【解析版】永州市祁阳县2022学年九年级上期末数学试卷

这是一份【解析版】永州市祁阳县2022学年九年级上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年湖南省永州市祁阳县九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分.）
1．下列各点中，在函数y=﹣的图象上的点是（　　）
　 A． （，﹣6）B． （﹣，﹣6） C． （2，﹣6） D． （﹣2，6）
　
2．一元二次方程y2﹣4=0的实数根是（　　）
　 A． 2 B． C． ±2 D． ±
　
3．已知⊙O的半径r=5，圆心O到直线l的距离为（　　）时，圆与直线l相交．
　 A． 7 B． 6 C． 5 D． 4
　
4．若点（﹣1，3），（3，3）是二次函数y=ax2+bx+c图象上的两点，则此二次函数的对称轴是（　　）
　 A． 直线x=﹣1 B． 直线x=0 C． 直线x=1 D． 直线x=2
　
5．点M、N、P是△ABC三边的中点，下列说法正确的是（　　）
　 A． △ABC与△MNP的面积之比为2：1
　 B． △ABC与△MNP的周长之比是2：1
　 C． △ABC与△MNP的高之比是1：1
　 D． △ABC与△MNP的中线之比是4：1
　
6．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（　　）

　 A． 5m B． 6m C． 7m D． 8m
　
7．下列命题中：①所有的等腰三角形都相似；②在三角形内不存在到三条边的距离相等的点；③圆的内接正多边形是轴对称图形；④三角形的外心不会在该三角形的边上．其中正确命题的个数为（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
　
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x=﹣1，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论是（　　）

　 A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④
　
　
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分.）
9．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取了100件来检查，发现有20件次品．试估计这批产品的次品率是　　　　　　．
　
10．已知a：b=2：5，且a+b=14，则b=　　　　　　．
　
11．点A（1，m），B（﹣2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m　　　　　　n（填“＞”“＜”或“=”）
　
12．已知圆的半径为4，圆心为O，∠AOB=60°，则扇形OAB的面积是　　　　　　．

　
13．函数y=﹣x2+4x+3有　　　　　　值（填“最大”或“最小”），所求最值是　　　　　　．
　
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB，则tan∠ABC=　　　　　　．
　
15．关于x的方程（m﹣3）﹣x=5是一元二次方程，则m=　　　　　　．
　
16．将二次函数y=x2﹣4x+3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则两次平移后的图象的表达式是　　　　　　．
　
　
三、解答题（本大题共9小题，共计72分，请你写出必要的解题步骤.）
17．解下列方程
（1）x2﹣x+2=0
（2）2x2﹣3x﹣5=0．
　
18．已知反比例函数y=﹣．
（1）画出该函数的大致图象．
（2）这个函数的大致图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？
　
19．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式．

　
20．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．

　
21．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）：
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
为使水稻品种的产量比较稳定，根据题中所给的数据，你选择哪种水稻品种？请说明理由．
　
22．小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD=2，求AC的长．

　
23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

　
24．已知二次函数的表达式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．
　
25．如图，有一边长为5的正方形ABCD和一等腰△PQR，PQ=PR=5，QR=8，点B、Q、C、R在同一直线l上，当Q、C两点重合时，等腰△PQR以每秒1cm的速度沿直线l按箭头所示的方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD和等腰△PQR重叠部分的面积为S．
（1）当t=3秒时，PQ与CD相交于点F，点E为QR的中点，连结PE，求证：△QCF∽△QEP．
（2）当t=5秒时，求S的值．
（3）当8≤t＜9时，求S关于t的函数表达式．
（4）当9≤t≤13时，求S关于t的函数表达式．

　
　

2022学年湖南省永州市祁阳县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分.）
1．下列各点中，在函数y=﹣的图象上的点是（　　）
　 A． （，﹣6） B． （﹣，﹣6） C． （2，﹣6） D． （﹣2，6）

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 先计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
解答： 解：∵×（﹣6）=﹣3，﹣×（﹣6）=3，2×（﹣6）=﹣12，﹣2×6=﹣12，
∴点（，﹣6）在函数y=﹣的图象上．
故选A．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
　
2．一元二次方程y2﹣4=0的实数根是（　　）
　 A． 2 B． C． ±2 D． ±

考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 移项，开方，即可得出选项．
解答： 解：y2﹣4=0，
y2=4，
y=±2，
故选C．
点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
　
3．已知⊙O的半径r=5，圆心O到直线l的距离为（　　）时，圆与直线l相交．
　 A． 7 B． 6 C． 5 D． 4

