【解析版】永清责任区2022年九年级下第一次月考数学试卷

这是一份【解析版】永清责任区2022年九年级下第一次月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的）
1．|﹣2|的相反数是（ ）
A． B． ﹣2 C． D． 2

2．如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠ACD=35°，则∠BAD=（ ）
A． 55° B． 40° C． 35° D． 30°

3．已知二次函数y=x2+x+2与一次函数y=2x﹣1在同一坐标系中的交点个数是（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 无法确定

4．将抛物线y=2x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是（ ）
A． y=2x2+3 B． y=2x2+1 C． y=2（x+1）2+2 D． y=2（x﹣1）2+2

5．2012年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福，主办方共收到原创祝福短信作品41 430条，将41 430用科学记数表示应为（ ）
A． 41.43×103 B． 4.143×104 C． 0.4143×105 D． 4.143×105

6．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ）
A． B． C． D．

7．已知圆O的直径是方程x2﹣5x﹣24=0的根，且点A到圆心O的距离为6，则点A在（ ）
A． 圆O上 B． 圆O内 C． 圆O外 D． 无法确定

8．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．

9．有下列四个命题，其中正确的有（ ）
①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，
则正确的结论是（ ）
A． ①②③④ B． ②④⑤ C． ②③④ D． ①④⑤


二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分．）
11．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ．

12．函数y=+中自变量x的取值范围是 ．

13．分解因式：x3﹣2x2+x= ．

14．已知A（﹣2，3），B（﹣4，6），在x轴上找一点P，使PA+PB最小，则点P坐标为 ；在y轴上找一点Q，使BQ﹣AQ最大，Q点的坐标为 ．

15．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是 ．

16．在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2015时对应的指头是 （填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．


三、解答题（共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值：•（1+），其中m满足m﹣2=4．

18．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

19．学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元．
（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．

20．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：=1.4，=1.7，=2.4）．

21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．

22．如图，以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点D，E为AC的中点，且AB=8cm，AC=6cm．
（1）求AD的长和sin∠B的值；
（2）连结OE，判断OE与AD是否垂直？为什么？
（3）判断DE是否是⊙O的切线？若是，试求出切线DE的长；若不是，请说明理由．

23．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去．
（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式．
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由．

24．如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]
（1）k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．


2022学年四川省资阳市安岳县永清责任区九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目的要求的）
1．|﹣2|的相反数是（ ）
A． B． ﹣2 C． D． 2
考点： 绝对值；相反数．
专题： 常规题型．
分析： 利用相反数和绝对值的定义解题：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．只有符号不同的两个数互为相反数．
解答： 解：∵|﹣2|=2，2的相反数是﹣2．
∴|﹣2|的相反数是﹣2．
故选：B．
点评： 主要考查了相反数和绝对值的定义，要求掌握并灵活运用．

2．如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠ACD=35°，则∠BAD=（ ）
A． 55° B． 40° C． 35° D． 30°
考点： 圆周角定理．
分析： 由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，继而可求得∠BAD的度数．
解答： 解：∵∠ACD与∠B是对的圆周角，
∴∠B=∠ACD=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=55°．
故选A．
点评： 此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．

3．已知二次函数y=x2+x+2与一次函数y=2x﹣1在同一坐标系中的交点个数是（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 无法确定
考点： 二次函数的性质．
分析： 根据题意得到方程x2+x+2=2x﹣1，判断方程根的个数即可作出正确选择．
解答： 解：根据题意联立方程可得，
即x2+x+2=2x﹣1，
整理得x2﹣x+3=0，
△=1﹣12=﹣11＜0，
则二次函数y=x2+x+2与一次函数y=2x﹣1没有交点，
故选A．
点评： 本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据题意可得一元二次方程，进而判断方程根的个数，此题难度不大．

4．将抛物线y=2x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是（ ）
A． y=2x2+3 B． y=2x2+1 C． y=2（x+1）2+2 D． y=2（x﹣1）2+2
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2），向右平移1个单位后顶点坐标为（1，2），根据抛物线的顶点式可求解析式．
解答： 解：∵抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2），
向右平移1个单位后顶点坐标为（1，2），
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2+2．
故选：D．
点评： 本题考查了抛物线解析式与抛物线 平移的关系．关键是抓住顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．

5．2012年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福，主办方共收到原创祝福短信作品41 430条，将41 430用科学记数表示应为（ ）
A． 41.43×103 B． 4.143×104 C． 0.4143×105 D． 4.143×105
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于41 430有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．
解答： 解：41 430=4.143×104．
故选B．
点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．

