【解析版】泰安市2022学年八年级上期末数学模拟试卷

这是一份【解析版】泰安市2022学年八年级上期末数学模拟试卷，共18页。试卷主要包含了若分式的值为零，则x的值是，下列分式是最简分式的，化简÷的结果是等内容，欢迎下载使用。

2022学年山东省泰安市八年级（上）期末数学模拟试卷
　
一．选择题（共16小题）
1．下列四个多项式中，能因式分解的是（　　）
A．a2+1 B．a2﹣6a+9 C．x2+5y D．x2﹣5y
　
2．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
　
3．若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．0 B．±2 C．4 D．﹣4
　
4．下列分式是最简分式的（　　）
A． B．
C． D．
　
5．化简÷的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
　
6．数据0，1，1，x，3，4的平均数是2，则这组数据的中位数是（　　）
A．1 B．3 C．1.5 D．2
　
7．若一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，则x的值是（　　）
A．﹣3 B．6 C．7 D．6或﹣3
　
8．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为S甲2=0.56，S乙2=0.60，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
　
9．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　）

A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
　
10．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
　
11．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
　
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
　
13．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．10
　
14．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
　
15．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
16．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A． B．1 C． D．7
　
　
二．填空题（共4小题）
17．分解因式：9a2﹣30a+25=　　　　　　．
　
18．分解因式：a3b﹣2a2b2+ab3=　　　　　　．
　
19．若分式方程：有增根，则k=　　　　　　．
　
20．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产　　　　　　台机器．
　
　
三．解答题（共6小题）
21．因式分解：
（1）4a2b2﹣（a2+b2）2；
（2）（a+x）4﹣（a﹣x）4．
（3）（x﹣y）2﹣4（x﹣y﹣1）
（4）a2﹣4ax+4a；
（5）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
　
22．先化简，再求值：（﹣）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
　
23．（1）解方程：+=1．
（2）解分式方程：+=﹣1．
　
24．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
　
25．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

　
26．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．

　
　
2022学年山东省泰安市八年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共16小题）
1．下列四个多项式中，能因式分解的是（　　）
A．a2+1 B．a2﹣6a+9 C．x2+5y D．x2﹣5y
考点： 因式分解的意义．
专题： 因式分解．
分析： 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
解答： 解：A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；
B、是完全平方公式的形式，故B能分解因式；
故选：B．
点评： 本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．
　
2．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
考点： 因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．
专题： 因式分解．
分析： 分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
解答： 解：A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；
C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
　
3．若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．0 B．±2 C．4 D．﹣4
考点： 分式的值为零的条件．
分析： 根据分式值为零的条件可得x﹣4=0，且x2﹣4≠0，再解即可．
解答： 解：由题意得：x﹣4=0，且x2﹣4≠0，
解得：x=4，
故选：C．
点评： 此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
　
4．下列分式是最简分式的（　　）
A． B．
C． D．
考点： 最简分式．
分析： 根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，即可求出答案．
解答： 解：A、=，故本选项错误；
B、，不能约分，故本选项正确；
C、=，故本选项错误；
D、=，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．
　
5．化简÷的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
考点： 分式的乘除法．
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=•
=m．
故选：A．
点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
6．数据0，1，1，x，3，4的平均数是2，则这组数据的中位数是（　　）
A．1 B．3 C．1.5 D．2
考点： 中位数；算术平均数．
分析： 根据平均数的计算公式求出x的值，再把这组数据从小到大排列，根据中位数的定义即可得出答案．
解答： 解：∵数据0，1，1，x，3，4的平均数是2，
∴（0+1+1+x+3+4）÷6=2，
解得：x=3，
把这组数据从小到大排列0，1，1，3，3，4，
最中间两个数的平均数是（1+3）÷2=2，
则这组数据的中位数是2；
故选：D．
点评： 此题考查了中位数和平均数，根据平均数的计算公式求出x的值是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
　
7．若一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，则x的值是（　　）
A．﹣3 B．6 C．7 D．6或﹣3
考点： 极差．
分析： 根据极差的定义分两种情况进行讨论，当x是最大值时，x﹣（﹣1）=7，当x是最小值时，4﹣x=7，再进行计算即可．
解答： 解：∵数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，
∴当x是最大值时，x﹣（﹣1）=7，
解得x=6，
当x是最小值时，4﹣x=7，
解得x=﹣3，
故选：D．
点评： 此题考查了极差，求极差的方法是用最大值减去最小值，本题注意分两种情况讨论．
　
8．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为S甲2=0.56，S乙2=0.60，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
考点： 方差．
分析： 根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答： 解；∵S甲2=0.56，S乙2=0.60，S丙2=0.50，S丁2=0.45，
∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，
∴成绩最稳定的是丁；
故选：D．
点评： 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
　
9．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　）

A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
考点： 生活中的平移现象．
专题： 操作型．
分析： 分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
解答： 解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
点评： 此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键．

