北京市海淀区北大附中实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

这是一份北京市海淀区北大附中实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题，共30页。试卷主要包含了9的平方根是，给出下列各数，下列五个命题，已知等内容，欢迎下载使用。

北京市海淀区北大附中实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．9的平方根是（       ）
A．3 B． C． D．
2．根据下列表述，能够确定具体位置的是（　　）
A．北偏东25°方向
B．距学校800米处
C．国家大剧院音乐厅4排
D．东经116°20″北纬39°56″
3．如图，在平面直角坐标系中，被手盖住的点的坐标可能为（　　）

A．(3，4) B．(﹣3，4) C．(﹣3，﹣4) D．(3，﹣4)
4．给出下列各数：，π，﹣，0，，0.3131131113…，，其中无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图所示的是天安门周围的景点分布示意图．若以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立坐标系，表示电报大楼的点的坐标为(－4，0)，表示王府井的点的坐标为(3，2)，则表示博物馆的点的坐标为(　   　)

A．(1，0) B．(2，0) C．(1，－2) D．(1，－1)
6．如图，直线，三角板的直角顶点放在直线上，两直角边与直线相交，如果，那么等于（       ）

A． B． C． D．
7．下列五个命题：①相等的角是对顶角：②内错角相等：③邻补角一定互补；④有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是（       ）

A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°
9．已知：，，则（       ）
A． B． C． D．以上答案全不对
10．在平面直角坐标系中，己知定点A(﹣3，2)，B(m，n)，其中m，n为常数且m≠﹣3，点C为平面内的动点，若AC∥x轴，则线段BC长度的最小值及此时点C的坐标分别为（　　）
A．|n﹣2|，(m，2) B．|m﹣2|，(﹣3，n)
C．|n+3|，(m，2) D．|m+3|，(﹣3，n)
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
11．电影票上“8排5号”记作，则“6排7号”记作_______．
12．平面直角坐标系中，点A(，﹣2)到x轴的距离是_______．
13．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠AOD=131°，则∠COE的度数是_______．

14．把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_______．

15．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．如果∠ADE＝126°，那么∠DBC＝_____°．

16．如图，直线11⊥12，在某平面直角坐标系中，x轴∥l1，y轴∥12，点A的坐标为(﹣2，4)，点B的坐标为(4，﹣2)，那么点C在第___象限．

17．如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是________．

评卷人
得分



三、解答题
18．在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题：
（1）将表格填写完整：
点P出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
(0，1)(1，0)
2
2秒
(1，1)(2，0)(0，2)
3
3秒
_______
4

（2）当点P从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是_______．
（3）当点P从点O出发_______秒时，可得到整数点(28，7)．
19．计算
（1）；
（2）．
20．求出下列等式中x的值．
(1)4x2-25=0；
(2)（x-1）3=64．
21．如图，已知点A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)，若三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点P(x，y)经过平移后的对应点为P1(x﹣4，y+2)．

(1)在图中画出三角形A1B1C1；
(2)写出点A1的坐标_______；
(3)直接写出三角形A1B1C1的面积为_______；
(4)点M在y轴上，若三角形MOC1的面积为6，直接．写出点M的坐标为_______．
22．完成下面的证明并在括号内填写依据：
己知：如图，∠B＝∠1，∠A＝∠E．
求证：AC∥EF．

证明：∵∠B＝∠1(已知)，
∴_______∥ED（______________）．
∴∠A＝∠AME（______________）．
∵∠A＝∠E（已知），
∴∠AME＝_______（等量化换）．
∴AC∥EF（______________）．
23．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．

(1)实数m的值是_______；
(2)求|m+1|+|m﹣1|的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，则3c﹣2d的平方根为_______．
24．如图，线段AB，AD交于点A，C为直线AD上一点（不与点A，D重合）．过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G（G与D不重合）．

(1)如图1，若点C在线段AD上，且∠BCA为钝角．
①按要求补全图形；
②用等式表示∠B与∠CGD的数量关系，并证明．
(2)若点C在线段DA的延长线上，请直接写出∠B与∠CGD的数量关系_______．
25．对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点P′的坐标为(a+nb，na+b)（其中n为常数，且n≠0），则称点P'为点P的“n属派生点”．
例如：P(1，4)的“2属派生点”为P'(1+2×4，2×1+4)，即P'(9，6)．
(1)点P(﹣3，5)的“2属派生点”P'的坐标为_______；
(2)若点P的“3属派生点”P'的坐标为(6，2)，则a+b的值为_______；
(3)若点P在x轴上，点P的“n属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP长度的倍，求n的值．
26．已知：直线l1∥l2，A为l1线上的一个定点，D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AB，满足∠AED＝∠DAE．过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．点M在l2上，且在点B的左侧．

