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2022北京中考数学终极押题密卷2
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这是一份2022北京中考数学终极押题密卷2，共46页。
2022北京中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•周村区一模）一个由完全相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
2．（2分）（2022春•沭阳县校级月考）新冠肺炎疫情暴发以来，全国人民众志成城，共渡难关．据国家卫计委统计，截止2022年3月10日，我国累计报告接种新冠病毒疫苗共计约318000万剂次．数据318000万用科学记数法可表示为（ ）
A．31.8×104 B．3.18×105 C．3.18×108 D．3.18×109
3．（2分）（2021秋•晋州市期末）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段AC的中点，点A，B对应的实数分别为﹣1和，则点C对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）（2021秋•江油市期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90° B．130° C．180° D．360°
5．（2分）（2022•中山市一模）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）（2021秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，点D是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD＝CD＝CF，则∠A＝（ ）
A．25° B．30° C．36° D．40°
7．（2分）（2021秋•泰和县期末）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）（2021秋•江油市期末）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
10．（2分）（2021秋•香洲区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ．
11．（2分）（2022•门头沟区一模）如果关于x的方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
12．（2分）（2022•房山区一模）写出一个比大且比4小的无理数 ．
13．（2分）（2022•西城区校级一模）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
14．（2分）（2021秋•邵东市期末）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a﹣1，2），则a＝ ．
15．（2分）（2022•江北区开学）甲、乙两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：S甲2＝18，S乙2＝80，＝24，则成绩较为稳定的班级是 ．
16．（2分）（2021秋•汉寿县期末）小明买了6本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小明共花费 元（用含a，b的代数式表示）．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2022春•綦江区期中）计算下列各式：
（1）；
（2）．
18．（5分）（2022•河东区一模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
19．（5分）（2021秋•迁安市期末）先化简再求值：（，其中x＝．
20．（5分）（2021秋•枣阳市期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
21．（6分）（2022春•长沙期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，试求线段AB的长度．
22．（6分）（2021秋•宝山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）求tanB的值；
（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．
23．（5分）（2022春•上蔡县月考）已知点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）当点P在第一象限内时，则S关于x的函数解析式为 ，x的取值范围为 ，并在下面框中的平面直角坐标系中画出S关于x的函数图象．（不要求列表）
24．（6分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
25．（5分）（2022•河南一模）河南省对居民生活用电采用阶梯电价，鼓励居民节约用电，其中年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价0.56元/千瓦时；2160～3120千瓦时的部分按0.61元/千瓦时收费；超过3120千瓦时的部分按0.86元/千瓦时收费．为了解某小区居民生活用电情况．调查小组从该小区随机调查了200户居民的月平均用电量x（千瓦时），并将全部调查数据分组统计如下：
组别
60＜x≤100
100＜x≤140
140＜x≤180
180＜x≤220
220＜x≤260
260＜x≤300
频数（户数）
28
42
a
30
20
10
把这200个数据从小到大排列后，其中第96到第105（包含第96和第105这两个数据）个数据依次为：148 148 150 152 152 154 160 161 161 162
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，该小区居民月平均用电量的中位数为 ，表中a＝ ；
（2）估计该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比；
（3）国家在制订收费标准时，为了减轻居民用电负担，制订的收费标准能让85%的用户享受基础电价．请你根据以上信息对该小区居民的用电情况进行评价，并写出一条建议．
26．（6分）（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
27．（7分）（2022•江津区一模）等腰△ABC中，BA＝BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED＝2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．
（1）如图1，当∠EBC＝90°时，若∠BAD＝45°，BE＝2，求线段DC的长；
（2）如图2，当∠EBC＞90°时，过点F作FG⊥AC，分别交AC，AD于点G，H，若AD＝2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB﹣3BP＝DH；
（3）如图3，在（1）问的条件下，BE上取点O，BO＝，点M，N为线段BD上的两个动点（点M在点N的左侧），连接AN，将△AND绕点D逆时针旋转得到△A′N′D，若满足A′D⊥AN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出△OMP的面积．
28．（7分）（2022•海珠区校级模拟）如图，⊙O的内接三角形ABC中，AB＝AC，过点B作⊙O的切线，交CA延长线于D，过D作⊙O的另一条切线DE，切点为E，连接AE、BE、CE．
（1）求证：△DBA∽△DCB；
（2）判断AB•CE与AE•BC之间的数量关系，并给出证明；
（3）探究：在BC长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
2022年菁优北京中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•周村区一模）一个由完全相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两层两列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1＝4个，
若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为4，
故选：A．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
2．（2分）（2022春•沭阳县校级月考）新冠肺炎疫情暴发以来，全国人民众志成城，共渡难关．据国家卫计委统计，截止2022年3月10日，我国累计报告接种新冠病毒疫苗共计约318000万剂次．数据318000万用科学记数法可表示为（ ）
A．31.8×104 B．3.18×105 C．3.18×108 D．3.18×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：318000万＝3180000000＝3.18×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2021秋•晋州市期末）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段AC的中点，点A，B对应的实数分别为﹣1和，则点C对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】先求得AB的长度，点B是线段AC的中点，即可得出BC的长，再用BC的长度加上可得出点C所对应的实数．
【解答】解：∵A、B两点对应的实数是﹣1和，
∴AB＝+1，
∵点B是线段AC的中点，
∴BC＝+1，
∴点C所对应的实数是：++1＝2+1，
故选：D．
【点评】本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．
4．（2分）（2021秋•江油市期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90° B．130° C．180° D．360°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，由四边形内角和是360°，即可求∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
【解答】解如图，连接AD，
∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠ADE+∠DAF，
∴∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，
∴∠BAD+∠B+∠C+∠CDA＝360°，