考点： 直线与圆的位置关系．
分析： 直接根据直线和圆相交的条件即可得出结论．
解答： 解：∵⊙O的半径r=5，圆与直线l相交，
∴圆心O到直线l的距离d＜5．
故选D．
点评： 本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键．
　
4．若点（﹣1，3），（3，3）是二次函数y=ax2+bx+c图象上的两点，则此二次函数的对称轴是（　　）
　 A． 直线x=﹣1 B． 直线x=0 C． 直线x=1 D． 直线x=2

考点： 二次函数的性质．
分析： 先根据点A（﹣1，3），B（3，3）的纵坐标相等可知两点关于抛物线的对称轴对称，再根据中点坐标公式求出对称轴直线即可．
解答： 解：∵点A（﹣1，3），B（3，3）的纵坐标相等，
∴两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为：x==1．
故选C．
点评： 本题考查的是二次函数的性质，根据题意得出两点关于抛物线的对称轴对称是解答此题的关键．
　
5．点M、N、P是△ABC三边的中点，下列说法正确的是（　　）
　 A． △ABC与△MNP的面积之比为2：1
　 B． △ABC与△MNP的周长之比是2：1
　 C． △ABC与△MNP的高之比是1：1
　 D． △ABC与△MNP的中线之比是4：1

考点： 三角形中位线定理．
分析： 根据三角形中位线定理可以判定图中的相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行解答．
解答： 解：∵M、N是△ABC的边AB、AC的中点，
∴MN∥BC，且MN=BC，
∴△AMN∽△ABC，且=，即相似比是．
同理，△CNP∽△ABC，△BMP∽△ABC，且相似比都是．
A、=，则S△AMN=S△ABC．
同理S△CNP=S△ABC，S△BMP=S△ABC．
所以 S△MNP=S△ABC﹣3×S△ABC=S△ABC．
即S△ABC：S△MNP=4：1．
故本选项错误；
B、∵MN=BC，MP=AC，NP=AB，
∴△MNP的周长=（BC+AC+AB）=△ABC的周长，即△ABC与△MNP的周长之比是2：1．
故本选项正确；
C、由S△ABC：S△MNP=4：1知，△ABC与△MNP的高之比是2：1．故本选项错误；
D、由S△ABC：S△MNP=4：1知，△ABC与△MNP的高之比是2：1．故本选项错误；
故选：B．

点评： 本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理判定相似三角形且得到相似三角形的相似比是解题的关键．
　
6．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（　　）

　 A． 5m B． 6m C． 7m D． 8m

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 压轴题．
分析： 利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．
解答： 解：∵水平距离为4m．
∴铅直高度为0.75×4=3m．
根据勾股定理知：坡面相邻两株数间的坡面距离为5m．
故选A．
点评： 本题主要考查直角三角形问题．利用坡度tanα=0.75=求解．
　
7．下列命题中：①所有的等腰三角形都相似；②在三角形内不存在到三条边的距离相等的点；③圆的内接正多边形是轴对称图形；④三角形的外心不会在该三角形的边上．其中正确命题的个数为（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 命题与定理．
分析： 根据三角形相似的判定对①进行判断；根据三角形内心的性质对②进行判断；根据圆内接正多边形的性质对③进行判断；根据三角形外心的定义对④进行判断．
解答： 解：所有的等腰三角形不一定相似，所以①错误；
三角形的内心到三条边的距离相等的点，所以②错误；
圆的内接正多边形是轴对称图形，所以③正确；
直角三角形的外心在该三角形的边上，所以④错误，
故选A．
点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
　
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x=﹣1，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论是（　　）

　 A． ①② B． ①④ C．②③ D． ③④

考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=1得到b=2a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x=1时，函数值为正数得到a+b+c＞0；由x=﹣1时，函数值为负数得到a﹣b+c＜0．
解答： 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b=2a，
∴2a﹣b=0，所以②错误；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以③正确；
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④正确．
故答案为：③④．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0．
　
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分.）
9．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取了100件来检查，发现有20件次品．试估计这批产品的次品率是　　．

考点： 利用频率估计概率．
分析： 用次品的件数除以抽取的总数即可求得产品的次品率．
解答： 解：∵共100件，次品20件，
∴这批产品的次品率为=，
故答案为：．
点评： 考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解计算的公式，比较简单．
　
10．已知a：b=2：5，且a+b=14，则b=　10　．

考点： 比例的性质．
分析： 根据比例的性质，可用B表示a，根据a+b可得关于b的方程，根据解方程，可得答案．
解答： 解：由a：b=2：5，得
a=b．
把a=b代入a+b=14，
得b+b=14．
解得b=10，
故答案为：10．
点评： 本题考查了比例的性质，利用b表示a得出关于b的方程是解题关键．
　
11．点A（1，m），B（﹣2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m　＜　n（填“＞”“＜”或“=”）

