【解析版】临沂市莒南县2022年九年级上期中数学试卷

这是一份【解析版】临沂市莒南县2022年九年级上期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了答案直接填在题中横线上，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年山东省临沂市莒南县九年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题，将唯一正确答案的代号字母填在下面的方格内
1．下列函数不属于二次函数的是（　　）
A．y=（x﹣1）（x+2） B．y=（x+1）2 C．y=1﹣x2 D．y=2（x+3）2﹣2x2
　
2．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（　　）

A．120° B．90° C．60° D．30°
　
3．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC=（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
　
4．函数y=﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．2，1）
　
5．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A． B． C． D．
　
6．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或0
　
7．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
　
8．正方形ABCD内一点P，AB=5，BP=2，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，则PP'的长为（　　）
A． B． C．3 D．
　
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB边上一点，⊙O与AC、BC都相切，若BC=3，AC=4，则⊙O的半径为（　　）

A．1 B．2 C． D．
　
10．若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
11．下列命题中假命题的个数是（　　）
①三点确定一个圆；②三角形的内心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．
A．4 B．3 C．2 D．1
　
12．函数y=2x2﹣3x+4经过的象限是（　　）
A．一，二，三象限 B．一，二象限 C．三，四象限 D．一，二，四象限
　
13．抛物线y=x2﹣bx+8的顶点在x轴上，则b的值一定为（　　）
A．4 B．﹣4 C．2或﹣2 D．4或﹣4
　
14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）

A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．abc＞0
　
　
二、答案直接填在题中横线上
15．二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x=　　　　　　．
　
16．已知m，n为方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，则m2﹣2n+2011=　　　　　　．
　
17．把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线y=x2﹣2x﹣2，那么这条抛物线的解析式是　　　　　　．
　
18．若二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为　　　　　　．
　
19．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是　　　　　　．
　
　
三、解答题
20．计算下列各题：
（1）x2﹣3x﹣1=0
（2）4x﹣6=（3﹣2x）x．
　
21．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

　
22．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
　
23．如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP=　　　　　　cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=　　　　　　cm时，四边形AOBP是正方形．

　
24．已知抛物线经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线顶点Q的坐标，且判断△ACQ的形状，并说明理由．

　
25．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．

　
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

　
　

2022学年山东省临沂市莒南县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题，将唯一正确答案的代号字母填在下面的方格内
1．下列函数不属于二次函数的是（　　）
A．y=（x﹣1）（x+2） B．y=（x+1）2 C．y=1﹣x2 D．y=2（x+3）2﹣2x2
考点： 二次函数的定义．
分析： 整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可解答．
解答： 解：A、整理为y=x2+x﹣3，是二次函数，不合题意；
B、整理为y=x2+x+，是二次函数，不合题意；
C、整理为y=﹣x2+1，是二次函数，不合题意；
D、整理为y=12x+18，是一次函数，符合题意．
故选D．
点评： 本题考查二次函数的定义．
　
2．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（　　）

A．120° B．90° C．60° D．30°
考点： 旋转的性质．
专题： 计算题．
分析： 利用旋转的性质计算．
解答： 解：∵∠ABC=60°，
∴旋转角∠CBC1=180°﹣60°=120°．
∴这个旋转角度等于120°．
故选：A．
点评： 本题考查了旋转的定义，明确三角尺的度数的常识并熟记旋转角的定义是解题的关键．
　
3．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC=（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
考点： 圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 根据直径所对的圆周角是直角，再利用直角三角形两锐角互余求解即可．
解答： 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠BAC=90°﹣30°=60°．
故选B．
点评： 熟练运用圆周角定理的推论以及直角三角形的两个锐角互余的性质是解题的关键．
　
4．函数y=﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．2，1）
考点： 二次函数的性质．
分析： 将二次函数的一般形式化为顶点式后即可直接说出其顶点坐标；
解答： 解：∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x2+4x+4﹣4+3）=﹣（x+2）2+1
∴顶点坐标为（﹣2，1）；
故选B．
点评： 主要考查了二次函数的性质和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．除去用配方法外还可用公式法．