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
5．（2分）（2022•中山市一模）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
6．（2分）（2021秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，点D是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD＝CD＝CF，则∠A＝（ ）
A．25° B．30° C．36° D．40°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】由翻折可知，∠ACD＝∠CDF，由AD＝CD＝CF，推出∠A＝∠ACD，∠CDF＝∠CFD，根据∠CDF＝∠A+∠ACD＝2∠A，∠CFD＝∠B+∠BCF＝∠B+90°﹣2∠A，推出2∠A＝∠B+90°﹣2∠A，所以4∠A＝90°+∠B，再根据∠A+∠B＝90°，得到4∠A＝90°+90°﹣∠A，即可求出∠A＝36°．
【解答】解：由翻折可知，∠ACD＝∠CDF，
∵AD＝CD＝CF，
∴∠A＝∠ACD，∠CDF＝∠CFD，
∵∠CDF＝∠A+∠ACD＝2∠A，∠CFD＝∠B+∠BCF＝∠B+90°﹣2∠A，
∴2∠A＝∠B+90°﹣2∠A，
∴4∠A＝90°+∠B，
∵∠A+∠B＝90°，
∴4∠A＝90°+90°﹣∠A
∴∠A＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折问题，正确运用翻折的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
7．（2分）（2021秋•泰和县期末）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】探究型．
【分析】先求出学生的总数，再求出可能出现的情况，求出其比值即可．
【解答】解：∵共有甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生，
∴随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2分）（2021秋•江油市期末）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则﹣x2+x＝0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解．
【解答】解：由题意得x﹣2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】此题考查了分式概念问题的解决能力，关键是能根据分式有意义的条件得到x﹣2≠0，并进行求解．
10．（2分）（2021秋•香洲区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 20°或70° ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是40°，因而底角是70°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝40°，
所以∠B＝∠C＝20°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为20°或70°．
故答案为：20°或70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
11．（2分）（2022•门头沟区一模）如果关于x的方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＜1 ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4k＞0，
解得k＜1，
即k的取值范围是k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．（2分）（2022•房山区一模）写出一个比大且比4小的无理数 （答案不唯一） ．
【考点】实数大小比较；算术平方根；无理数．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据算术平方根的意义，可知4＝，再根据无理数的意义，即可解答．
【解答】解：∵＝4，
∴＜＜4，
∴一个比大且比4小的无理数是：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了无理数，实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根，以及无理数的意义是解题的关键．
13．（2分）（2022•西城区校级一模）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴DB＝OD＝2，
则半径OB＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．
14．（2分）（2021秋•邵东市期末）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a﹣1，2），则a＝ ﹣3 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到（a﹣1）•2＝﹣8，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得（a﹣1）•2＝﹣8，
解得a＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
15．（2分）（2022•江北区开学）甲、乙两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：S甲2＝18，S乙2＝80，＝24，则成绩较为稳定的班级是 甲 ．
【考点】方差；算术平均数．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵S甲2＝18，S乙2＝80，
∴S甲2＜S乙2，
∴成绩较为稳定的班级是甲；
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的定义与意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．（2分）（2021秋•汉寿县期末）小明买了6本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小明共花费 （6a+10b） 元（用含a，b的代数式表示）．
【考点】列代数式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据单价×数量＝总费用进行解答．
【解答】解：依题意得：小明共花费（6a+10b）元，
故答案是：（6a+10b）．
【点评】本题考查列代数式．解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2022春•綦江区期中）计算下列各式：
（1）；
（2）．
【考点】实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）先算乘方，求出算术平方根，立方根，去绝对值，再算加减即可；
（2）先去绝对值和括号，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣8+3﹣3+1
＝﹣7；
（2）原式＝
＝3﹣4．
【点评】本题考查实数运算，解题的关键是掌握求算术平方根，立方根及去绝对值等相关知识．
18．（5分）（2022•河东区一模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤5 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x≤5 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（Ⅰ）求出不等式①的解集即可；
（Ⅱ）求出不等式②的解集即可；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示即可；
（Ⅳ）找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
故答案为：x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤5；
故答案为：x≤5；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤5．
故答案为：﹣1≤x≤5．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19．（5分）（2021秋•迁安市期末）先化简再求值：（，其中x＝．
【考点】分式的化简求值；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用算术平方根、立方根性质，以及二次根式乘法法则确定出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝﹣，
当x＝﹣3+﹣＝﹣3+3﹣＝﹣时，
原式＝﹣＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握各自的运算法则是解本题的关键．
20．（5分）（2021秋•枣阳市期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；几何直观．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC＝∠COD＝63°，再由得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
所以∠AGB的度数为108°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
21．（6分）（2022春•长沙期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，试求线段AB的长度．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：由题意可知，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，
则AB＝＝．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
22．（6分）（2021秋•宝山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）求tanB的值；
（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．先利用等腰三角形的性质求出BE，再利用勾股定理求出AE，最后在Rt△ABE中求出tanB的值；
（2）先利用直角三角形的边角间关系求出DE，再利用线段的和差关系求出CD..
