【解析版】宁德市福安市2022年八年级下期中数学试卷

福建省宁德市福安市2022学年八年级下学期期中数学试卷

一、选择题：（3×10）

1．（3分）下列四个图案中，可以通过如图平移得到的是（）

 A．  B．  C．  D． 

2．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（）

 A． 55° B． 45° C． 40° D． 35°

3．（3分）在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是（）

 A．  B．  C．  D． 

4．（3分）设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■，这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）

 A． ●、▲、■ B． ■、▲、● C． ▲、■、● D． ■、●、▲

5．（3分）将点A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）

 A． （6，1） B． （0，﹣3） C． （0，1） D． （6，﹣3）

6．（3分）不等式x﹣5＞﹣3的解集是（）

 A． x＞2 B． x＞3 C． x＞5 D． x＜5

7．（3分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（）

 A． a+3＞b+3 B． 2a＞2b C． ﹣a＜﹣b D． a﹣b＜0

8．（3分）不等式组的解集为（）

 A． x≤1 B． x＞﹣2 C． ﹣2≤x≤1 D． 无解

9．（3分）如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）

 A． 直角三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 等边三角形

10．（3分）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③∠BDC=72°．正确的结论有几个（）

 A． 0 B． 3 C． 2 D． 1

二、填空题：（3×6）

11．（3分）用不等式表示：x的2倍与8的和是非负数．

12．（3分）不等式4﹣x≥0的正整数解是．

13．（3分）在△ABC中，AB=AC，∠B=54°，则∠A=度．

14．（3分）如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C=．

15．（3分）命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是．

16．（3分）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则kx+b＞0的解集是．

三、作图题：

17．（6分）如图，在平面直角坐标系内有一个△ABC．

（1）在平面直角坐标系内画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；

（2）在平面直角坐标系内画出△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；

（不要求尺规作图，但要标示出三角形各顶点字母）

18．（6分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）

如图，已知线段a，h，求作以a为底、h为高的等腰三角形ABC，使AC=BC．

四、解答题

19．（10分）解不等式（组）并把解集在数轴上表示出来：

（1）＜

（2）．

20．（8分）已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．

21．（10分）学校计划购买40支钢笔，若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）．甲、乙两家文具店的标价都是钢笔10元/支，笔记本2元/本，甲店的优惠方式是钢笔打9折，笔记本打8折；乙店的优惠方式是每买5支钢笔送1本笔记本，钢笔不打折，购买的笔记本打7.5折，试问购买笔记本数在什么范围内到甲店更合算．

22．（12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

福建省宁德市福安市2022学年八年级下学期期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（3×10）

1．（3分）下列四个图案中，可以通过如图平移得到的是（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 生活中的平移现象．

分析： 根据原图案的形状进而得出完全相同的图案即可．

解答： 解：由平移的性质可知，平移前后，完全相同的只有选项D．

故选：D．

点评： 本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与图形旋转或翻转．

2．（3分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（）

 A． 55° B． 45° C． 40° D． 35°

考点： 旋转的性质．

分析： 本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解．

解答： 解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，

所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=80°﹣45°=35°．

故选：D．

点评： 本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．

3．（3分）在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析．

解答： 解：A、C、D不是轴对称图形，B是轴对称图形．

故选：B．

点评： 此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

4．（3分）设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■，这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）

 A． ●、▲、■ B． ■、▲、● C． ▲、■、● D． ■、●、▲

考点： 不等式的性质．

分析： 本题可先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小，可知■＞▲，2个●=一个▲，即▲＞●，由此可得出答案．

解答： 解：由图可知1个■的质量大于1个▲的质量，

1个▲的质量等于2个●的质量，因此1个▲质量大于1个●的质量，

∴■＞▲＞●

故选：B．

点评： 本题主要考查了不等式的基本性质．掌握不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变是解题的关键．

