【解析版】金太阳中学2022年九年级上期末数学试卷(1)

这是一份【解析版】金太阳中学2022年九年级上期末数学试卷(1)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年山东省聊城市冠县金太阳中学九年级（上）期末数学试卷（1）
　
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（　　）

A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
　
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（　　）

A． B． C． D．
　
3．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（　　）

A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
　
4．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
　
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
　
6．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
　
7．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
　
8．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2分别向上、向右平移2个单位，则新抛物线的解析式是（　　）
A．y=2（x﹣2）2+2 B．y=2（x+2）2﹣2 C．y=2（x﹣2）2﹣2 D．y=2（x+2）2+2
　
9．在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
　
10．⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB=3：5，则CD的长为（　　）
A．6cm B．4cm C．8cm D．cm
　
11．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　）
A．100（1+x）2=81 B．100（1﹣x）2=81 C．100（1﹣x%）2=81 D．100x2=81
　
12．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
　
　
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　　．
　
14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　　　　　　．

　
15．如图是反比例函数的图象，O为原点，点A是图象上任意一点，AM⊥x轴，垂足为M，如果△AOM的面积为2，那么反比例函数的解析式是　　　　　　．

　
16．如图抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点（1，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是　　　　　　．

　
17．如图，点O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=　　　　　　°．

　
18．已知扇形的弧长是2π，半径为10cm，则扇形的面积是　　　　　　cm2．
　
19．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=﹣x2+x+12的一部分，该同学的成绩是　　　　　　．
　
20．在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm，则三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为　　　　　　．
　
　
三、解答题（共60分）
21．解方程：
（1）（x+1）（x﹣3）=12
（2）3（x﹣5）2=2（5﹣x）
　
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC的长．

　
23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．

　
24．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）

　
25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
　
26．如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．

　
　
2022学年山东省聊城市冠县金太阳中学九年级（上）期末数学试卷（1）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（　　）

A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 几何图形问题．
分析： 先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．
解答： 解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，
故选：D．

点评： 此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．
　
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（　　）

A． B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义．
分析： tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．
解答： 解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∴
∵AE：EB=4：1，
∴=5，
∴=，
设AB=2x，则BC=x，AC=x．
∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．
则tan∠CFB==．
故选：C．
点评： 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
　
3．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（　　）

A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．
解答： 解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴=，△DOE∽△COB，
∴=（）2=（）2=，
故选：A．
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
　
4．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
考点： 一元二次方程的一般形式．
专题： 计算题．
分析： 根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
解答： 解：根据题意，知，
，
解方程得：m=2．
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
　
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：根据图象可得：a＜0，b＜0，c＞0，
∴＜0，
∴点Q在第三象限．
故选C．
点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，正确根据函数的图象确定a，b，c的符号是关键．
　
6．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 配方法．
分析： 在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
解答： 解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，
配方得（x﹣2）2=2．
故选：A．
点评： 配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
　
7．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
考点： 勾股定理；三角形的面积．
专题： 计算题．
分析： 利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度．
解答： 解：如图，由勾股定理得 AC==．
∵BC×2=AC•BD，即×2×2=×BD
∴BD=．
故选：C．

点评： 本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键．
　
8．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2分别向上、向右平移2个单位，则新抛物线的解析式是（　　）
A．y=2（x﹣2）2+2 B．y=2（x+2）2﹣2 C．y=2（x﹣2）2﹣2 D．y=2（x+2）2+2
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
解答： 解：原抛物线的顶点为（0，0），分别向上、向右平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（2，2）；
可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣2）2+2，
故选A．
点评： 抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
　
9．在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析： 根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
解答： 解：①当k＞0时，
一次函数y=kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y=（k≠0）的图象经过一、三象限，
故B选项的图象符合要求，
②当k＜0时，
一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y=（k≠0）的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：B．
点评： 此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
　
10．⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB=3：5，则CD的长为（　　）
A．6cm B．4cm C．8cm D．cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 连结OC，先计算出OP=3cm，再由CD⊥AB，根据垂径定理得到CP=DP，然后根据勾股定理可计算出PC=4cm，于是得到CD=8cm．
解答： 解：如图1，连结OC，
∵直径AB=10cm，OP：OB=3：5，
∴OP=3cm，
∵CD⊥AB，
∴CP=DP，
在Rt△OPC中，OC=5，OP=3，
∴PC==4，
∴CD=2PC=8（cm）．
如图2，与前面的求法一样可得到CD=8cm．
故选C．

点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
　
11．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（　　）
A．100（1+x）2=81 B．100（1﹣x）2=81 C．100（1﹣x%）2=81 D．100x2=81
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可．
解答： 解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2=81．
故选：B．
点评： 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．
　
12．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
考点： 三角形的内切圆与内心．
专题： 压轴题．
分析： 根据三角形的内角和定理求得∠B=50°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理，得∠DOE=130°，再根据圆周角定理得∠DFE=65°．
解答： 解：∵∠A=100°，∠C=30°，
∴∠B=50°，
∵∠BDO=∠BEO，
∴∠DOE=130°，
∴∠DFE=65°．
故选C．
点评： 熟练运用三角形的内角和定理、四边形的内角和定理以及切线的性质定理、圆周角定理．
　
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
13．函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．

考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
解答： 解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
点评： 本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
　
14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　8　．


考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
专题： 计算题．
分析： 由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
解答： 解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD===8．
故答案是：8．
点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
　
15．如图是反比例函数的图象，O为原点，点A是图象上任意一点，AM⊥x轴，垂足为M，如果△AOM的面积为2，那么反比例函数的解析式是　y=﹣（x＜0）　．