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BE＝CE＝BC＝3．
在Rt△ABE中，
∵AE＝
＝
＝4，
∴tanB＝＝；
（2）在Rt△ADE中，
∵∠ADB＝30°，AE＝4，tan∠ADB＝，
∴DE＝＝＝＝4．
∴CD＝DE﹣CE
＝4﹣3．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
23．（5分）（2022春•上蔡县月考）已知点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）当点P在第一象限内时，则S关于x的函数解析式为 S＝﹣2x+10 ，x的取值范围为 0＜x＜5 ，并在下面框中的平面直角坐标系中画出S关于x的函数图象．（不要求列表）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入y＝﹣x+5得，y＝﹣2+5＝3，
∴点P（2，3），
∴S△AOP＝×4×3＝6；
（2）当S＝4时，即×4×|y|＝4，
∴y＝2或y＝﹣2，
当y＝2时，即2＝﹣x+5，
解得x＝3，
∴点P（3，2），
当y＝﹣2时，即﹣2＝﹣x+5，
解得x＝7，
∴点P（7，﹣2），
综上，点P的坐标为（3，2）或（7，﹣2）；
（3）由题意得，
S＝OA•|y|＝2y（y＞0），
∵直线y＝﹣x+5，点P在第一象限内，
当y＝0时，x＝5，当x＝0时，y＝5，
∴x的取值范围为0＜x＜5，
∴S＝2（﹣x+5）＝﹣2x+10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x+10（0＜x＜5），
画出的图象如图所示．
故答案为：S＝﹣2x+10，0＜x＜5．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
24．（6分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；应用意识．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，
OE2+CE2＝OC2，
即（5﹣r）2+32＝r2，
解得r＝3.4，
∴AE＝AB﹣BE＝3.4×2﹣5＝1.8，
答：AE的长为1.8．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提．
25．（5分）（2022•河南一模）河南省对居民生活用电采用阶梯电价，鼓励居民节约用电，其中年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价0.56元/千瓦时；2160～3120千瓦时的部分按0.61元/千瓦时收费；超过3120千瓦时的部分按0.86元/千瓦时收费．为了解某小区居民生活用电情况．调查小组从该小区随机调查了200户居民的月平均用电量x（千瓦时），并将全部调查数据分组统计如下：
组别
60＜x≤100
100＜x≤140
140＜x≤180
180＜x≤220
220＜x≤260
260＜x≤300
频数（户数）
28
42
a
30
20
10
把这200个数据从小到大排列后，其中第96到第105（包含第96和第105这两个数据）个数据依次为：148 148 150 152 152 154 160 161 161 162
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，该小区居民月平均用电量的中位数为 153 ，表中a＝ 70 ；
（2）估计该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比；
（3）国家在制订收费标准时，为了减轻居民用电负担，制订的收费标准能让85%的用户享受基础电价．请你根据以上信息对该小区居民的用电情况进行评价，并写出一条建议．
【考点】中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；统计的应用．
【分析】（1）根据中位数的定义直接求中位数即可，根据总户数为200计算即可；
（2）根据年用电量为2160千瓦时，求出月平均电量为180千瓦时，再求能享受基础电价的户数为140，计算比例即可；
（3）根据（2）中的享受基础电价的居民占全小区的百分比与85%比较可知，该小区的用电量大．
【解答】解：（1）根据中位数的定义，中位数为按照从小到大排好顺序的数据的第100个和第101个数的平均值，
∴中位数为：＝153，
∵28+42+a+30+20+10＝200，
∴a＝70，
故答案为：153，70；
（2）年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价，
∴每月平均电量为2160÷12＝180（千瓦时），
从表中可知，200户中，能享受基础电价的户数为：28+42+70＝140，
∴该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比为：×100%＝70%；
（3）∵70%＜85%，
∴不能达到让85%的用户享受基础电价的目标，
故该小区用电量较多，应该节约用电，例如离开天气不是太热或太冷时少开空调．
【点评】本题考查数据的收集与整理、统计的应用，中位数的意义，理解各个数量之间的关系是正确解答的前提．
26．（6分）（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）把点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得出关于a的方程，解方程求出a的值，进而求出二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）先求出一次函数的解析式，把点（m，y1）代入一次函数解析式得出y1＝2m+5，把点（m+4，y2）代入二次函数解析式得出y2＝m2+6m+8，再由y1＞y2得出2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，利用二次函数的性质求出不等式的解集，即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，
解得：a＝1，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，
∴﹣2+b＝3，
∴b＝5，
∴y＝2x+5，
∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，
∴y1＝2m+5，
∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，
∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，
∵y1＞y2，
∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，
令y＝m2+4m+3，
当y＝0时，m2+4m+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），
∵抛物线开口项上，
∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，
∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解决问题的关键．
27．（7分）（2022•江津区一模）等腰△ABC中，BA＝BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED＝2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．
（1）如图1，当∠EBC＝90°时，若∠BAD＝45°，BE＝2，求线段DC的长；
（2）如图2，当∠EBC＞90°时，过点F作FG⊥AC，分别交AC，AD于点G，H，若AD＝2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB﹣3BP＝DH；
（3）如图3，在（1）问的条件下，BE上取点O，BO＝，点M，N为线段BD上的两个动点（点M在点N的左侧），连接AN，将△AND绕点D逆时针旋转得到△A′N′D，若满足A′D⊥AN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出△OMP的面积．
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）解Rt△BED，求出BD，解Rt△ABD，求出AB，进而求得CD；
（2）根据角平分线性质，求得DF＝2BF，设BF＝a，表示出BD，AD，发现AD＝DF＝2a，进而证明△ADC≌△FDH，从而推出AB﹣DH＝3a，从而需证明BP＝BF，通过证明△BEP∽△DEF，从而证得∠EBP＝∠EDF，进而证得∠BPF＝∠BFP，进一步命题得证；
（3）由∠APD＝90°得出点P在以AD为直径的圆上，作点O关于BD的对称点F，连接圆心I与F的线段，交BD于M，交圆于P，根据△MBF∽△MDI，求得BM，作PH∥BD交BE于H，交AD于G，求出PG，从而求得PH，进而求出△POF和△MOF的面积，从而求得△OMP的面积．
【解答】（1）解：∵BE＝2，DE＝2BE，
∴DE＝4，
∴∠EBC＝90°，
∴BD＝＝＝6，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，
∴AB＝＝6，
∴BC＝AB＝6，
∴DC＝BC﹣BD＝6﹣6；
（2）证明：设BF＝a，则AD＝2a，
∵EF平分∠BED，
∴，
∵DE＝2BE，
∴DF＝2BF＝2a，
∴BD＝BF+DF＝3a，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝＝a，
∴BC＝AB＝a，
∴CD＝BC﹣BD＝a﹣3a，