5．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A． B． C． D．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 先根据勾股定理求出弦的一半，再求出弦长即可．
解答： 解：如图，OA=12，则OC=6，
根据勾股定理可得，弦的一半==6，
∴弦=12．
故选B．

点评： 本题主要利用勾股定理求线段的长．
　
6．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或0
考点： 一元二次方程的解．
分析： 将x=0代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0即可求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，
∴（a﹣1）×0+0+a2﹣1=0，且a﹣1≠0，
解得a=﹣1；
故选A．
点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
　
7．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
考点： 圆周角定理．
分析： 由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，然后由三角形的内角和定理，即可求得∠C的度数．
解答： 解：∵∠BOD=100°，
∴∠A=∠BOD=50°，
∵∠B=60°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=70°．
故选C．
点评： 此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．
　
8．正方形ABCD内一点P，AB=5，BP=2，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，则PP'的长为（　　）
A． B． C．3 D．
考点： 旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．
专题： 计算题．
分析： 由△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，根据旋转的性质得BP=BP′，∠PBP′=90，则△BPP′为等腰直角三角形，由此得到
PP′=BP，即可得到答案．
解答： 解：∵△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，
而四边形ABCD为正方形，BA=BC，
∴BP=BP′，∠PBP′=90，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
而BP=2，
∴PP′=BP=2．
故选A．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．
　
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB边上一点，⊙O与AC、BC都相切，若BC=3，AC=4，则⊙O的半径为（　　）

A．1 B．2 C． D．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： 设AC与⊙O的切点为F，⊙O半径为r，连接OF，可知OF∥BC，易得△AOF∽△ABC，即可得出AF：AC=r：BC，又AF=AC﹣r，代入数据即可得出r的值．
解答： 解：设AC与⊙O的切点为F，⊙O半径为r，
如图，连接OF，
结合题意有，OF⊥AC，即OF∥BC，
故有△AOF∽△ABC，
即AF：AC=r：BC，
又AF=AC﹣r，BC=3，AC=4，
代入可得
r=．
故选D．

点评： 本题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定及其应用，属于中等题目，适合学生练习使用．
　
10．若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
考点： 换元法解一元二次方程．
分析： 将a2+b2看作一个整体，然后用换元法解方程即可．
解答： 解：设a2+b2=x，则有：
x（x﹣2）=8
即x2﹣2x﹣8=0，
解得x1=﹣2，x2=4；
∵a2+b2≥0，
故a2+b2=x2=4；
故选B．
点评： 本题的关键是把a2+b2看成一个整体来计算，即换元法思想．
　
11．下列命题中假命题的个数是（　　）
①三点确定一个圆；②三角形的内心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．
A．4 B．3 C．2 D．1
考点： 命题与定理．
分析： 分析是否为假命题，可以举出反例；也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解答： 解：①错误，不在同一条直线上的三点确定一个圆；
②正确，三角形的内心到三边的距离相等；
③错误，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
④错误，如果平分的弦是直径，那么平分弦的直径不垂直于弦；
⑤错误，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
故选A．
点评： 主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
　
12．函数y=2x2﹣3x+4经过的象限是（　　）
A．一，二，三象限 B．一，二象限 C．三，四象限 D．一，二，四象限
考点： 二次函数的性质．
分析： 利用公式法先求顶点坐标，再判断经过的象限．
解答： 解：∵y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），
∴y=2x2﹣3x+4的顶点坐标为（，），
而a=2＞0，所以抛物线过第一，二象限．
故选B．
点评： 本题考查抛物线的顶点坐标和开口方向，能确定这两样，抛物线经过的象限就容易确定了．
　
13．抛物线y=x2﹣bx+8的顶点在x轴上，则b的值一定为（　　）
A．4 B．﹣4 C．2或﹣2 D．4或﹣4
考点： 抛物线与x轴的交点．
专题： 探究型．
分析： 根据抛物线在x轴上，可知△=0，即（﹣b）2﹣4×8=0，求出b的值即可．
解答： 解：∵抛物线y=x2﹣bx+8的顶点在x轴上，
∴△=（﹣b）2﹣4×8=b2﹣32=0，解得b=±4．
故选D．
点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，能利用根的判别式判断抛物线与x轴的交点问题是解答此题的关键．
　
14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）

