【解析版】松原市扶余县2022学年九年级上期中数学试卷

这是一份【解析版】松原市扶余县2022学年九年级上期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年吉林省松原市扶余县九年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．一元二次方程（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是（　　）
　 A． 7 B． 5 C． 5或3 D． 7或5
　
2．用配方法解下列方程时，配方错误的是（　　）
　 A． x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B． x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
　 C． 2x2﹣7x﹣4=0化为（x﹣）2= D． 3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
　
3．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
　 A． 50（1+x）2=175 B． 50+50（1+x）+50（1+x）2=175
　 C． 50（1+x）+50（1+x）2=175 D． 50+50（1+x）2=175
　
4．在抛物线y=x2﹣4x﹣4上的一个点是（　　）
　 A． （4，4） B． （，） C． （3，﹣1） D． （﹣2，﹣8）
　
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，则下列结论正确的是（　　）

　 A． h＞0，k＞0 B． h＜0，k＞0 C． h＜0，k＜0 D． h＞0，k＜0
　
6．吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距P地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（　　）

　 A． 9.2米 B． 9.1米 C． 9米 D． 5.1米
　
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．若方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2﹣x1=　　　　　　．
　
8．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点为B（a，﹣2），则a=　　　　　　．
　
9．将抛物线y=3x2+2先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为　　　　　　．
　
10．若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为　　　　　　．
　
11．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是　　　　　　．

　
12．（3分）（2013•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为　　　　　　．

　
13．如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是　　　　　　（写出一个即可）

　
14．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是　　　　　　（结果保留π）

　
　
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：
（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
　
16．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有361人受到感染，问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
　
17．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣3，4），（﹣1，0）．求其函数的解析式．
　
18．如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50，
（1）求∠AOB的度数；
（2）求点O到AB的距离．

　
　
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是　　　　　　图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是　　　　　　（结果保留π）．

　
20．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

　
21．如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．

　
22．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．
　
　
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．

　
24．如图，抛物线y=﹣x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若P是x轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（直接写出答案）

　
　
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm的速度向左运动，最终点A与点M重合．
（1）求重叠部分面积（即图中阴影面积）y（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式．
（2）经过几秒钟重叠部分面积等于8cm2？

　
26．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　　　　　　；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　　　　　　．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．

　
　

2022学年吉林省松原市扶余县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）
1．一元二次方程（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是（　　）
　 A． 7 B． 5 C． 5或3 D． 7或5

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：方程变形得：（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，
分解因式得：（x﹣5）（x﹣5﹣2）=0，
解得：x1=5，x2=7．
故选D．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
　
2．用配方法解下列方程时，配方错误的是（　　）
　 A． x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B． x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
　 C． 2x2﹣7x﹣4=0化为（x﹣）2= D． 3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=

考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
解答： 解：A、x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100，故本选项正确；
B、x2+8x+9=0化为（x+4）2=7，故本选项错误；
C、2x2﹣7x﹣4=0化为（x﹣）2=，故本选项正确；
D、3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=，故本选项正确；
故选：B．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
　
3．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
　 A． 50（1+x）2=175 B． 50+50（1+x）+50（1+x）2=175
　 C． 50（1+x）+50（1+x）2=175 D． 50+50（1+x）2=175

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
解答： 解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选B．
点评： 本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．
　
4．在抛物线y=x2﹣4x﹣4上的一个点是（　　）
　 A． （4，4） B． （，） C． （3，﹣1） D．（﹣2，﹣8）

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 把x=4、﹣、3、﹣2分别代入y=x2﹣4x﹣4，计算出对应的函数值后进行判断．
解答： 解：∵当x=4时，y=x2﹣4x﹣4=42﹣4×4﹣4=﹣4；
当x=﹣时，y=x2﹣4x﹣4=（﹣）2﹣4×（﹣）﹣4=﹣；
当x=3时，y=x2﹣4x﹣4=32﹣4×3﹣4=﹣7；
当x=﹣2时，y=x2﹣4x﹣4=（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣4=8；
∴点（﹣，﹣）在抛物线y=x2﹣4x﹣4上．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，其图象上点的坐标满足其解析式．
　
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，则下列结论正确的是（　　）