∵∠HDF＝∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠CFG+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠CFH，
∵AD＝DF＝2a，
∴△ADC≌△FDH（ASA），
∴DH＝CD＝a﹣3a，
∴AB﹣DH＝a﹣（a﹣3a）＝3a，
∵P是EF的中点，
∴，
∵，
∴，
∵∠BEP＝∠DEF，
∴△EBP∽△EFD，
∴∠EBP＝∠EDF，
∵∠BFP＝∠DEF+∠EDF，
∠BPF＝∠BEP+∠EBP，
∴∠BFP＝∠BPF，
∴BP＝BF＝a，
∴AB﹣DH＝3BP，
∴AB﹣3BP＝DH；
（3）如图，
∵BE＝2，OB＝BE，
∴OB＝2，
∵A′D⊥AN，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，圆心记作I，
延长OB至F，使BF＝BO＝2，连接FI，交BD于M，交⊙I于P，
则OM+MP的值最小，
作PH⊥BE于H交AD于G，
∵EB∥AD，
∴＝＝，∠PIG＝∠F，
∵BD＝6，
∴BM＝，
∴sinF＝＝＝＝，
∴PG＝IP•sin∠PIG＝3×＝，
∴PH＝GH﹣PG＝6﹣，
∴S△POF＝＝（6﹣）＝12﹣，
∵S△MOF＝＝＝，
∴S△POM＝（12﹣）﹣＝﹣＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
28．（7分）（2022•海珠区校级模拟）如图，⊙O的内接三角形ABC中，AB＝AC，过点B作⊙O的切线，交CA延长线于D，过D作⊙O的另一条切线DE，切点为E，连接AE、BE、CE．
（1）求证：△DBA∽△DCB；
（2）判断AB•CE与AE•BC之间的数量关系，并给出证明；
（3）探究：在BC长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）作直径BF，连接AF，可得∠ABD+∠ABF＝∠F+∠ABF＝90°，∠F＝∠BCD，从而∠ABD＝∠BCD，进而证得△DBA∽△DCB；
（2）△DBA∽△DCB，＝，同理可得，＝，结合BD＝DE，进一步得出结果；
（3）作直径EF，连接BF，OD，作OG⊥CA于G，证明△ABE∽△GCE，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：如图1，
作直径BF，连接AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∵＝，
∴∠BCA＝∠F，
∴∠BCA+∠ABF＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBF＝90°，
∴∠ABD+∠ABF＝90°，
∴∠ABD＝∠BCA，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴△DBA∽△DCB；
（2）解：AB•CE＝AE•BC，理由如下：
由（1）得，
△DBA∽△DCB，
∴＝，
同理可得，
＝，
∵BD和DE是⊙O的切线，
∴BD＝DE，
∴＝，
∴＝，
∴AB•CE＝BC•AE；
（3）解：如图2，
作直径EF，连接BF，OD，作OG⊥CA于G，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠OE⊥DE，
∴∠DEO＝∠AGO＝90°，
∴点E、D、O、G共圆，
∴∠DOE＝∠DGE，
∵DB和DE是⊙O的切线，
∴BD＝DE，
∵OB＝OE，
∴OD⊥BE，
∵EF是⊙O的直径，
∴EB⊥BF，
∴OD∥BF，
∴∠DOE＝∠F，
∴∠DGE＝∠F，
∵四边形ABFE是⊙O的内接四边形，
∴∠F+∠BAE＝180°，
∴∠DGE+∠BAE＝180°，
∵∠CGE+∠DGE＝180°，
∴∠BAE＝∠CGE，
∵＝，
∴∠ABE＝∠ACE，
∴△ABE∽△GCE，
∴＝，
∵OG⊥AC，
∴AC＝2CG，
∵AB＝AC，
∴AB＝2CG，
∴＝＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，切线性质，圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
考点卡片
1．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
7．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
8．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
9．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
14．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
15．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
16．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
17．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
18．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
19．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
21．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
22．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
23．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
26．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
27．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
28．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
29．圆的综合题
圆的综合题．
30．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
31．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
32．几何变换综合题
几何变换综合题．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
35．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
36．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
37．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
38．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
39．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
40．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
41．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
2022北京中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•周村区一模）一个由完全相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
2．（2分）（2022春•沭阳县校级月考）新冠肺炎疫情暴发以来，全国人民众志成城，共渡难关．据国家卫计委统计，截止2022年3月10日，我国累计报告接种新冠病毒疫苗共计约318000万剂次．数据318000万用科学记数法可表示为（ ）
A．31.8×104 B．3.18×105 C．3.18×108 D．3.18×109
3．（2分）（2021秋•晋州市期末）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段AC的中点，点A，B对应的实数分别为﹣1和，则点C对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）（2021秋•江油市期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90° B．130° C．180° D．360°
5．（2分）（2022•中山市一模）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）（2021秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，点D是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD＝CD＝CF，则∠A＝（ ）
A．25° B．30° C．36° D．40°
7．（2分）（2021秋•泰和县期末）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）（2021秋•江油市期末）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
10．（2分）（2021秋•香洲区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ．