A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．abc＞0
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 由抛物线的开口方向向上可以得到a＞0，由与y轴的交点为在y轴的负半轴上可以推出c＜0，而对称轴为x=＞0可以推出b＜0，由此可以确定abc的符号．
解答： 解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为x=＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
∴abc＞0．
故选B．
点评： 考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
　
二、答案直接填在题中横线上
15．二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x=　﹣1　．

考点： 二次函数的性质．
专题： 数形结合．
分析： 根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=﹣1对称，由此可得到抛物线的对称轴．
解答： 解：∵点（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相同，
∴点（3，4）和（﹣5，4）是抛物线的对称点，
而这两个点关于直线x=﹣1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．
故答案为﹣1．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．
　
16．已知m，n为方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，则m2﹣2n+2011=　2016　．

考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m﹣1=0，即m2=﹣2m+1，则m2﹣2n+2011化简为﹣2（m+n）+2012，然后根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，再利用整体代入的方法进行计算．
解答： 解：∵m方程x2+2x﹣1=0的实数根，
∴m2+2m﹣1=0，
∴m2=﹣2m+1，
∴m2﹣2n+2011=﹣2m+1﹣2n+2011
=﹣2（m+n）+2012，
∵m，n为方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2﹣2n+2011=﹣2×（﹣2）+2012=2016．
故答案为2016．
点评： 本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．
　
17．把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线y=x2﹣2x﹣2，那么这条抛物线的解析式是　y=x2+2x+3　．

考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 由y=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3，可知得到的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），根据平移规律得到原抛物线顶点坐标为（1﹣2，﹣3+5），即（﹣1，2），抛物线平移时，二次项系数不变，可用顶点式写出原抛物线解析式．
解答： 解：∵y=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3，
∴平移后抛物线顶点为（1，﹣3），
根据平移规律可知平移前抛物线顶点坐标为（﹣1，2）
又二次项系数为1，
∴原抛物线解析式为y=（x+1）2+2=x2+2x+3，
故答案为：y=x2+2x+3．
点评： 主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
　
18．若二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为　2　．

考点： 二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义．
分析： 本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
解答： 解：根据题意得：m（m﹣2）=0，
∴m=0或m=2，
∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0，
∴m=2．
故答案是：2．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．
　
19．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是　k≤4且k≠0　．

考点： 根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
专题： 计算题．
分析： 首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．
解答： 解：∵|b﹣1|+=0，
∴b﹣1=0，=0，
解得，b=1，a=4；
又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，
∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，
即16﹣4k≥0，且k≠0，
解得，k≤4且k≠0；
故答案为：k≤4且k≠0．
点评： 本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．
　
三、解答题
20．计算下列各题：
（1）x2﹣3x﹣1=0
（2）4x﹣6=（3﹣2x）x．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： （1）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：（1）这里a=1，b=﹣3，c=﹣1，
∵△=9+4=13，
∴x=；
（2）方程整理得：x（2x﹣3）+2（2x﹣3）=0，
分解因式得：（x+2）（2x﹣3）=0，
解得：x1=﹣2，x2=1.5．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
　
21．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．