　 A． h＞0，k＞0 B． h＜0，k＞0 C． h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0

考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 根据抛物线所的顶点坐标在x轴的上方即可得出结论．
解答： 解：∵抛物线y=﹣2（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，
∴h＞0，k＞0．
故选：A．
点评： 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
　
6．吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距P地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（　　）

　 A． 9.2米 B． 9.1米 C． 9米 D． 5.1米

考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： 假设抛物线方程为：y=ax2+bx+c根据图形，我们建立坐标轴，那么抛物线过：（﹣4 0）、（4 0）、（﹣3 4）、（3 4）这四个坐标．则利用这四个点坐标直接代到抛物线方程可以求c，而这个c刚好就是我们要求的那个高了．
解答： 解：已知如图所示建立平面直角坐标系：
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c，又已知抛物线经过（﹣4，0），（4，0），（﹣3，4），（3，4），
可得，
求出a=﹣，b=0，c=，
故y=﹣x2+，
当x=0时，y≈9.1米．
故选：B．

点评： 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．若方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2﹣x1=　1　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
分析： 首先将方程左边因式分解，再利用方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），得出x1，x2的值进而得出答案．
解答： 解：∵x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
∵x1＜x2，
∴解得：x1=0，x2=1，
则x2﹣x1=1﹣0=1．
故答案为：1．
点评： 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法将原式整理为相乘等于0的形式是解题关键．
　
8．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点为B（a，﹣2），则a=　1　．

考点： 关于原点对称的点的坐标．
分析： 利用关于原点对称点的坐标性质得出a的值即可．
解答： 解：∵点A（﹣1，2）关于原点对称的点为B（a，﹣2），
∴a=1，
故答案为：1．
点评： 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
　
9．将抛物线y=3x2+2先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为　y=3（x﹣4）2　．

考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 把抛物线平移的问题转化为点的平移：先确定抛物线y=3x2+2的顶点坐标，再求出顶点平移后的对应点的坐标，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
解答： 解：抛物线y=3x2+2的顶点坐标为（0，2），把点（0，2）先向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到点的坐标为（﹣4，0），所以平移后的抛物线的解析式为y=3（x﹣4）2．
故答案为y=3（x﹣4）2．
点评： 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
　
10．若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为　4　．

考点： 抛物线与x轴的交点．
专题： 压轴题．
分析： 先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．
解答： 解：二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，求得x1=﹣1，x2=3，
则AB=|x2﹣x1|=4．
点评： 要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|，并熟练运用．
　
11．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是　19　．


考点： 旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=10，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=10，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=9，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=10，
∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=10，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=9，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19．
故答案为：19．
点评： 本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
　
12．（3分）（2013•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为　（4，0）　．


考点： 勾股定理；坐标与图形性质．
分析： 首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC﹣AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．
解答： 解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8），
∴AO=6，BO=8，
∴AB==10，
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
∴AB=AC=10，
∴OC=AC﹣AO=4，
∵交x正半轴于点C，
∴点C的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
点评： 本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长．

13．如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是　70°　（写出一个即可）


考点： 圆周角定理；等腰三角形的性质；垂径定理．
专题： 开放型．
分析： 当P点与D点重合是∠DAB=75°，与O重合则OAB=60°，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，所以∠PAB的度数可以是60°﹣﹣75°之间的任意数．
解答： 解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
点评： 本题考查了垂径定理，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质．
　
14．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是　3π　（结果保留π）


考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 压轴题；操作型．
分析： 作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC求解．
解答： 解；如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，
∵OD=AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形AOC==3π．
故答案为：3π．

点评： 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是确定∠AOC=120°．
　
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：
（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0
（2）x2﹣x﹣1=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： （1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
解答： 解：（1）分解因式得：3（x﹣3）（x﹣1）=0，
可得x﹣3=0或x﹣1=0，
解得：x1=3，x=1；
（2）这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
∵△=1+4=5，
∴x=．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法与公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

16．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有361人受到感染，问每轮传染中平均一个人传染了几个人？

