩形的面积为　　　　　　．

14．C是长为10cm的线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC=　　　　　　．

15．根式有意义的条件是　　　　　　．

16．若实数x、y满足+=0，则yx=　　　　　　．

17．若点P（2m﹣3n，2）、Q（﹣3，n﹣m）关于原点对称，则m+n=　　　　　　．

18．将点M（，）绕原点旋转180°，则点M经过的路线的长为　　　　　　．

19．若x2﹣x+m=（x﹣）2，则m=　　　　　　．

20．如图，E为正方形ABCD的边CD上一点，将△BCE绕C点顺时针旋转90°后得到△DCF，则此时BE与DF的关系为　　　　　　．

三、专心解一解（本题满分70分）请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、解答过程．）

21．计算：

（1）（﹣）﹣（+）

（2）如果直角三角形的两直角边的长分别为+和﹣，求斜边c的长．

22．选择适当方法解一元二次方程：

（1）x2+2x﹣15=0                   

（2）4（x﹣3）2﹣7=0．

23．为使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房10万平方米，预计到2013年共累计投资19亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求每年市政府投资的增长率．

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2013年底共建设了多少万平方米廉租房．

24．如图：F是矩形ABCD下方一点，将△FCD绕F点顺时针旋转60°后，恰好D点与A点重合，得到△FEA，连结EB得到△ABE，猜想并证明△ABE的形状．

25．如图：在△ABC和△CDE中，AB=AC=CE，BC=DC=DE，AB＞BC，∠BAC=∠DCE，点B，C，D在直线m上．以点C为旋转中心，将△CDE按逆时针方向旋转，使得CE与CA重合，得到△CD1E1（A）．

（1）画出△CD1E1（A）（不写作法，只保留作图痕迹）．

（2）判断并证明AB与CD1的关系．

（3）求∠BAC的度数．

26．学校有100米长的建筑材料用来围成一矩形的露天存车场，要求面积为600平方米，场地的北面是学校的围墙，长为50米（也可用来围存车场）．请你设计矩形场地的长和宽，使它符合要求．（=3.6）

2022学年河北省唐山市九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、精心选一选（每小题2分，共20分）

1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 最简二次根式．

分析： 根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），判断即可．

解答： 解：A、，不是最简二次根式，错误；

B、，不是最简二次根式，错误；

C、，不能再化简，是最简二次根式，正确；

D、，不是最简二次根式，错误；

故选C．

点评： 本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．

2．下列各式与﹣相加的结果可以用一个二次根式表示的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 同类二次根式．

分析： 先将选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同判断即可得出答案．

解答： 解：A、不是同类二次根式，错误；

B、不是同类二次根式，错误；

C、是同类二次根式，正确；

D、不是同类二次根式，错误；

故选C．

点评： 此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式，难度一般．

3．方程x2+x=0的根为（　　）

　 A． ﹣1，0 B． ﹣1 C． 1，0 D． ﹣2

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

分析： 方程左边分解得到x（x+1）=0，原方程转化为x=0或x+1=0，然后解一次方程即可．

解答： 解：∵x（x+1）=0，

∴x=0或x+1=0，

∴x1=0，x2=﹣1．

故选A．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

4．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）

　 A． （3，4） B． （﹣3，﹣4） C． （﹣4，3） D． （3，﹣4）

考点： 关于原点对称的点的坐标．

分析： 根据关于原点的对称点，横坐标与纵坐标都变为相反数解答．

解答： 解：点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．

故选D．

点评： 本题考查了关于原点对称的点的坐标，规律：关于原点对称的点的坐标的横坐标与纵坐标都变为相反数．

5．下列一元二次方程中，无实数根的是（　　）

　 A． x2﹣2x+1=0 B． 2x2+3x+1=0 C． x2+x﹣1=0 D． x2﹣x+1=0

考点： 根的判别式．

分析： 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

解答： 解：A、∵a=1，b=﹣2，c=1，

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×1=0，

∴方程有实数根；

B、∵a=2，b=3，c=1，

∴△=b2﹣4ac=32+4×1×2=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

C、∵a=1，b=1，c=﹣1，

∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

D、∵a=1，b=﹣1，c=1，

∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，

∴方程无实数根；

故选D．

点评： 本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．在平面直角坐标系中，点（，1）绕原点顺时针旋转60°后得到点（　　）