(1)如图1，若∠AED＝52°，∠ABM＝130°，则∠BAD的度数为_______；
(2)射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点B在点D左侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点B与点D不重合，∠ABM+∠EAF＝144°，且接写出∠EAF的度数．
27．在平面直角坐标系xOy中，对正数k，定义“k积值对”如下：
如果点A(x1，y1)，B(x2，y2)(A与B可以是同一个点)满足x1•x2＝k，y1•y2＝k，则称A，B构成“k积值对”．
例如：点A(，1)与点B(2，1)构成“1积值对”；点C(2，﹣2)与其自身构成“4积值对”．
(1)已知点A(1，3)与点B构成“1积值对”，则点B的坐标为_______；将线段AB水平向左平移2个单位得到线段，请判断线段上是否存在“1积值对”_______（填“是”或“否”）．
(2)如图所示：已知正方形CDEF的顶点C的坐标为(，)，顶点D的坐标为(，)．请判断正方形CDEF的边界上是否存在“1积值对”，如果不存在请说明理由；如果存在，请直接写出所有的“1积值对”．

(3)对第一象限中的一个正方形，已知它的每条边都垂直于x轴或y轴(边可落在坐标轴上)，且它的一个顶点坐标为(1，0)．
①若该正方形的边界上存在“9积值对”，则此正方形边长的最小值为_______．
②对正数k，若该正方形的边界上存在“积值对”，则此正方形边长的最小值为_______（用含k的式子表示）．

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据平方根的定义，可得9的平方根．
【详解】
∵，
∴9的平方根为±3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念和运算是解题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据确定一个点的具体位置的方法判断即得．确定一个点的具体位置的方法是确定点所在的方向和距离，或用有序数对．
【详解】
A. 北偏东25°方向不能确定一个点的具体位置，缺少距离，故此选项错误；
B. 距学校800米处不能确定一个点的具体位置，缺少方向，故此选项错误；
C. 国家大剧院音乐厅4排不能确定一个点的具体位置，应具体到8排几号，故此选项错误；
D. 东经116°20″北纬39°56″可以确定一个点的具体位置，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查确定位置的方法，熟练掌握确定一个点的具体位置是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据点在直角坐标系内的坐标特征回答即可．
【详解】
解：∵手的位置是在第三象限，
∴手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，
∴结合选项这个点是（-3，-4）．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．D
【解析】
【分析】
根据无理数、有理数的定义解答即可．
【详解】
解：是分数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
无理数有π，-，，0.3131131113…，，共有5个．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
5．D
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．
【详解】
表示电报大楼的点的坐标为（-4，0），表示王府井的点的坐标为（3，2），可得：原点是天安门，
所以可得博物馆的点的坐标是（1，-1）
故选D．
【点睛】
此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．
6．A
【解析】
【分析】
先由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠3=∠1=60°，再由已知直角三角板得∠4=90°，然后由∠2+∠3+∠4=180°求出∠2．
【详解】
已知直线a∥b，