考点： 一元二次方程的应用．
分析： 设每轮传染中平均一个人传染了x人，开始有一个人患了“埃博拉”病毒，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮后共有（1+x）人患了“埃博拉”病毒；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有[1+x+x（1+x）]人患了“埃博拉”病毒，而此时这个人数是361，据此列出方程．
解答： 解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得：
（1+x）2=361
∴1+x=±19
解得 x1=18，x2=20（舍去）
答：每轮传染中平均一个人传染了18人．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
　
17．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣3，4），（﹣1，0）．求其函数的解析式．

考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 直接把点（﹣3，4），（﹣1，0）代入解析式得到关于b和c的方程组，然后解方程组确定b和c的值，从而得到二次函数解析式．
解答： 解：把点（﹣3，4），（﹣1，0）的坐标分别代入y=x2+bx+c中得
解得．
故这个二次函数的解析式为y=x2+2x+1．
点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
　
18．如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50，
（1）求∠AOB的度数；
（2）求点O到AB的距离．


考点： 垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： （1）判断出三角形OAB是等边三角形即可得出∠AOB的度数；
（2）过点O作OC⊥AB于点C，根据等边三角形的性质及勾股定理的知识，可求出OC．
解答： 解：（1）∵OA=OB=50，AB=50，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°；

（2）过点O作OC⊥AB于点C，
则AC=BC=AB=25，
在Rt△OAC中，OC==25．
即点O到AB的距离为25．
点评： 本题考查了垂径定理、勾股定理及等边三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，难度一般，注意各知识点的掌握．
　
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是　轴对称　图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是　4π　（结果保留π）．


考点： 作图-旋转变换．
专题： 作图题．
分析： （1）根据旋转度数和方向分别作出弧即可；
（2）根据图形的轴对称性解答；求出四次旋转的度数之和，然后根据弧长公式列式计算即可得解．
解答： 解：（1）如图所示；

（2）所画图形是轴对称图形；
旋转的度数之和为270°+90°×2+270°=720°，
所画图形的周长==4π．
故答案为：4π．
点评： 本题考查利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键．
　
20．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．


考点： 圆周角定理；勾股定理．
专题： 压轴题．
分析： 根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．
解答： 解：∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm
∴BC2=AB2﹣AC2=102﹣62=64
∴BC==8（cm）
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴
∴AD=BD
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2
∴AD2+BD2=102
∴AD=BD==5（cm）．
点评： 解答此题要抓住两个关键，
（1）判断出△ABC和△ABD是直角三角形，以便利用勾股定理；
（2）判断出线段AD=DB，然后将各种线段转化到直角三角形中利用勾股定理解答．
　
21．如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．


考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 根据垂径定理可得AF=AB，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵弓形的跨度AB=3m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB，
∴AF=AB=m，
∵所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1m，
∴AO=r，OF=r﹣1，
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，
即r2=（）2+（r﹣1）2，
解得r=（m）．
答：所在圆O的半径为m．
点评： 本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，此类题目通常采用把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答．
　
22．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．

考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据矩形周长为12m，一边长为x，得出另一边为6﹣x，再根据矩形的面积公式即可得出答案．
（2）根据（1）得出的关系式，利用配方法进行整理，可求出函数的最大值，从而得出答案．
解答： 解：（1）∵矩形的一边长为x米，
∴另一边长为米，即（6﹣x）米，
∴S=x（6﹣x）=﹣x2+6x，
即S=﹣x2+6x，其中0＜x＜6；

（2）根据（1）得：S=x（6﹣x）=﹣（x﹣3）2+9，
则矩形一边长为3m时，面积最大为9m2，
则此时最大费用为9×1000=9000（元）．
点评： 本题考查的是二次函数的实际应用以及矩形面积的计算公式，关键是根据矩形的面积公式=长×宽列出关系式．
　
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．

考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可．
解答： （1）证明：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中

∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵△EOC≌△DOC，
∴CE=CD=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12．

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC．
　
24．如图，抛物线y=﹣x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若P是x轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（直接写出答案）