　 A． （，﹣1） B． （﹣1，） C． （﹣，1） D． （1，﹣）

考点：坐标与图形变化-旋转．

分析： 设A（，1），过A作AB⊥x轴于B，于是得到AB=1，OB=，根据边角关系得到∠AOB=30°，由于点（，1）绕原点顺时针旋转60°，于是得到∠AOA′=60°，得到∠A′OB=30°，于是结论即可求出．

解答： 解：设A（，1），

过A作AB⊥x轴于B，

则AB=1，OB=，

∴tan∠AOB==，

∴∠AOB=30°，

∵点（，1）绕原点顺时针旋转60°，

∴∠AOA′=60°，

∴∠A′OB=30°，

∴点（，1）绕原点顺时针旋转60°后得到点是（，﹣1），

故选A．

点评： 本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，特殊角的三角函数，正确的画出图形是解题的关键．

7．一菱形的两条对角线的和为14，面积为24，则此菱形的周长为（　　）

　 A． 12 B． 16 C． 20 D． 28

考点： 菱形的性质．

分析： 先由已知条件求出2OA•OB=24，OA+OB=7，再根据勾股定理求出AB2=OA2+OB2=（OA+OB）2﹣2OA•OB，得出AB，即可求出周长．

解答： 解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC⊥BD，

∴AC+BD=14，S菱形ABCD=AC•BD=2OA•OB=24，

∴OA+OB=7，

∴AB2=OA2+OB2=（OA+OB）2﹣2OA•OB=72﹣24=25，

∴AB=5，

∴菱形的周长=5×4=20；

故选：C．

点评： 本题考查了菱形的性质、面积的计算方法；由已知条件得出OA、OB的和与积的关系求出边长是解决问题的关键．

8．下列图形中，不是中心对称图形的为（　　）

　 A． 平行四边形 B． 线段 C． 等边三角形 D． 菱形

考点： 中心对称图形．

分析： 根据中心对称图形的概念求解．

解答：解：A、是中心对称图形．故错误；

B、是中心对称图形．故错误；

C、不是中心对称图形．故正确；

D、是中心对称图形．故错误．

故选C．

点评： 本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9．一元二次方程x2+2x﹣1=0的两根和为（　　）

　 A． 2 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣1

考点： 根与系数的关系．

分析： 直接根据根与系数的关系求解．

解答： 解：设方程x2+2x﹣1=0的两根为x1，x2，

根据题意得x1+x2=﹣2．

故选：B．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

10．若m是方程x2+x﹣1=0的根，则2m2+2m+2011的值为（　　）

　 A． 2010 B． 2011 C． 2012 D． 2013

考点： 一元二次方程的解．

分析： 把x=m代入方程求出m2+m=1，代入求出即可．

解答： 解：∵m为一元一次方程x2﹣x﹣1=0的一个根，

∴m2+m﹣1=0，

m2+m=1，

∴2m2+2m+2011=2+2011=2013，

故选D．

点评： 本题考查了一元二次方程的解的应用，关键是求出m2+m=1，用了整体代入思想，即把m2+m当作一个整体来代入．

二、细心填一填（本大题共10小题，每小题3分，共30分）把答案直接写在题中的横线上．

11．方程（x﹣1）2﹣2=0的根为　x1=1+，x2=1﹣　．

考点： 解一元二次方程-直接开平方法．

分析： 先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．

解答： 解：移项得，（x﹣1）2=2，

开方得，x﹣1=±，

解得x1=1+，x2=1﹣．

故答案为x1=1+，x2=1﹣．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．

法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

12．计算：=　　．

考点： 二次根式的乘除法．

分析： 直接利用二次根式的性质化简求出即可．

解答： 解：=．

故答案为：．

点评： 此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键．

13．矩形的一组邻边长分别为和，则此矩形的面积为　4　．

考点： 二次根式的乘除法．

分析： 直接利用二次根式乘法运算法则化简求出即可．

解答： 解：∵矩形的一组邻边长分别为和，

∴此矩形的面积为：×=4．

故答案为：4．

点评： 此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．

14．C是长为10cm的线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC=　（5﹣5）cm　．

考点： 黄金分割．

分析： 由于点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），根据黄金分割的定义得到AC=AB，然后把AB=10cm代入计算即可．