∴∠3=∠1=60°（两直线平行，同位角相等），
∠4=90°（已知），
∠2+∠3+∠4=180°（已知直线），
∴∠2=180°-60°-90°=30°．
故选：A．
【点睛】
此题考查平行线性质的应用，解题关键是由平行线性质：两直线平行，同位角相等，求出∠3．
7．B
【解析】
【分析】
分别根据平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、垂直的性质对各小题进行逐一分析即可．
【详解】
解：①相等的角不一定是对顶角，故本小题错误，不符合题意；
②两直线平行，内错角相等，故本小题错误，不符合题意；
③邻补角一定互补，符合邻补角的性质，正确，是真命题；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误，不符合题意；
⑤如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误，不符合题意；
综上所述，正确的有1个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了命题的判定，熟练掌握平行线、对顶角、邻补角等几何初步知识是解答本题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理分析即可．
【详解】
A、∠A和∠ACE是AB与CE被AC所截形成的内错角，则∠A＝∠ACE时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
B、∠B和∠ACE不属于AB与CE被第三条直线所截形成的任何角，则∠B＝∠ACE时，无法推出AB∥CE，符合题意；
C、∠B和∠ECD是AB与CE被BD所截形成的同位角，则∠B＝∠ECD时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
D、∠B和∠BCE AB与CE被BD所截形成的同旁内角，则∠B+∠BCE＝180°时，可以推出AB∥CE，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，理解并熟练运用平行线的判定定理是解题关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数与算术平方根的关系即可直接求解．
【详解】
0.00236是由23.6小数点向左移动4位得到，则=0.04858；
故选：B．
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，理解被开方数与算术平方根的关系：被开方数向一个方向移动2位，对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动1位．
10．A
【解析】
【分析】
根据题意先设点C坐标为(t, 2)，再用两点间距离公式表示出BC的长度，再根据绝对值的性质和完全平方式的非负性求解即可．
【详解】
解：∵点A(﹣3，2)，B(m，n)，AC∥x轴，
∴AC∥x轴，
∴点C的纵坐标为2，
设C（t，2），
∴ ，
∵m，n为常数且m≠-3，
∴当t=m时，线段BC的长度最小，此时BC的值为 ，
此时C的坐标为．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形，熟练掌握绝对值的性质、两点间距离公式等知识是解答此题的关键．
11．
【解析】
【分析】
根据题中规定的意义即可．
【详解】
“8排5号”记作．
即8排对应了横坐标，5号对应了纵坐标
“6排7号”记作．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于观察已知的坐标意义．
12．2
【解析】
【分析】
根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
点A（，-2）到x轴的距离为|-2|=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟悉点到x轴的距离是纵坐标的绝对值是解题的关键．
13．41°
【解析】
【分析】
利用邻补角、余角的定义进行计算即可．
【详解】
解：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠AOD=131°，
∴∠AOC=49°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOC+∠COE=90°，
∴∠COE=41°．
故答案为：41°．
【点睛】
本题考查的是邻补角、余角的定义，解题的关键是熟练掌握邻补角、余角的定义．
14．
【解析】
【分析】
根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】
解：，
，即，
，
，
则在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
15．54
【解析】
【分析】
根据长方形的对边平行得出∠ADF=∠DBC，故求出∠ADF即可．
【详解】
∵一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，∴DA∥BC．
∵∠ADE=126°，∴∠ADF=∠DBC=180°﹣126°=54°．
故答案为54．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
16．一
【解析】
【分析】
根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】
解：如图，

∵点A的坐标为（-2，4），点B的坐标为（4，-2），
∴点A位于第二象限，点B位于第四象限，
∴点C位于第一象限．
故答案是：一．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观．
17．##
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是 ，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】
∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，

∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积=(2+)×2-2-4=2-2．
故答案为2-2．
【点睛】
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是要能够由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示矩形的各边长．
18．     （0，3）（1，2）（2，1）（3，0）     11     35
【解析】
【分析】
（1）根据点P的运动规律确定此题结果；
（2）根据题意归纳出当点P从点O出发n秒，可得到的整数点的个数是n+1可确定此题的结果；
（3）由题意可得当点P从点O出发n秒，可得到的整数点都在直线y=-x+n上，将整数点（28，7）代入计算即可．
【详解】
解：（1）由题意可得，当点P从点O出发3秒，可得到的整数点为（0，3）（1，2）（2，1）（3，0），
故答案为：（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）；
（2）根据题意归纳出当点P从点O出发n秒，可得到的整数点的个数是n+1，
当n=10时，
n+1=10+1=11，
∴当点P从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是11，
故答案为：11；
（3）由题意可得当点P从点O出发n秒，可得到的整数点都在直线y=-x+n上，
则得-28+n=7，
解得n=35，
∴当点P从点O出发35秒时，可得到整数点（28，7），
故答案为：35．
【点睛】
此题考查了平面直角坐标系中的规律问题解决能力，关键是能根据题目要求确定符合条件的点的坐标，并归纳出相关规律．
19．（1）
（2）3
【解析】
【分析】
（1）先去绝对值注意符号的变化，再进行计算
（2）根据负数立方根依然是负数，求一个数的算术平方根，进行计算．
【详解】
（1）


．
（2）

=3．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算、绝对值、立方根、算术平方根等，解题的关键在于细心计算，注意符号的变化．
20．(1)x=±；
(2)x=5．
【解析】
【分析】
（1）根据等式的性质以及平方根的定义得出答案；
（2）根据立方根的定义得出x+3=4，进而求出答案．
(1)
解：4x2-25=0，
移项得，4x2=25，
两边都除以4得，x2=，
由平方根的定义可得，x=±；
(2)
解：（x-1）3=64，
由立方根的定义得x-1=4，
解得x=5．
【点睛】
本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
21．(1)见解析
(2)
(3)2.5
(4) 或
【解析】
【分析】
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，然后将这三点顺次连接起来即可；
（2）根据点A1的位置写出坐标即可；
（3）利用分割法把三角形面积看成其外接矩形的面积减去周围三个直角三角形面积即可；
（4）设M（0，m），根据面积为6建立方程求出m，即可解答．
(1)
解：如图，