5．（3分）将点A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）

 A． （6，1） B． （0，﹣3） C． （0，1） D． （6，﹣3）

考点： 坐标与图形变化-平移．

分析： 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

解答： 解：∵将点A（3，﹣1）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，

∴点A的对应点A′的坐标是（3﹣3，﹣1+2），即（0，1）．

故选C．

点评： 本题考查坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．

6．（3分）不等式x﹣5＞﹣3的解集是（）

 A． x＞2 B． x＞3 C． x＞5 D． x＜5

考点： 解一元一次不等式．

分析： 移项、合并同类项即可求解．

解答： 解：移项，得：x＞﹣3+5，

系数化成1得：x＞2．

故选A．

点评： 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．

解不等式要依据不等式的基本性质：

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

7．（3分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（）

 A． a+3＞b+3 B． 2a＞2b C． ﹣a＜﹣b D． a﹣b＜0

考点： 不等式的性质．

分析： 根据不等式的性质分析判断．

解答： 解：A、已知a＜b，根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，a+3＞b+3错误；

B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，2a＞2b错误；

C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，﹣a＜﹣b错误；

D、a﹣b＜0即a＜b两边同时减去b，不等号方向不变．不等式一定成立的是a﹣b＜0．

故选D．

点评： 不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

8．（3分）不等式组的解集为（）

 A． x≤1 B． x＞﹣2 C． ﹣2≤x≤1 D． 无解

考点： 解一元一次不等式组．

分析： 分别解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是所求．

解答： 解：，

解①得：x≤1，

解②得：x＜2．

则不等式组的解集是：x≤1．

故选A．

点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．

9．（3分）如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）

 A． 直角三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 等边三角形

考点： 线段垂直平分线的性质．

分析： 先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC＞90°即可．

解答： 解：

如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，

则AO=OB，AO=OC，

所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，

∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，

∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB，

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠BAC＞90°，

即△ABC是钝角三角形，

故选C．

点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BAC＞∠ABC+∠ACB是解此题的关键，用了数形结合思想．

10．（3分）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③∠BDC=72°．正确的结论有几个（）

 A． 0 B． 3 C． 2 D． 1

考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．

分析： 由AB=AC，∠A=36°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的中垂线MN交AC于点D、交AB于点M，可求得∠ABD的度数，继而可得BD是∠ABC的平分；△BCD是等腰三角形；∠BDC=72°．

解答： 解：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵AB的中垂线MN交AC于点D、交AB于点M，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=36°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=36°，

∴∠ABD=∠CBD，

即BD是∠ABC的平分线，故①正确；

∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，故③正确；

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，

∴△BCD是等腰三角形；故②正确．

故选B．

点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．

二、填空题：（3×6）

11．（3分）用不等式表示：x的2倍与8的和是非负数2x+8≥0．

考点： 由实际问题抽象出一元一次不等式．

分析： 非负数就是大于等于0的数，根据x的2倍与8的和是非负数可列出不等式．

解答： 解：根据题意得：2x+8≥0．

故答案为：2x+8≥0．

点评： 本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．

12．（3分）不等式4﹣x≥0的正整数解是1，2，3，4．

考点： 一元一次不等式的整数解．

分析： 首先解不等式，然后确定不等式的正整数解即可．

解答： 解：解不等式得：x≤4，

则正整数解是：1，2，3，4．

故答案是：1，2，3，4．

点评： 本题考查了一元一次不等式整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．

13．（3分）在△ABC中，AB=AC，∠B=54°，则∠A=72度．

考点： 三角形内角和定理．

分析： 根据等腰三角形性质得出∠B=∠C=54°，然后利用三角形内角和定理即可得出答案．

解答： 解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=54°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣54°﹣54°=72°．

故答案为：72．

点评： 此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握，三角形的内角和180°．

14．（3分）如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C=30°．

考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．

分析： 根据垂直平分线的性质可知BE=EC，DE⊥BC，即可得出△CED≌△BED，再根据角平分线的性质可知∠ABE=2∠DBE=2∠C，根据三角形为直角三角形即可得出∠C的度数．

解答： 解：∵DE是BC的垂直平分线，

∴BE=EC，DE⊥BC，

∴∠CED=∠BED，

∴△CED≌△BED，

∴∠C=∠DBE，

∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABE=2∠DBE=2∠C，

∴∠C=30°．

故答案为：30°．

点评： 本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定及其性质的运用．

15．（3分）命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

考点： 线段垂直平分线的性质；命题与定理．

分析： 将命题的条件和结论相互转换，可得到互逆命题．

解答： 解：逆命题是：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

点评： 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．

16．（3分）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则kx+b＞0的解集是x＞﹣3．

考点： 一次函数与一元一次不等式．

专题： 数形结合．

分析： 从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．

解答： 解：一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣3，0），且函数值y随x的增大而增大，

则kx+b＞0的解集是x＞﹣3．

故本题答案为：x＞﹣3．

点评： 认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．

三、作图题：

17．（6分）如图，在平面直角坐标系内有一个△ABC．

（1）在平面直角坐标系内画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；

（2）在平面直角坐标系内画出△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；

（不要求尺规作图，但要标示出三角形各顶点字母）

考点： 作图-旋转变换；作图-平移变换．

分析： （1）首先把△ABC的三个顶点A、B、C分别向下平移4个单位，然后顺次连接对应点，即可得到平移后的△A1B1C1．

（2）首先找出△ABC的三个顶点A、B、C绕原点O逆时针方向旋转90°得到的对应点，然后顺次连接对应点，即可得到△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2．