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 由反比例函数的比例系数为负，那么图象过二四象限可得m＜0和n＞0的大小．
解答： 解：∵反比例函数的比例系数为﹣3，
∴图象过二四象限，
∵1＞﹣2，
∴m＜0，n＞0，
∴m＜n
故答案为＜．
点评： 解决本题的关键是根据反比例函数的比例系数得到函数图象所在的象限，用到的知识点为：k＜0，图象的两个分支分布在第二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
　
12．已知圆的半径为4，圆心为O，∠AOB=60°，则扇形OAB的面积是　　．


考点： 扇形面积的计算．
分析： 根据∠AOB=60°，代入扇形的面积公式运算即可．
解答： 解：∵∠AOB=60°，
∴S扇形AOB==．
故答案为：．
点评： 本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，注意熟练掌握扇形的面积公式．
　
13．函数y=﹣x2+4x+3有　最大　值（填“最大”或“最小”），所求最值是　7　．

考点： 二次函数的最值．
分析： 把二次函数化成顶点式可求得其最大值，可得出答案．
解答： 解：∵y=﹣x2+4x+3=﹣（x﹣2）2+7，
∴二次函数开口向下，当x=2时有最大值7，
故答案是：最大，7．
点评： 本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式求最值是解题的关键，即二次函数y=a（x﹣h）2+k当x=h时有最值k．
　
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB，则tan∠ABC=　　．

考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 利用锐角三角函数关系得出∠B的值，即可得出答案．
解答： 解：如图所示：∵∠C=90°，AC=AB，
∴sinB=，
∴∠B=30°，
∴tan∠ABC=．
故答案为：．

点评： 此题主要考查了锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数值，正确得出∠B的度数是解题关键．
　
15．关于x的方程（m﹣3）﹣x=5是一元二次方程，则m=　﹣3　．

考点： 一元二次方程的定义．
分析： 本题根据一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，所以m2﹣7=2，且m﹣3≠0，解得m的值．
解答： 解：由一元二次方程的特点得，解得m=﹣3．
点评： 要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
　
16．将二次函数y=x2﹣4x+3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则两次平移后的图象的表达式是　y=x2+2　．

考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： 先利用配方法得到二次函数y=x2﹣4x+3的图象的顶点坐标为（2，﹣1），再根据点平移的规律得到点（2，﹣1）经过平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的二次函数图象的解析式．
解答： 解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴二次函数y=x2﹣4x+3的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∵点（2，﹣1）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得对应点的坐标为（0，2），
∴平移后的二次函数图象的解析式为y=x2+2．
故答案为y=x2+2．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
　
三、解答题（本大题共9小题，共计72分，请你写出必要的解题步骤.）
17．解下列方程
（1）x2﹣x+2=0
（2）2x2﹣3x﹣5=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： （1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：（1）这里a=1，b=﹣1，c=2，
∵△=1﹣8=﹣7＜0，
∴原方程没有实数根；
（2）方程因式分解得：（2x﹣5）（x+1）=0，
可得2x﹣5=0或x+1=0，
解得：x1=2.5，x2=﹣1．
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
　
18．已知反比例函数y=﹣．
（1）画出该函数的大致图象．
（2）这个函数的大致图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？

考点： 反比例函数的图象；反比例函数的性质．
分析： （1）用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（2）根据（1）中的函数图象可以直接回答问题．
解答：解：（1）根据反比例函数y=﹣知，
当x=1时，y=2．
当x=2时，y=﹣1．
当x=3时，y=﹣．
即该双曲线经过（1，﹣2），（2，﹣1），（3，﹣），然后根据双曲线的对称性画出在第四象限的另一支．
如图所示：

（2）由（1）中的图象知，该函数的大致图象位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
点评： 本题考查了反比例函数的图象与性质．反比例函数的图象成中心对称，对称中心是原点．
　
19．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式．


考点： 二次函数的应用．
分析： 首先建立平面直角坐标系，进而利用顶点式求出函数解析式，即可得出答案．
解答： 解：如图所示．
由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），
设抛物线的表达式为y=ax2+11，
将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得：，
所以抛物线的表达式为：y=﹣x2+11．

点评： 此题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
　
20．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．


考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
分析： （1）根据垂径定理，得到=，再根据圆周角与圆心角的关系，得知∠E=∠O，据此即可求出∠DEB的度数；
（2）由垂径定理可知，AB=2AC，在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求AC即可．
解答： 解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴=，∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°；