(2)
解：A1点的坐标为 ，即 ；
(3)
三角形A1B1C1的面积= ；
(4)
∵C1到y轴的距离等于3，
设M点的坐标为 ，
∴三角形MOC1的面积= ，
解得 或 ，
∴M点的坐标为 或．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
22．AB，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
由∠B＝∠1，根据平行线的判定定理判断出AB∥ED；然后由平行线的性质定理得出∠A＝∠AME；等量代换得出∠AME＝∠E；最后根据平行线的判定定理判断出AC∥EF即可．
【详解】
证明：∵∠B＝∠1（已知），
∴AB∥ED（同位角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠AME（两直线平行，内错角相等），
∵∠A＝∠E（已知），
∴∠AME＝∠E（等量化换）．
∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，能够灵活运用平行线的判定和性质是解答本题的关键．
23．(1)
(2)

(3)
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点间的距离公式可得答案；
（2）将m的值代入原式，然后去绝对值，再进行实数的加减运算，即可求出结果；
（3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入3c−3d，则可求其平方根．
(1)
解：由题意得： ；
(2)
解：   
=
=
=；
(3)
解：由题意得： ，
∵， ，
∴ ，
解得，
∴ ，
∴的平方根等于 ．
【点睛】
本题考查了实数在数轴上的表示，绝对值和算术平方根的非负性，相反数的性质和求一个数平方根，解题的关键是熟练掌握有关知识点．
24．(1)①见解析；②∠CGD-∠B=90°，理由见解析
(2)∠CGD+∠B=90°
【解析】
【分析】
（1）依据过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G，画出图形，根据平行线的性质即可得到∠1=∠B，再根据平行线的性质，即可得出∠2+∠HCG=180°，进而得出∠CGD-∠B=90°；
（2）过点C作CH∥AB，根据平行线的性质可得∠B=∠BCH，再根据平行线的性质即可得到∠CGD+∠HCG=180°，进而得出∠B+∠CGD=90°．
(1)
解：①补全图形如图所示：

②∠CGD-∠B=90°，理由如下：
如图：过点C作CH∥AB，

∴∠1=∠B，
∵AB∥DF，
∴CH∥DF，
∴∠2+∠HCG=180°，
∵CE⊥BC，
∴∠1+∠HCG=90°，
∴∠CGD+（90°-∠B）=180°，
即∠CGD-∠B=90°；
(2)
解：∠CGD+∠B=90°．
理由：如图，过点C作CH∥AB，

∴∠B=∠BCH，
∵AB∥DF，
∴CH∥DF，
∴∠CGD+∠HCG=180°，
又∵CE⊥CB，
∴∠BCG=90°，
∴∠BCH+90°+∠CGD=180°，
即∠B+∠CGD=90°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
25．(1)
(2)2
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据“属派生点”的定义即可得；
（2）根据“属派生点”的定义建立方程组，由此即可得；
（3）设点的坐标为，则，再根据“属派生点”的定义可得点的坐标为，从而可得，然后根据“线段的长度为线段长度的倍”建立方程，解方程即可得．
(1)
解：由题意得：的坐标为，即为，
故答案为：．
(2)
解：由题意得：，
由①②得：，
解得，
故答案为：2．
(3)
解：由题意，设点的坐标为，则，
所以点的“属派生点”的坐标为，即为，
所以，
因为线段的长度为线段长度的倍，
所以，
解得．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、平面直角坐标系等知识点，掌握理解“属派生点”的定义是解题关键．
26．(1)26°
(2)①∠ABD=2∠EAF，证明过程见解析
②∠EAF =36°或108°
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质以及题干中∠AED =∠DAE即可推出∠BAD的度数；
(2)①结合平行线性质和角的平分线定义，进行等量代换进行推理即可找到∠EAF与∠ABD的等量关系；
②根据D、E在点B不同位置分类讨论，根据平行线的性质和角平分线定义，以及邻补角的性质等进行角的转换，即可求出∠EAF的度数．
(1)
解：∵∠ABM=130°，
∴∠ABE=180°-∠ABM=50°，
∵∠AED＝∠DAE=52°，
∴∠ADE=180°-∠AED-∠DAE=180°-52°-52°=76°，
∴∠BAD=∠ADE-∠ABD=76°-50°=26°，
故答案为：26°；
(2)
(2)①∠ABD= 2∠EAF，
证明：∵ ，
∴∠CAN = ∠ABD，∠NAE=∠AED，
又∵AF平分∠CAD，
∴，
∵∠DAE=∠AED=∠NAE，
∴ ，
∴ ，
即∠ABD = 2∠EAF；
②Ⅰ如图所示，