解答： 解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），

∴AC=AB，

∵AB=10cm，

∴AC=（5﹣5）cm．

故答案为：（5﹣5）cm．

点评： 本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的 倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点，难度适中．

15．根式有意义的条件是　a≤3　．

考点： 二次根式有意义的条件．

专题： 计算题．

分析： 二次根式有意义：被开方数大于等于0．

解答： 解：根据题意，得

3﹣a≥0，

解得a≤3；

故答案是：a≤3．

点评： 本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．

16．若实数x、y满足+=0，则yx=　3　．

考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．

分析： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

解答： 解：由题意得，x2﹣4x+4=0，y﹣=0，

解得x=2，y=，

所以，yx=（）2=3．

故答案为：3．

点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

17．若点P（2m﹣3n，2）、Q（﹣3，n﹣m）关于原点对称，则m+n=　﹣2　．

考点： 关于原点对称的点的坐标．

分析： 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列出方程组，然后求出m、n的值，再相加计算即可得解．

解答： 解：∵点P（2m﹣3n，2）、Q（﹣3，n﹣m）关于原点对称，

∴，

解得，

所以，m+n=﹣3+1=﹣2．

故答案为：﹣2．

点评： 本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．

18．将点M（，）绕原点旋转180°，则点M经过的路线的长为　3π　．

考点： 弧长的计算；坐标与图形变化-旋转．

分析： 求出半径OM，然后利用弧长的计算公式即可求解．

解答： 解：OM==3．

则点M经过的路线的长为=3π，

故答案为3π．

点评： 本题考查了弧长公式，以及坐标与图形的变化﹣旋转，熟记弧长公式l=是解题的关键．

19．若x2﹣x+m=（x﹣）2，则m=　　．

考点： 配方法的应用．

分析： 将等式右边利用完全平方公式展开，再根据两个多项式相等的条件，即可求出m的值．

解答： 解：∵x2﹣x+m=（x﹣）2，

而（x﹣）2=x2﹣x+，

∴x2﹣x+m=x2﹣x+，

∴m=．

故答案为．

点评： 本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2是解题的关键．

20．如图，E为正方形ABCD的边CD上一点，将△BCE绕C点顺时针旋转90°后得到△DCF，则此时BE与DF的关系为　相等、垂直　．

考点： 旋转的性质．

分析： 如图，首先证明△BCE≌△DCF，得到BE=DF；其次证明BG⊥DF，即可解决问题．

解答： 解：如图，延长BE，交DF于点G；

由旋转变换的性质知：△BCE≌△DCF，

∴BE=DF，∠CDF=∠GBF；

∵∠CDF+∠F=90°，

∴∠GBF+∠F=90°，

∴BG⊥DF，综上所述，

BE与DF的关系为：相等、垂直．

故答案为：相等、垂直．

点评： 该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、全等三角形的性质等知识点的应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等知识点．

三、专心解一解（本题满分70分）请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、解答过程．）

21．计算：

（1）（﹣）﹣（+）

（2）如果直角三角形的两直角边的长分别为+和﹣，求斜边c的长．

考点： 二次根式的应用．

分析： （1）先化简，再进一步合并即可；

（2）首先利用勾股定理求得斜边c的平方，进一步开方求得斜边c即可．

解答： 解：（1）原式=2﹣﹣﹣

=﹣；

（2）因为c2=（+）2+（﹣）2

=8+2+8﹣2

=16

所以c==4．

点评： 此题考查二次根式的实际运用，注意先化简，再进一步合并求得答案即可．

22．选择适当方法解一元二次方程：

（1）x2+2x﹣15=0                   

（2）4（x﹣3）2﹣7=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．

分析： （1）利用因式分解法解答即可；

（2）利用直接开平方法法解答即可．

解答：解：（1）x2+2x﹣15=0，

（x+5）（x﹣3）=0，

x+5=0或x﹣3=0，

即x1=﹣5，x2=3；

（2）4（x﹣3）2﹣7=0，

（x﹣3）2=，

x﹣3=，

x=+3，

∴x1=+3，x2=﹣+3．

点评： 本题考查了用因式分解法及直接开平方法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．

23．为使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房10万平方米，预计到2013年共累计投资19亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求每年市政府投资的增长率．