考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；等腰三角形的判定．
分析： （1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式，把解析式换成顶点式即可求得顶点坐标．
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①PA=AB，先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出OB的长，进而可求出AB的长，也就知道了PB的长，由此可求出P点的坐标；
②PB=AB，此时P与A关于y轴对称，由此可求出P点的坐标．
解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点A（1，0）
∴n=﹣3
∴y=﹣x2+4x﹣3；
∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1）；
（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3，
∴令x=0，则y=﹣3，
∴B点坐标（0，﹣3），AB=，
①当PA=AB时，PA=AB=，
∴OP=PA﹣OA=﹣1或OP=+1．
∴P（﹣+1，0）或（+1，0）；
②当PB=AB时，P、A关于y轴对称，
∴P（﹣1，0）
因此P点的坐标为（﹣+1，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．
点评： 本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的构成等知识点，主要考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．
　
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm的速度向左运动，最终点A与点M重合．
（1）求重叠部分面积（即图中阴影面积）y（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式．
（2）经过几秒钟重叠部分面积等于8cm2？


考点： 一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．
专题： 几何动点问题．
分析： （1）根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据等量关系：重叠部分面积等于8cm2，列出方程求解即可．
解答： 解：（1）AM=20﹣2t，
则重叠部分面积；
（2）当y=8时，，
解得t1=8，t2=12（舍去）
故经过8秒钟重叠部分面积等于8cm2．
点评： 考查了一元二次方程的应用．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
　
26．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　y=﹣x2﹣x+2　；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　y=﹣4x+4　．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．


考点： 二次函数综合题；一次函数的应用；勾股定理；等腰直角三角形；平行四边形的性质；作图-旋转变换．
专题： 压轴题；新定义．
分析： （1）若l：y=﹣2x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：y=﹣x2﹣3x+4，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求出l表示的函数解析式；
（2）根据对称轴的定义解答即可；
（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．注意：点Q的坐标有两个，如答图1所示，不要漏解；
（4）如答图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx﹣4m中m的值，最后分别求出l，P表示的函数解析式．
解答： 解：（1）若l：y=﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）．
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，
∴D（﹣2，0）．
设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：
，
解得，
∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；
若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），
则D（﹣4，0），A（1，0）．
∴B（0，4）．
设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：
，解得，
∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4．

（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），
令y=0，即mx+n=0，得x=﹣；
令x=0，得y=n．
∴A（﹣，0）、B（0，n），
∴D（﹣n，0）．
设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），
∵DN=AN，
∴﹣﹣x=x﹣（﹣n），
∴2x=﹣n﹣，
∴P的对称轴为x=﹣．

（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4），
∴C（0，2）、D（﹣4，0）．
可求得直线CD的解析式为：y=x+2．
由（2）可知，P的对称轴为x=﹣1．
∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，
∴FQ∥CE，且FQ=CE．
设直线FQ的解析式为：y=x+b．
∵点E、点C的横坐标相差1，
∴点F、点Q的横坐标也是相差1．
则|xF﹣（﹣1）|=|xF+1|=1，
解得xF=0或xF=﹣2．
∵点F在直线ll：y=﹣2x+4上，
∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．
若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=x+4，
当x=﹣1时，y=，
∴Q1（﹣1，）；
若F（﹣2，8），则直线FQ的解析式为：y=x+9，
当x=﹣1时，y=，
∴Q2（﹣1，）．
∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．

（4）如答图2所示，连接OG、OH．
∵点G、H为斜边中点，
∴OG=AB，OH=CD．
由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，
∴△OGH为等腰直角三角形．
∵点M为GH中点，
∴△OMG为等腰直角三角形，
∴OG=OM=•=2，
∴AB=2OG=4．
∵l：y=mx﹣4m，
∴A（4，0），B（0，﹣4m）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，
即：42+（﹣4m）2=（4）2，
解得：m=﹣2或m=2，
∵点B在y轴正半轴，
∴m=2舍去，∴m=﹣2．
∴l表示的函数解析式为：y=﹣2x+8；
∴B（0，8），D（﹣8，0）．
又A（4，0），
利用待定系数法求得P：y=﹣x2﹣x+8．


点评： 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、旋转变换、平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理等多个知识点，综合性较强，有一定的难度．题干中定义了“关联抛物线”与“关联直线”的新概念，理解这两个概念是正确解题的前提．