11．（2分）（2022•门头沟区一模）如果关于x的方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
12．（2分）（2022•房山区一模）写出一个比大且比4小的无理数 ．
13．（2分）（2022•西城区校级一模）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
14．（2分）（2021秋•邵东市期末）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a﹣1，2），则a＝ ．
15．（2分）（2022•江北区开学）甲、乙两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：S甲2＝18，S乙2＝80，＝24，则成绩较为稳定的班级是 ．
16．（2分）（2021秋•汉寿县期末）小明买了6本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小明共花费 元（用含a，b的代数式表示）．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2022春•綦江区期中）计算下列各式：
（1）；
（2）．
18．（5分）（2022•河东区一模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
19．（5分）（2021秋•迁安市期末）先化简再求值：（，其中x＝．
20．（5分）（2021秋•枣阳市期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
21．（6分）（2022春•长沙期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，试求线段AB的长度．
22．（6分）（2021秋•宝山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）求tanB的值；
（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．
23．（5分）（2022春•上蔡县月考）已知点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）当点P在第一象限内时，则S关于x的函数解析式为 ，x的取值范围为 ，并在下面框中的平面直角坐标系中画出S关于x的函数图象．（不要求列表）
24．（6分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
25．（5分）（2022•河南一模）河南省对居民生活用电采用阶梯电价，鼓励居民节约用电，其中年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价0.56元/千瓦时；2160～3120千瓦时的部分按0.61元/千瓦时收费；超过3120千瓦时的部分按0.86元/千瓦时收费．为了解某小区居民生活用电情况．调查小组从该小区随机调查了200户居民的月平均用电量x（千瓦时），并将全部调查数据分组统计如下：
组别
60＜x≤100
100＜x≤140
140＜x≤180
180＜x≤220
220＜x≤260
260＜x≤300
频数（户数）
28
42
a
30
20
10
把这200个数据从小到大排列后，其中第96到第105（包含第96和第105这两个数据）个数据依次为：148 148 150 152 152 154 160 161 161 162
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，该小区居民月平均用电量的中位数为 ，表中a＝ ；
（2）估计该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比；
（3）国家在制订收费标准时，为了减轻居民用电负担，制订的收费标准能让85%的用户享受基础电价．请你根据以上信息对该小区居民的用电情况进行评价，并写出一条建议．
26．（6分）（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
27．（7分）（2022•江津区一模）等腰△ABC中，BA＝BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED＝2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．
（1）如图1，当∠EBC＝90°时，若∠BAD＝45°，BE＝2，求线段DC的长；
（2）如图2，当∠EBC＞90°时，过点F作FG⊥AC，分别交AC，AD于点G，H，若AD＝2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB﹣3BP＝DH；
（3）如图3，在（1）问的条件下，BE上取点O，BO＝，点M，N为线段BD上的两个动点（点M在点N的左侧），连接AN，将△AND绕点D逆时针旋转得到△A′N′D，若满足A′D⊥AN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出△OMP的面积．
28．（7分）（2022•海珠区校级模拟）如图，⊙O的内接三角形ABC中，AB＝AC，过点B作⊙O的切线，交CA延长线于D，过D作⊙O的另一条切线DE，切点为E，连接AE、BE、CE．
（1）求证：△DBA∽△DCB；
（2）判断AB•CE与AE•BC之间的数量关系，并给出证明；
（3）探究：在BC长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
2022年菁优北京中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•周村区一模）一个由完全相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两层两列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1＝4个，
若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为4，
故选：A．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
2．（2分）（2022春•沭阳县校级月考）新冠肺炎疫情暴发以来，全国人民众志成城，共渡难关．据国家卫计委统计，截止2022年3月10日，我国累计报告接种新冠病毒疫苗共计约318000万剂次．数据318000万用科学记数法可表示为（ ）
A．31.8×104 B．3.18×105 C．3.18×108 D．3.18×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：318000万＝3180000000＝3.18×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2021秋•晋州市期末）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段AC的中点，点A，B对应的实数分别为﹣1和，则点C对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】先求得AB的长度，点B是线段AC的中点，即可得出BC的长，再用BC的长度加上可得出点C所对应的实数．
【解答】解：∵A、B两点对应的实数是﹣1和，
∴AB＝+1，
∵点B是线段AC的中点，
∴BC＝+1，
∴点C所对应的实数是：++1＝2+1，
故选：D．
【点评】本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．
4．（2分）（2021秋•江油市期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90° B．130° C．180° D．360°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，由四边形内角和是360°，即可求∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
【解答】解如图，连接AD，
∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠ADE+∠DAF，
∴∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，
∴∠BAD+∠B+∠C+∠CDA＝360°，
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
5．（2分）（2022•中山市一模）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
6．（2分）（2021秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，点D是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．若AD＝CD＝CF，则∠A＝（ ）
A．25° B．30° C．36° D．40°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】由翻折可知，∠ACD＝∠CDF，由AD＝CD＝CF，推出∠A＝∠ACD，∠CDF＝∠CFD，根据∠CDF＝∠A+∠ACD＝2∠A，∠CFD＝∠B+∠BCF＝∠B+90°﹣2∠A，推出2∠A＝∠B+90°﹣2∠A，所以4∠A＝90°+∠B，再根据∠A+∠B＝90°，得到4∠A＝90°+90°﹣∠A，即可求出∠A＝36°．
【解答】解：由翻折可知，∠ACD＝∠CDF，
∵AD＝CD＝CF，
∴∠A＝∠ACD，∠CDF＝∠CFD，