考点： 反比例函数系数k的几何意义．
分析： 根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△AOM=|k|，则|k|=2，解得k=±4，再根据反比例函数的性质得到k＜0，所以k=﹣4，从而求得反比例函数的解析式．
解答： 解：∵S△AOM=|k|，
而S△AOM=2，
∴|k|=2，解得k=±4，
∵反比例函数的图象在第二象限内，
∴k=﹣4，
∴该反比例函数的解析式为y=﹣（x＜0）；
故答案为y=﹣（x＜0）．
点评： 本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．
　
16．如图抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点（1，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是　（﹣3，0）　．


考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： 根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，已知一个交点，即可求得另一个交点的坐标，即可解题．
解答： 解：设另一个交点横坐标为x，
∵y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=﹣1，
∴x+1=﹣1×2，
∴x=﹣3．
故答案为（﹣3，0）．
点评： 本题考查了韦达定理的运用，考查了抛物线与x轴交点关于对称轴对称的性质，本题中运用韦达定理是解题的关键．
　
17．如图，点O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=　115　°．


考点： 三角形的内切圆与内心．
分析： 利用三角形的内心的性质得出∠ABO+∠ACO=∠OBC+∠OCB=65°，进而得出答案．
解答： 解：∵点O是△ABC的内心，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠ABO+∠ACO=∠OBC+∠OCB=65°，
则∠BOC=180°﹣65°=115°．
故答案为：115．
点评： 此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，根据已知得出∠ABO+∠ACO=∠OBC+∠OCB=65°是解题关键．
　
18．已知扇形的弧长是2π，半径为10cm，则扇形的面积是　10π　cm2．

考点： 扇形面积的计算；弧长的计算．
分析： 直接利用扇形面积公式S=lr求出即可．
解答： 解：∵扇形的弧长是2π，半径为10cm，
∴扇形的面积是：S=lr=×2π×10=10π（cm2）．
故答案为：10π．
点评： 此题主要考查了扇形面积公式，正确记忆扇形面积公式是解题关键．
　
19．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=﹣x2+x+12的一部分，该同学的成绩是　6+6　．

考点： 二次函数的应用．
分析： 成绩是当y=0时x的值，据此求解．
解答： 解：在抛物线y=﹣x2+x+12中，
∵当y=0时，x=6±6，
∴该同学的成绩是6+6，
故答案为：6+6．
点评： 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
　
20．在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm，则三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为　2：5　．

考点： 三角形的内切圆与内心．
专题： 计算题．
分析： 首先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再根据其外接圆的半径等于斜边的一半和内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算．
解答： 解：根据勾股定理得，直角三角形的斜边==10cm．
根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，则其外接圆的半径是5cm，
根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是2cm，
∴三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为：2：5，
故答案为：2：5．
点评： 本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，要求熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：外接圆的半径等于斜边的一半；内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．
　
三、解答题（共60分）
21．解方程：
（1）（x+1）（x﹣3）=12
（2）3（x﹣5）2=2（5﹣x）

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
分析： （1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答： 解：（1）整理得：x2﹣2x﹣15=0，
（x﹣5）（x+3）=0，
x﹣5=0，x+3=0，
x1=5，x2=﹣3；

（2）移项得：3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，
（x﹣5）（3x﹣15+2）=0，
x﹣5=0，3x﹣15+2=0，
x1=5，x2=．
点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
　
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC的长．


考点： 切线的判定．
分析： （1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．
解答： （1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB．
∵∠CBF=∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=5×=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=5．

点评： 本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题
　
23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．


考点： 一次函数综合题；反比例函数综合题．菁优网版权所有
专题： 压轴题；待定系数法．
分析： （1）首先把A的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m，再把B（1，n）代入反比例函数关系式中可以求出n的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积不能直接求出，要求出一次函数与x轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S△AOB=S△AOC+S△BOC．
解答： 解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，
∴m=（﹣2）×1=﹣2．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，
∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．
把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，
得解得．
∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．

（2）∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．
∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．

点评： 此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积．
　
24．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）


考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
专题： 几何图形问题．
分析： 首先作CE⊥AB于E，依题意，AB=1464，∠EAC=30°，∠CBE=45°，设CD=x，则BE=x，进而利用正切函数的定义求出x即可．
解答： 解：作CE⊥AB于E，
依题意，AB=1464，∠EAC=30°，∠CBE=45°，
设CE=x，则BE=x，
Rt△ACE中，tan30°===，
整理得出：3x=1464+x，
解得：x=732（）≈2000米，
∴C点深度=x+600=2600米．
答：海底C点处距离海面DF的深度约为2600米．

点评： 此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解俯角的定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题．
　
25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： 此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．
解答： 解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，
整理得2x2﹣60x+400=0
解得x1=20，x2=10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．

（2）设商场平均每天赢利y元，则
y=（20+2x）（40﹣x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]
=﹣2（x﹣15）2+1250．
∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
点评： （1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；
（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．
　
26．如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．


考点： 切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；
（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；
（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB﹣AG﹣BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH==，则tan∠FGD可求．
解答： （1）证明：连结OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，
而OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=3，
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，
∴FG=AF×sinA=9×=；

（3）解：过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=3，DH=BH=3．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=AF=，
∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，
∴tan∠GDH===，
∴tan∠FGD=tan∠GDH=．


点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识．