10．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
考点： 旋转的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠BAE=∠CAD，AC=AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，于是有∠BAE=50°．
解答： 解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=65°，
∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，
∴∠BAE=50°．
故选：C．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
　
11．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
考点： 平行四边形的性质；勾股定理．
分析： 利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
解答： 解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO==5，
∴BD=2BO=10，
故选：C．
点评： 本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
　
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
考点： 平行四边形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解答： 解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
　
13．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．10
考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．
解答： 解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=AB=3．
又CE=CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=4．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=8．
故选：C．

点评： 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．
　
14．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
考点： 多边形内角与外角．
专题： 常规题型．
分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
解答： 解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选：C．
点评： 此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理是关键．
　
15．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，结合选项所给的图形即可得出答案．
解答： 解：①既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
②是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
③既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
④是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．
综上可得共有两个符合题意．
故选：B．
点评： 本题考查轴对称及中心对称的定义，属于基础题，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念是关键．
　
16．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A． B．1 C． D．7
考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题；压轴题．
分析： 由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
解答： 解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，GF=CF，
∵AB=4，AC=3，
∴BG=1，
∵AE是中线，
∴BE=CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF=BG=，
故选：A．

点评： 本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
　
二．填空题（共4小题）
17．分解因式：9a2﹣30a+25=　（3a﹣5）2　．

考点： 因式分解-运用公式法．
专题： 计算题．
分析： 原式利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：原式=（3a）2﹣2×3a×5+52=（3a﹣5）2．
故答案为：（3a﹣5）2
点评： 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
　
18．分解因式：a3b﹣2a2b2+ab3=　ab（a﹣b）2　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 因式分解．
分析： 先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
解答： 解：a3b﹣2a2b2+ab3
=ab（a2﹣2ab+b2）
=ab（a﹣b）2．
故填：ab（a﹣b）2．
点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
　
19．若分式方程：有增根，则k=　1　．

考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 把k当作已知数求出x=，根据分式方程有增根得出x﹣2=0，2﹣x=0，求出x=2，得出方程=2，求出k的值即可．
解答： 解：∵，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，
整理得：（2﹣k）x=2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2=0，
解得：x=2，
把x=2代入（2﹣k）x=2得：k=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目．
　
20．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产　200　台机器．

考点： 分式方程的应用．
分析： 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
解答： 解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．
依题意得：=．
解得：x=200．
检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产200台机器．
故答案为：200．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．
　
三．解答题（共6小题）
21．因式分解：
（1）4a2b2﹣（a2+b2）2；
（2）（a+x）4﹣（a﹣x）4．
（3）（x﹣y）2﹣4（x﹣y﹣1）
（4）a2﹣4ax+4a；
（5）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： （1）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式；
（2）先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式展开并整理即可；
（3）把（x﹣y）看作一个整体，先展开，再利用完全平方公式分解因式；
（4）提取公因式a即可；
（5）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解．
解答： 解：（1）4a2b2﹣（a2+b2）2，
=（2ab）2﹣（a2+b2）2，
=（2ab+a2+b2）（2ab﹣a2﹣b2），
=﹣（a+b）2（a﹣b）2；

（2）（a+x）4﹣（a﹣x）4，
=[（a+x）2+（a﹣x）2][（a+x）2﹣（a﹣x）2]，
=（a2+x2+2ax+a2+x2﹣2ax）（a2+x2+2ax﹣a2﹣x2+2ax），
=2（a2+x2）×4ax，
=8ax（a2+x2）；

（3）（x﹣y）2﹣4（x﹣y﹣1），
（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4，
=（x﹣y﹣2）2；

（4）a2﹣4ax+4a=a（a﹣4x+4）；

（5）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9，
=（x2﹣1﹣3）2，
=（x+2）2（x﹣2）2．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
　
22．先化简，再求值：（﹣）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．

考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x=1代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=•=2x+8，
当x=1时，原式=2+8=10．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
23．（1）解方程：+=1．
（2）解分式方程：+=﹣1．

考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：（1）方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得x（x+1）+1=x2﹣1，
去括号得：x2+x+1=x2﹣1，
解得：x=﹣2，
检验：把x=﹣2代入（x+1）（x﹣1）=3≠0，
∴原方程的解为：x=﹣2；
（2）去分母得：﹣（x+2）2+16=4﹣x2，
去括号得：﹣x2﹣4x﹣4+16=4﹣x2，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
　
24．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

考点： 分式方程的应用．
专题： 应用题．
分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．
解答： 解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×=，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
点评： 本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．
　
25．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．


考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
解答： 证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
点评： 此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．
　
26．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．


考点： 平行四边形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
分析： （1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．
（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．
解答： （1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，

（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，
∴▱ABDF是菱形，
∴AB=BD=5，
∵AD=6，
设BE=x，则DE=5﹣x，
∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，
即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2
解得：x=，
∴=，
∴AC=2AE=．

点评： 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用．