（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AC=BC，即AB=2AC，
在Rt△AOC中，AC===4，
则AB=2AC=8．
点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理．关键是由垂径定理得出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理．
　
21．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）：
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
为使水稻品种的产量比较稳定，根据题中所给的数据，你选择哪种水稻品种？请说明理由．

考点： 方差．
分析： 首先求得平均产量，然后求得方差，比较方差，越小越稳定．
解答： 解：根据表格中的数据求得甲的平均数=（9.8+9.9+10.1+10+10.2）÷5=10；
乙的平均数=（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）÷5=10，
甲种水稻产量的方差是：
[（9.8﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2]=0.02，
乙种水稻产量的方差是：
[（9.4﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（9.8﹣10）2]=0.244．
∴0.02＜0.244，
∴产量比较稳定的水稻品种是甲．
点评： 此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
　
22．小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD=2，求AC的长．


考点： 勾股定理．
分析： 在直角△BDC中根据勾股定理得到BC的长，进而在直角△ABC中，根据勾股定理，求出AC的长．
解答： 解：∵BD=CD=2，
∴，
∴设AB=x，则AC=2x，
∴，
∴x2+8=4x2，
∴3x2=8，
∴x2=，
∴x=，
AC=2AB=．
点评： 本题解决的关键是利用勾股定理，先求出两个直角三角形的公共边BC．
　
23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．


考点： 相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．
专题： 计算题；证明题．
分析： （1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
解答： （1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
点评： 此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
　
24．已知二次函数的表达式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．
（1）试判断该二次函数的图象与x轴交点的个数？并说明理由．
（2）此二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，求m的值．

考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： （1）首先求出△=b2﹣4ac的值，进而得出答案；
（2）利用二次函数的图象与函数y=2x+m+4的图象的一个交点在y轴上，则常数项相等，进而得出答案．
解答： 解：（1）∵△=b2﹣4ac=[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）=1＞0，
∴方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0有两个不相等的实数根．
∴二次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m与x轴有两个交点．

（2）令x=0，则m2﹣m=m+4，
解得：m1=1+，m2=1﹣．
点评： 此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
　
25．如图，有一边长为5的正方形ABCD和一等腰△PQR，PQ=PR=5，QR=8，点B、Q、C、R在同一直线l上，当Q、C两点重合时，等腰△PQR以每秒1cm的速度沿直线l按箭头所示的方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD和等腰△PQR重叠部分的面积为S．
（1）当t=3秒时，PQ与CD相交于点F，点E为QR的中点，连结PE，求证：△QCF∽△QEP．
（2）当t=5秒时，求S的值．
（3）当8≤t＜9时，求S关于t的函数表达式．
（4）当9≤t≤13时，求S关于t的函数表达式．


考点： 相似形综合题．
分析： （1）根据PE⊥QR，得出FC∥PE，即可证出△QCF∽△QEP；
（2）当t=5秒时，先根据△QFB∽△QPE，△RCG∽△REP，求出S△QFB、S△RCG，最后根据S=S△PRQ﹣S△QFB﹣S△RCG代入计算即可；
（3）当8≤t＜9时，根据QB：QE=（t﹣5）：4，△QFB∽△QPE，求出S△QFB，再根据S=S△PEQ﹣S△QFB代入计算即可；
（4）当9＜t≤13时，根据RB：RE=（13﹣t）：4，△RFB∽△RPE，求出S△RFB，再根据S=S△RFB把所得结果进行整理即可．
解答： 解：（1）如图1：
∵PQ=PR，点E为QR的中点，
∴PE⊥QR，
∴FC∥PE，
∴△QCF∽△QEP；

（2）当t=5时，CR=3．
设PR与DC交于G，∵PE⊥BC，PQ=PR=5，QR=8，
∴PE==3，
由△RCG∽△REP，
∴，
∴CG=，
∴S△RCG=×3×=，
∴S=12﹣=（cm2）；


（3）如图3：当8≤t＜9时，
则QB：QE=（t﹣5）：4，
∵△QFB∽△QPE，
∴S△QFB：S△QPE=（t﹣5）2：16，
∴S△QFB：6=（t﹣5）2：16，
∴S△QFB=（t﹣5）2，
∴S=S△PEQ﹣S△QFB=12﹣（t﹣5）2=﹣t2++，
如图4：
当9＜t≤13时，
则RB：RE=（13﹣t）：4，
∵△RFB∽△RPE，
∴S△RFB：S△RPE=（13﹣t）2：16，
∴S△RFB：6=（13﹣t）2：16，
∴S=S△RFB=（13﹣t）2=t2﹣+．




点评： 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、相似三角形的面积之比等于相似比的平方、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论思想的运用．