点D在点B右侧，由①得 ，
∵∠ABM+∠EAF= 144°，
∴∠ABM + ∠ABD= 144°，
又∵∠ABM+∠ABD=180°，
∴∠ABD = 180°- 144°= 36°，
∠EAF= 36°；
Ⅱ如图所示，点D在点B左侧，点E在点B右侧，

.∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF=∠CAD，
∵，
∴∠AED=∠NAE，∠CAN =∠ABE，
∴∠DAE=∠AED=∠NAE，
∴∠DAE= (∠DAE+∠NAE)=∠DAN，
.∴∠EAF=∠DAF+∠DAE=(∠CAD+∠DAN)=×(360°一∠CAN)=180°一∠ABE，
∵∠ABE+∠ABM = 180°，
∴∠EAF=180°- (180°一∠ABM)= 90°+∠ABM，
又∵∠EAF+∠ABM=144°，
∴∠EAF=90°+(144°-∠EAF)=162°-∠EAF，
∴∠EAF=108°；
Ⅲ如图，D、E均在B点左侧，

此时，∠DAE=∠DAN，∠DAF=∠CAD，
∴∠EAF=∠DAE+∠DAF=(360°-∠CAN) =180°-∠ABG
=180°-(180°-∠ABM)=90°+∠ABM，
∵∠ABM+∠EAF=144°，
∴∠EAF=108°，
综上所述：∠EAF=36°或108°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换，邻补角的性质和三角形内角和定理等，灵活运用有关性质进行角的等量代换和学会分类讨论是解题的关键.
27．(1)，是
(2)存在，与
(3)3，
【解析】
【分析】
（1）设点B的坐标为，根据题意得出，，可知点B坐标为；由平移的性质可知，，根据“1积值对”的定义计算即可得出结论；
（2）设正方形CDEF的边界上存在“1积值对”M与N，分情况讨论，点分别在正方形四条边界上时是否符合题意即可；
（3）①根据题意，正方形的一个顶点坐标为(1，0)，设该点为A，若其对角点C在A点左侧，验证此情况不存在“9积值对”； 若其对角点C在A点右侧，若要使正方形的边长尽可能小，则“9积值对”两点之一应在C点，分情况讨论另一点P在AD、CD、BC上时a的值，可确定正方形的边长的最小值；②当该正方形的边界上存在“k积值对”， 设正方形的边长为m，结合①的结论可确定当正方形的边长最小时，满足，进而可计算正方形边长的最小值为．
(1)
解：设点B的坐标为，根据题意，点A(1，3)，
可有，，
解得，，
∴点B坐标为，
将线段AB水平向左平移2个单位得到线段，
则，，
∵，，
∴线段上存在“1积值对”．
故答案为：，是；
(2)
正方形CDEF的边界上存在“1积值对”，理由如下：
设正方形CDEF的边界上存在“1积值对”M与N，
①若点在线段CF上，则，点应当满足，
可知点N不在正方形的边界上，不符合题意；
②若点在线段CD上，则，点应当满足，
可知点N不在正方形的边界上，不符合题意；
③若点在线段EF上，则，点应当满足，
∴点N只可能在线段DE上，即点，
此时在线段EF上，满足题意；
∴正方形CDEF的边界上存在“1积值对”与；
(3)
①根据题意，正方形的一个顶点坐标为(1，0)，设该点为A，若其对角点C在A点左侧，如图1，
此时最大正方形为点C在y轴上，正方形边长为1，由于OA、OC在坐标轴上，不存在“9积值对”，AB、BC边上的点的横坐标和纵坐标均1，故也不存在“9积值对”；

若其对角点C在A点右侧，如图2，
设正方形的边长为a，则点C（a+1，a），点B（a+1，0），D（1，a），
若要使正方形的边长尽可能小，则“9积值对”两点之一应在C点，设另一点为P，
当点P在边AD上时，应满足，解得，此时两点坐标分别为（9，1）与（）；
当点P在边CD上时，应满足，解得，此时两点坐标分别为（4，3）与（）；
当点P在边BC上时，应满足，解得，此时点P坐标分别为（），该点不在线段BC上，不符合题意；
综上所述，正方形边长的最小值为3．
故答案为：3；
②当该正方形的边界上存在“k积值对”，且k为正数时，
设正方形的边长为m，
若要使正方形的边长尽可能小，则“k积值对”两点之一在正方向右上方的角点上，
结合①中结论，可知此时应满足，
解得，
即正方形边长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、新定义“k积值对”、平面直角坐标系以及平移的性质等知识，正确理解“k积值对”及利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．