∵∠CDF＝∠A+∠ACD＝2∠A，∠CFD＝∠B+∠BCF＝∠B+90°﹣2∠A，
∴2∠A＝∠B+90°﹣2∠A，
∴4∠A＝90°+∠B，
∵∠A+∠B＝90°，
∴4∠A＝90°+90°﹣∠A
∴∠A＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折问题，正确运用翻折的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
7．（2分）（2021秋•泰和县期末）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】探究型．
【分析】先求出学生的总数，再求出可能出现的情况，求出其比值即可．
【解答】解：∵共有甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生，
∴随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2分）（2021秋•江油市期末）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则﹣x2+x＝0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解．
【解答】解：由题意得x﹣2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】此题考查了分式概念问题的解决能力，关键是能根据分式有意义的条件得到x﹣2≠0，并进行求解．
10．（2分）（2021秋•香洲区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 20°或70° ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是40°，因而底角是70°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝40°，
所以∠B＝∠C＝20°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为20°或70°．
故答案为：20°或70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
11．（2分）（2022•门头沟区一模）如果关于x的方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＜1 ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4k＞0，
解得k＜1，
即k的取值范围是k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．（2分）（2022•房山区一模）写出一个比大且比4小的无理数 （答案不唯一） ．
【考点】实数大小比较；算术平方根；无理数．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据算术平方根的意义，可知4＝，再根据无理数的意义，即可解答．
【解答】解：∵＝4，
∴＜＜4，
∴一个比大且比4小的无理数是：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了无理数，实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根，以及无理数的意义是解题的关键．
13．（2分）（2022•西城区校级一模）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴DB＝OD＝2，
则半径OB＝＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．
14．（2分）（2021秋•邵东市期末）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a﹣1，2），则a＝ ﹣3 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到（a﹣1）•2＝﹣8，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得（a﹣1）•2＝﹣8，
解得a＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
15．（2分）（2022•江北区开学）甲、乙两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：S甲2＝18，S乙2＝80，＝24，则成绩较为稳定的班级是 甲 ．
【考点】方差；算术平均数．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵S甲2＝18，S乙2＝80，
∴S甲2＜S乙2，
∴成绩较为稳定的班级是甲；
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的定义与意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．（2分）（2021秋•汉寿县期末）小明买了6本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小明共花费 （6a+10b） 元（用含a，b的代数式表示）．
【考点】列代数式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据单价×数量＝总费用进行解答．
【解答】解：依题意得：小明共花费（6a+10b）元，
故答案是：（6a+10b）．
【点评】本题考查列代数式．解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2022春•綦江区期中）计算下列各式：
（1）；
（2）．
【考点】实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）先算乘方，求出算术平方根，立方根，去绝对值，再算加减即可；
（2）先去绝对值和括号，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣8+3﹣3+1
＝﹣7；
（2）原式＝
＝3﹣4．
【点评】本题考查实数运算，解题的关键是掌握求算术平方根，立方根及去绝对值等相关知识．
18．（5分）（2022•河东区一模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤5 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x≤5 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（Ⅰ）求出不等式①的解集即可；
（Ⅱ）求出不等式②的解集即可；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示即可；
（Ⅳ）找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
故答案为：x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤5；
故答案为：x≤5；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤5．
故答案为：﹣1≤x≤5．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19．（5分）（2021秋•迁安市期末）先化简再求值：（，其中x＝．
【考点】分式的化简求值；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用算术平方根、立方根性质，以及二次根式乘法法则确定出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝•
＝﹣，
当x＝﹣3+﹣＝﹣3+3﹣＝﹣时，
原式＝﹣＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握各自的运算法则是解本题的关键．
20．（5分）（2021秋•枣阳市期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；几何直观．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC＝∠COD＝63°，再由得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
所以∠AGB的度数为108°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
21．（6分）（2022春•长沙期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，试求线段AB的长度．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：由题意可知，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，
则AB＝＝．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
22．（6分）（2021秋•宝山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）求tanB的值；
（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．先利用等腰三角形的性质求出BE，再利用勾股定理求出AE，最后在Rt△ABE中求出tanB的值；
（2）先利用直角三角形的边角间关系求出DE，再利用线段的和差关系求出CD..