6．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法．
分析： 列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．
解答： 解：列表得：
右 （直，右） （左，右） （右，右）
左 （直，左） （左，左） （右，左）
直 （直，直） （左，直） （右，直）
直 左 右
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是 ．
故选C．
点评： 本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7．已知圆O的直径是方程x2﹣5x﹣24=0的根，且点A到圆心O的距离为6，则点A在（ ）
A． 圆O上 B． 圆O内 C． 圆O外 D． 无法确定
考点： 点与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
分析： 先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径r与d的值的大小关系即可判定．
解答： 解：解方程x2﹣5x﹣24=0得，x1=8，x2=﹣3（舍去）
∴圆O的直径是8，
∴圆O的半径是4，
∵点A到圆心O的距离为6，6＞4，
∴点A在圆O外，
故选：C．
点评： 本题考查了解一元二次方程和点与圆的位置关系，掌握判定点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．

8．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．
分析： 根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；
解答： 解：当a＞0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；
当a＜0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；
当x=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．
正确的只有C．
故选C．
点评： 应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

9．有下列四个命题，其中正确的有（ ）
①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
考点： 三角形的外接圆与外心；圆的认识；确定圆的条件．
分析： 根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
解答： 解：①圆的对称轴是直径所在的直线； 故此选项错误；
②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．
故选：C．
点评： 此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，
则正确的结论是（ ）
A． ①②③④ B． ②④⑤ C． ②③④ D． ①④⑤
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据抛物线与x轴的交点情况，抛物线的开口方向，对称轴及与y轴的交点，当x=±1时的函数值，逐一判断．
解答： 解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；
∵抛物线对称轴为x=﹣＜0，与y轴交于负半轴，∴ab＞0，c＜0，abc＜0，故②错误；
∵抛物线对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故③错误；
∵当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故④正确；
∵当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正确；
正确的是①④⑤．
故选D．
点评： 本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换．

二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分．）
11．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．
考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．
专题： 常规题型．
分析： 根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．
解答： 解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，
∵m2+2m﹣5=0
∴m2=5﹣2m
m2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8
故答案为：8．
点评： 此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．

12．函数y=+中自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠3 ．
考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，
解得x≥﹣1且x≠3．
故答案为：x≥﹣1且x≠3．
点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

13．分解因式：x3﹣2x2+x= x（x﹣1）2 ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
解答： 解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．

14．已知A（﹣2，3），B（﹣4，6），在x轴上找一点P，使PA+PB最小，则点P坐标为 （﹣，0） ；在y轴上找一点Q，使BQ﹣AQ最大，Q点的坐标为 （0，0） ．
考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
分析： 找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴交于点P，则P点即为所求，再根据点P在x轴上的位置得出P点坐标即可；连接AB与y轴交于点Q，则Q点即为所求，再根据Q点在y轴上的位置得出Q点坐标即可．
解答： 解：①找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴交于点P，此时PA=PA′，PA+PB=PA′+PB=A′B，根据两点之间线段最短，则A′B就是PA+PB最小值．
∵A（﹣2，3），
∴A′（﹣2，﹣3），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
∴，解得
∴直线A′B的解析式为y=﹣x﹣12．
令y=0，则0=﹣x﹣12．解得x=﹣，
∴P（﹣，0）；
②连接AB交y轴于Q，此时BQ﹣AQ=AB，根据两边之差小于第三边，则AB就是BQ﹣AQ最大值；
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x，
∴Q（0，0）．
故答案为（﹣，0）、（0，0）．
点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．

15．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是 ．
考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题： 网格型．
分析： 根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cs∠ABC的值，即为cs∠AED的值．
解答： 解：∵∠AED与∠ABC都对，
∴∠AED=∠ABC，
在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，
根据勾股定理得：BC=，
则cs∠AED=cs∠ABC==．
故答案为：
点评： 此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．

16．在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2015时对应的指头是 中指 （填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 根据所给的数据：发现大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n．食指、中指、无名指对的数介于它们之间．因2015=251×8+7，所以数到2015时对应的指头是中指．
解答： 解：∵大拇指对的数是1+8n，小指对的数是5+8n，
又∵2015=251×8+7，
∴数到2009时对应的指头是大拇中指．
故答案为：中指．
点评： 此题考查数字的变化规律，只需找出大拇指和小指对应的数的规律即可解决问题．

三、解答题（共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值：•（1+），其中m满足m﹣2=4．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=••（m﹣3）
=••（m﹣3）
=，
∵m﹣2=4，
∴m=4+，
则原式==6﹣5．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．
解答： 解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF=DF，
∵AE=2，EB=6，
∴AB=AE+EB=2+6=8，
∴OA=4，
∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，
在Rt△OEF中，∠DEB=30°，
∴OF=OE=1，
在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，
根据勾股定理得：DF==，
则CD=2DF=2．
点评： 此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．