考点： 切线的判定；扇形面积的计算．
专题：计算题．
分析： （1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；
（2）由∠ACD的度数求出∠OCA为60°，确定出三角形AOC为等边三角形，由半径为2求出AC的长，在直角三角形ACD中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，再利用勾股定理求出CD的长，由扇形AOC面积减去三角形AOC面积求出弓形的面积，再由三角形ACD面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．
解答： 解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
则EF为圆O的切线；
（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠OCA=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC=OC=OA=2，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴AD=AC=1，根据勾股定理得：CD=，
∴S阴影=S△ACD﹣（S扇形AOC﹣S△AOC）=×1×﹣（﹣×22）=﹣．

点评： 此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
　
22．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．

考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： （1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
解答： （1）证明：∵m≠0，
△=（m+2）2﹣4m×2
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；

（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，
x﹣1=0或mx﹣2=0，
∴x1=1，x2=，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
23．如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP=　1　cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=　﹣1　cm时，四边形AOBP是正方形．


考点： 切线的性质；等腰三角形的判定；菱形的判定；正方形的判定．
分析： （1）利用切线的性质可得OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP=30°，从而求得．
（2）①要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD．
②要使四边形AOBP是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则OP=，所以DP=OP﹣1．
解答： 解：（1）连接OA，AC
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°，
∴∠ACP=30°，
∵∠APO=30°
∴∠ACP=∠APO，
∴AC=AP，
∴△ACP是等腰三角形．

（2）
①DP=1，理由如下：
∵四边形AOBD是菱形，
∴OA=AD=OD，
∴∠AOP=60°，
∴OP=2OA，DP=OD．
∴DP=1，
②DP=，理由如下：
∵四边形AOBP是正方形，
∴∠AOP=45°，
∵OA=PA=1，OP=，
∴DP=OP﹣1
∴DP=．

点评： 本题考查了切线的性质，圆周角的性质，熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键．
　
24．已知抛物线经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线顶点Q的坐标，且判断△ACQ的形状，并说明理由．


考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
分析： （1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案；
（2）首先过点Q作QH⊥y轴于点H，则QH=1，CH=1，可得出△QCH是等腰直角三角形，则∠QCH=45°，进而求出△AOC是等腰直角三角形，易得△ACQ的形状；
解答： （1）设抛物线方程为y=ax2+bx+c（a≠0）
∵抛物线经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴
解得，
∴所求抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴点Q的坐标为（﹣1，4）．
过点Q作QH⊥y轴于点H，则QH=1，CH=1，
∴△QCH是等腰直角三角形，
∴∠QCH=45°．
∵OA=3，OC=3，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠AOC=45°．
∴∠ACQ=90°，
∴△ACQ是直角三角形．
点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握待定系数法以及等腰直角三角形的判定和性质定理是关键．
　
25．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．


考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）根据旋转的性质得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，则∠CD′E=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α=30°；
（2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，则∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D；
（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．
解答： （1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；

（2）证明：∵G为BC中点，
∴CG=1，
∴CG=CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；

（3）解：能．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，
∵CD′=CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α==135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°
则α=360°﹣=315°，
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质．
　
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、
A2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，如图1所示；
（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．
解答： 解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4，
∴B（﹣4，0），B1（0，﹣4），A2（3，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，
∴，
解得
∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4．

（2）点P是第三象限内抛物线y=x2+x﹣4上的一点，
如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=m2+m﹣4．
于是PC=|n|=﹣n=﹣m2﹣m+4，OC=|m|=﹣m，BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m．
S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC﹣S△OBB1
=×BC×PC+×（PC+OB1）×OC﹣×OB×OB1
=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×[（﹣m2﹣m+4）+4]×（﹣m）﹣×4×4
=m2﹣m=（m+2）2+
当m=﹣2时，△PBB1的面积最大，这时，n=，即点P（﹣2，）．

（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为．
如答图2，过点Q作QD⊥BB1于点D．
由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：（x0+2）2+，
在Rt△OBB1中，BB1==
∵S△QBB1=×BB1×QD=××=2，
∴（x0+2）2+=2，
解得x0=﹣1或x0=﹣3
当x0=﹣1时，y0=﹣4；当x0=﹣3时，y0=﹣2，
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）．


点评： 本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．