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2013年底共建设了多少万平方米廉租房．

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 增长率问题．

分析： （1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2013年底三年共累计投资19亿元人民币建设廉租房，列方程求解；

（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．

解答： 解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，

根据题意，得：4+4（1+x）+4（1+x）2=19，

解得：x=﹣2.5（舍去）或x=0.5=50%．

答：每年市政府投资的增长率为50%；

（2）到2013年底共建廉租房面积=9÷0.25=36（万平方米）．

点评： 主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．

24．如图：F是矩形ABCD下方一点，将△FCD绕F点顺时针旋转60°后，恰好D点与A点重合，得到△FEA，连结EB得到△ABE，猜想并证明△ABE的形状．

考点： 旋转的性质．

分析： 如图，要证明△ABE为等边三角形，只要证明AE=AB，∠EAB=60°即可；为此，首先证明△ADF为等边三角形，求出∠EAF、∠BAF的度数，进而求出∠BAE=60°；由旋转变换的性质、矩形的性质证明AE=AB，即可解决问题．

解答： 解：△ABE为等边三角形；证明如下：如图，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=DC，∠CDA=∠DAB=90°；

由旋转变换的性质知：

DF=AF，∠DFA=60°，AE=CD，∠EAF=∠CDF，

∴△ADF为等边三角形，AE=AB，

∴∠FDA=∠FAD=60°，

∴∠CDF=∠BAF=30°，∠EAF=∠CDF=30°，

∴∠EAB=60°，而EA=EB，

∴△ABE为等边三角形．

点评： 该题以矩形为载体，主要考查了矩形的性质、旋转变换的性质及其应用问题；解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中隐含的相等或全等关系．

25．如图：在△ABC和△CDE中，AB=AC=CE，BC=DC=DE，AB＞BC，∠BAC=∠DCE，点B，C，D在直线m上．以点C为旋转中心，将△CDE按逆时针方向旋转，使得CE与CA重合，得到△CD1E1（A）．

（1）画出△CD1E1（A）（不写作法，只保留作图痕迹）．

（2）判断并证明AB与CD1的关系．

（3）求∠BAC的度数．

考点： 作图-旋转变换．

分析： （1）利用旋转的性质，得出∠DCD1=∠EAE1，进而得出答案；

（2）等量代换利用平行线的判定即可证明是平行；

（3）利用等腰梯形的性质及三角形的内角和是180度来计算．

解答： 解：（1）如图所示：△CD1E1（A）即为所求；

（2）AB∥CD1，

理由：

∵∠DCE=∠BAC，

∠D1CE1=∠DCE，

∴∠BAC=∠D1CA，

∴AB∥CD1；

（3）∵四边形ABCD是等腰梯形，设∠BAC=∠α，

∴∠ABC=∠D1AB=2∠BAC=2∠α

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=2∠α，

在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

解之得：∠α=36°，即∠BAC的度数为36°．

点评： 本题考查了轴对称图形及旋转变换作图及平行线的判定和三角形的内角和等知识，熟练应用等腰梯形的性质与判定是解题关键．

26．学校有100米长的建筑材料用来围成一矩形的露天存车场，要求面积为600平方米，场地的北面是学校的围墙，长为50米（也可用来围存车场）．请你设计矩形场地的长和宽，使它符合要求．（=3.6）

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： 设矩形的宽为x米，则矩形的长为（100﹣2x）m，根据矩形的面积计算方法即可列出方程计算，难度不大．

解答： 解：设矩形的宽为x米，则矩形的长为（100﹣2x）m，

根据题意得：x（100﹣2x）=600，

解得：x=43或x=7，

当x=7时，100﹣2x=100﹣14=86＞50．

答：矩形的长应该为43米，宽应该为14米．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出矩形的一边把另一边表示出来，难度不大．