19．学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元．
（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题： 优选方案问题．
分析： （1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．根据题意：“租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元”；“租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元”；列出方程组，求解即可；
（2）根据汽车总数不能小于（取整为6）辆，即可求出共需租汽车的辆数；设租用大车m辆，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，由题意得出400m+300（6﹣m）≤2300，得出取值范围，分析得出即可．
解答： 解：（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．
可得方程组，
解得．
答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元；
（2）由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆；
又要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为6）辆，
综合起来可知汽车总数为6辆．
设租用m辆大型车，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，
即Q=400m+300（6﹣m）；
化简为：Q=100m+1800，
依题意有：100m+1800≤2300，
∴m≤5，
又要保证240名师生有车坐，45m+30（6﹣m）≥240，解得m≥4，
所以有两种租车方案，
方案一：4辆大车，2辆小车；
方案二：5辆大车，1辆小车．
∵Q随m增加而增加，
∴当m=4时，Q最少为2200元．
故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车．
点评： 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解．

20．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：=1.4，=1.7，=2.4）．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 应用题．
分析： 本题可通过作辅助线构造直角三角形来解决问题，
（1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAG，∠BAC的度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出．
（2）求树折断前的高度，就是求AC和CD的长，如果过点A作AH⊥CD，垂足为H．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．
解答： 解：（1）延长BA交EF于点G．
在Rt△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°．
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°﹣67°﹣38°=75°．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cs∠ADC=，∴DH=2．
sin∠ADC=，∴AH=2．
在Rt△ACH中，
∵∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，CH=AH=2，
∴AC=2，CH=AH=2．
∴AB=AC+CD=2+2+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．
点评： 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．

21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
专题： 几何综合题．
分析： （1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；
（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
解答： 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°．
点评： 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．

22．如图，以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点D，E为AC的中点，且AB=8cm，AC=6cm．
（1）求AD的长和sin∠B的值；
（2）连结OE，判断OE与AD是否垂直？为什么？
（3）判断DE是否是⊙O的切线？若是，试求出切线DE的长；若不是，请说明理由．
考点： 切线的判定；解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： （1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理计算出BC=10cm，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，然后可利用面积法求出AD的长，利用正弦的定义计算sin∠B的值；
（2）先判断DE为Rt△ACD的斜边AC上的中线，则EA=ED，根据线段垂直平分线的逆定理得点E在AD的垂直平分线上，同样可得点O在AD的垂直平分线上，于是可判断OE垂直平分AD，即OE⊥AD；
（3）由EA=ED得∠EDA=∠EAD，由OD=OA得∠ODA=∠OAD，则∠ODE=∠OAE=90°，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；然后根据直角三角形斜边上的中线性质计算DE的长．
解答： 解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=8cm，AC=6cm．
∴BC==10cm，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD•BC=AC•AB，
∴AD==4.8（cm），
sin∠B===；
（2）OE⊥AD．理由如下：
∵E为AC的中点，
∴DE为Rt△ACD的斜边AC上的中线，
∴EA=ED，
∴点E在AD的垂直平分线上，
∵OD=OA，
∴点O在AD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分AD，
即OE⊥AD；
（3）DE是⊙O的切线．理由如下：
∵EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠OAD，
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴ED⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
DE=AC=6cm．
点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．

23．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去．
（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式．
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由．
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据题意可得出y1与y2与x之间的函数关系．
（2）由题意可知y=（100+x）（100﹣x），化简可解．
解答： 解：（1）由题意得：
y1=100+x，
y2==x，
（2）y=（100+x）（100﹣x），
即：y=﹣（x﹣50）2+11250，
因为提价前包房费总收入为100×100=10000元．
当x=50时，可获最大包房收入11250元，
∵11250＞10000．
又∵每次提价为20元，每间包房晚餐提高40元与每间包房晚餐提高60元获得包房收入相同，
∴每间包房晚餐应提高40元或60元．
但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好．
∴每间包房晚餐应提高60元．
点评： 本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．

24．如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]
（1）k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题；分类讨论．
分析：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标；
（2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和；
（3）设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．
解答： 解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3
∴y=x2﹣2x﹣3，
令y=0，
即x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为M（1，﹣4），连接OM．
则△AOC的面积=，△MOC的面积=，
△MOB的面积=6，
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．
说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．
（3）如图（2），设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD．
则0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0
且△AOC的面积=，△DOC的面积=m，
△DOB的面积=﹣（m2﹣2m﹣3），
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=﹣m2+m+6
=﹣（m﹣）2+．
∴存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大为．
（4）有两种情况：
如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．
∵∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴点E的坐标为（0，3）．
∴直线BE的解析式为y=﹣x+3．
由
解得
∴点Q1的坐标为（﹣2，5）．
如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴点F的坐标为（﹣3，0）．
∴直线CF的解析式为y=﹣x﹣3．
由
解得
∴点Q2的坐标为（1，﹣4）．
综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．
说明：如图（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样可以．
点评： 本题考查了抛物线解析式的求法，运用解析式解决面积问题，及求构成直角三角形的条件等知识．