解答： 解：根据分析，可得

．

点评： （1）此题主要考查了作图﹣旋转变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

（2）此题还考查了作图﹣平移变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

18．（6分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）

如图，已知线段a，h，求作以a为底、h为高的等腰三角形ABC，使AC=BC．

考点： 作图—复杂作图．

分析： 作出线段AB=a，再作出AB的垂直平分线，垂足为D，再在垂直平分线上截取CD=h，并画出△ABC即可．

解答： 解：如图所示：三角形ABC就是所求作的三角形．

点评： 此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法．

四、解答题

19．（10分）解不等式（组）并把解集在数轴上表示出来：

（1）＜

（2）．

考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．

分析： （1）去分母、去括号、移项、合并同类项即可求解；

（2）分别解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是所求．

解答： 解：（1）去分母，得3（x﹣1）＜4x，

去括号，得3x﹣3＜4x，

 x＞﹣3

；

（2），

解不等式①得：x＜3，

    解不等式②得x≥﹣1．

不等式组的解集是：﹣1≤x＜3．

点评： 本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

20．（8分）已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 先根据∠1=∠2得出BD=CD，再由SSS定理得出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质即可得出结论．

解答： 证明：∵∠1=∠2，

∴BD=CD，

在△ABD与△ACD中，

∵，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD=∠CAD，

即AD平分∠BAC．

点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知判定全等三角形的SSS，SAS，ASA定理是解答此题的关键．

21．（10分）学校计划购买40支钢笔，若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）．甲、乙两家文具店的标价都是钢笔10元/支，笔记本2元/本，甲店的优惠方式是钢笔打9折，笔记本打8折；乙店的优惠方式是每买5支钢笔送1本笔记本，钢笔不打折，购买的笔记本打7.5折，试问购买笔记本数在什么范围内到甲店更合算．

考点： 一元一次不等式的应用．

专题： 应用题．

分析： 本题的不等式关系是：甲店购买的钢笔的金额+购买的笔记本的金额＜到乙店购买的钢笔的金额+购买的笔记本的金额．根据这个不等式，求出自变量的取值范围，然后判断出符合条件的值．

解答： 解：设购买笔记本数x（x＞40）本到甲店更合算．

到甲店购买应付款y甲=10×0.9×40+2×0.8x，

到乙店购买40支钢笔可获赠8本笔记本，

实际应付款y乙=10×40+2×0.75（x﹣8）．

由题意，得10×0.9×40+2×0.8x＜10×40+2×0.75（x﹣8）．

360+1.6x＜400+1.5x﹣12，

0.1x＜28，

x＜280．

答：购买笔记本数小于280本（大于40本）时到甲店更合算．

点评： 此题是一道最优化问题，先根据题意列出两个应付款的函数关系式：

（1）y甲=10×0.9×40+2×0.8x，

（2）y乙=10×40+2×0.75（x﹣8）．

令y甲＜y乙，解不等式即可．

22．（12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析： （1）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=30°，再证出∠BED=∠D，得出BE=DB，即可得出AE=DB；

（2）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∠DBE=120°，再证出△AEF是等边三角形，得出AE=EF，BE=CF，证出∠FEC=∠D，证明△EFC≌△DBE，得出EF=DB，即可得出AE=DB．

解答： 解：（1）AE=DB；理由如下：

∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，

∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=∠ACB=30°，AE=BE，

∵ED=EC，

∴∠D=∠BCE=30°，

∵∠ABC=∠D+∠BED，

∴∠BED=30°=∠D，

∴BE=DB，

∴AE=DB；

故答案为：=；

（2）AE=DB，理由如下：

过点E作EF∥BC，交AC于点F，如图2所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，

∴∠DBE=120°，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠DCE，

∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，

∴△AEF是等边三角形，∠EFC=120°，

∴AE=EF，

∴BE=CF，

∵ED=EC，

∴∠D=∠DCE，

∴∠FEC=∠D，

在△EFC和△DBE中，，

∴△EFC≌△DBE（AAS），

∴EF=DB，

∴AE=DB；

故答案为：=．

点评： 本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明等边三角形和全等三角形才能得出结论．