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BE＝CE＝BC＝3．
在Rt△ABE中，
∵AE＝
＝
＝4，
∴tanB＝＝；
（2）在Rt△ADE中，
∵∠ADB＝30°，AE＝4，tan∠ADB＝，
∴DE＝＝＝＝4．
∴CD＝DE﹣CE
＝4﹣3．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
23．（5分）（2022春•上蔡县月考）已知点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）当点P在第一象限内时，则S关于x的函数解析式为 S＝﹣2x+10 ，x的取值范围为 0＜x＜5 ，并在下面框中的平面直角坐标系中画出S关于x的函数图象．（不要求列表）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入y＝﹣x+5得，y＝﹣2+5＝3，
∴点P（2，3），
∴S△AOP＝×4×3＝6；
（2）当S＝4时，即×4×|y|＝4，
∴y＝2或y＝﹣2，
当y＝2时，即2＝﹣x+5，
解得x＝3，
∴点P（3，2），
当y＝﹣2时，即﹣2＝﹣x+5，
解得x＝7，
∴点P（7，﹣2），
综上，点P的坐标为（3，2）或（7，﹣2）；
（3）由题意得，
S＝OA•|y|＝2y（y＞0），
∵直线y＝﹣x+5，点P在第一象限内，
当y＝0时，x＝5，当x＝0时，y＝5，
∴x的取值范围为0＜x＜5，
∴S＝2（﹣x+5）＝﹣2x+10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x+10（0＜x＜5），
画出的图象如图所示．
故答案为：S＝﹣2x+10，0＜x＜5．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
24．（6分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；应用意识．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，
OE2+CE2＝OC2，
即（5﹣r）2+32＝r2，
解得r＝3.4，
∴AE＝AB﹣BE＝3.4×2﹣5＝1.8，
答：AE的长为1.8．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提．
25．（5分）（2022•河南一模）河南省对居民生活用电采用阶梯电价，鼓励居民节约用电，其中年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价0.56元/千瓦时；2160～3120千瓦时的部分按0.61元/千瓦时收费；超过3120千瓦时的部分按0.86元/千瓦时收费．为了解某小区居民生活用电情况．调查小组从该小区随机调查了200户居民的月平均用电量x（千瓦时），并将全部调查数据分组统计如下：
组别
60＜x≤100
100＜x≤140
140＜x≤180
180＜x≤220
220＜x≤260
260＜x≤300
频数（户数）
28
42
a
30
20
10
把这200个数据从小到大排列后，其中第96到第105（包含第96和第105这两个数据）个数据依次为：148 148 150 152 152 154 160 161 161 162
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，该小区居民月平均用电量的中位数为 153 ，表中a＝ 70 ；
（2）估计该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比；
（3）国家在制订收费标准时，为了减轻居民用电负担，制订的收费标准能让85%的用户享受基础电价．请你根据以上信息对该小区居民的用电情况进行评价，并写出一条建议．
【考点】中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；统计的应用．
【分析】（1）根据中位数的定义直接求中位数即可，根据总户数为200计算即可；
（2）根据年用电量为2160千瓦时，求出月平均电量为180千瓦时，再求能享受基础电价的户数为140，计算比例即可；
（3）根据（2）中的享受基础电价的居民占全小区的百分比与85%比较可知，该小区的用电量大．
【解答】解：（1）根据中位数的定义，中位数为按照从小到大排好顺序的数据的第100个和第101个数的平均值，
∴中位数为：＝153，
∵28+42+a+30+20+10＝200，
∴a＝70，
故答案为：153，70；
（2）年用电量为2160千瓦时及以下执行基础电价，
∴每月平均电量为2160÷12＝180（千瓦时），
从表中可知，200户中，能享受基础电价的户数为：28+42+70＝140，
∴该小区能享受基础电价的居民占全小区的百分比为：×100%＝70%；
（3）∵70%＜85%，
∴不能达到让85%的用户享受基础电价的目标，
故该小区用电量较多，应该节约用电，例如离开天气不是太热或太冷时少开空调．
【点评】本题考查数据的收集与整理、统计的应用，中位数的意义，理解各个数量之间的关系是正确解答的前提．
26．（6分）（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）把点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得出关于a的方程，解方程求出a的值，进而求出二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）先求出一次函数的解析式，把点（m，y1）代入一次函数解析式得出y1＝2m+5，把点（m+4，y2）代入二次函数解析式得出y2＝m2+6m+8，再由y1＞y2得出2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，利用二次函数的性质求出不等式的解集，即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，
解得：a＝1，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，
∴﹣2+b＝3，
∴b＝5，
∴y＝2x+5，
∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，
∴y1＝2m+5，
∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，
∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，
∵y1＞y2，
∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，
令y＝m2+4m+3，
当y＝0时，m2+4m+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），
∵抛物线开口项上，
∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，
∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解决问题的关键．
27．（7分）（2022•江津区一模）等腰△ABC中，BA＝BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED＝2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．
（1）如图1，当∠EBC＝90°时，若∠BAD＝45°，BE＝2，求线段DC的长；
（2）如图2，当∠EBC＞90°时，过点F作FG⊥AC，分别交AC，AD于点G，H，若AD＝2BF，P为EF中点，连接BP，求证：AB﹣3BP＝DH；
（3）如图3，在（1）问的条件下，BE上取点O，BO＝，点M，N为线段BD上的两个动点（点M在点N的左侧），连接AN，将△AND绕点D逆时针旋转得到△A′N′D，若满足A′D⊥AN于点P，连接OM，MP，当OM+MP的值最小时，直接写出△OMP的面积．
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）解Rt△BED，求出BD，解Rt△ABD，求出AB，进而求得CD；
（2）根据角平分线性质，求得DF＝2BF，设BF＝a，表示出BD，AD，发现AD＝DF＝2a，进而证明△ADC≌△FDH，从而推出AB﹣DH＝3a，从而需证明BP＝BF，通过证明△BEP∽△DEF，从而证得∠EBP＝∠EDF，进而证得∠BPF＝∠BFP，进一步命题得证；
（3）由∠APD＝90°得出点P在以AD为直径的圆上，作点O关于BD的对称点F，连接圆心I与F的线段，交BD于M，交圆于P，根据△MBF∽△MDI，求得BM，作PH∥BD交BE于H，交AD于G，求出PG，从而求得PH，进而求出△POF和△MOF的面积，从而求得△OMP的面积．
【解答】（1）解：∵BE＝2，DE＝2BE，
∴DE＝4，
∴∠EBC＝90°，
∴BD＝＝＝6，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，
∴AB＝＝6，
∴BC＝AB＝6，
∴DC＝BC﹣BD＝6﹣6；
（2）证明：设BF＝a，则AD＝2a，
∵EF平分∠BED，
∴，
∵DE＝2BE，
∴DF＝2BF＝2a，
∴BD＝BF+DF＝3a，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝＝a，
∴BC＝AB＝a，
∴CD＝BC﹣BD＝a﹣3a，
∵∠HDF＝∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠CFG+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠CFH，
∵AD＝DF＝2a，
∴△ADC≌△FDH（ASA），
∴DH＝CD＝a﹣3a，
∴AB﹣DH＝a﹣（a﹣3a）＝3a，
∵P是EF的中点，
∴，
∵，
∴，
∵∠BEP＝∠DEF，
∴△EBP∽△EFD，
∴∠EBP＝∠EDF，
∵∠BFP＝∠DEF+∠EDF，
∠BPF＝∠BEP+∠EBP，
∴∠BFP＝∠BPF，
∴BP＝BF＝a，
∴AB﹣DH＝3BP，
∴AB﹣3BP＝DH；
（3）如图，
∵BE＝2，OB＝BE，
∴OB＝2，
∵A′D⊥AN，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，圆心记作I，
延长OB至F，使BF＝BO＝2，连接FI，交BD于M，交⊙I于P，
则OM+MP的值最小，
作PH⊥BE于H交AD于G，
∵EB∥AD，
∴＝＝，∠PIG＝∠F，
∵BD＝6，
∴BM＝，
∴sinF＝＝＝＝，
∴PG＝IP•sin∠PIG＝3×＝，
∴PH＝GH﹣PG＝6﹣，
∴S△POF＝＝（6﹣）＝12﹣，
∵S△MOF＝＝＝，
∴S△POM＝（12﹣）﹣＝﹣＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
28．（7分）（2022•海珠区校级模拟）如图，⊙O的内接三角形ABC中，AB＝AC，过点B作⊙O的切线，交CA延长线于D，过D作⊙O的另一条切线DE，切点为E，连接AE、BE、CE．
（1）求证：△DBA∽△DCB；
（2）判断AB•CE与AE•BC之间的数量关系，并给出证明；
（3）探究：在BC长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）作直径BF，连接AF，可得∠ABD+∠ABF＝∠F+∠ABF＝90°，∠F＝∠BCD，从而∠ABD＝∠BCD，进而证得△DBA∽△DCB；
（2）△DBA∽△DCB，＝，同理可得，＝，结合BD＝DE，进一步得出结果；
（3）作直径EF，连接BF，OD，作OG⊥CA于G，证明△ABE∽△GCE，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：如图1，
作直径BF，连接AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∵＝，
∴∠BCA＝∠F，
∴∠BCA+∠ABF＝90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBF＝90°，
∴∠ABD+∠ABF＝90°，
∴∠ABD＝∠BCA，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴△DBA∽△DCB；
（2）解：AB•CE＝AE•BC，理由如下：
由（1）得，
△DBA∽△DCB，
∴＝，
同理可得，
＝，
∵BD和DE是⊙O的切线，
∴BD＝DE，
∴＝，
∴＝，
∴AB•CE＝BC•AE；
（3）解：如图2，
作直径EF，连接BF，OD，作OG⊥CA于G，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠OE⊥DE，
∴∠DEO＝∠AGO＝90°，
∴点E、D、O、G共圆，
∴∠DOE＝∠DGE，
∵DB和DE是⊙O的切线，
∴BD＝DE，
∵OB＝OE，
∴OD⊥BE，
∵EF是⊙O的直径，
∴EB⊥BF，
∴OD∥BF，
∴∠DOE＝∠F，
∴∠DGE＝∠F，
∵四边形ABFE是⊙O的内接四边形，
∴∠F+∠BAE＝180°，
∴∠DGE+∠BAE＝180°，
∵∠CGE+∠DGE＝180°，
∴∠BAE＝∠CGE，
∵＝，
∴∠ABE＝∠ACE，
∴△ABE∽△GCE，
∴＝，
∵OG⊥AC，
∴AC＝2CG，
∵AB＝AC，
∴AB＝2CG，
∴＝＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，切线性质，圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
考点卡片
1．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
7．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
8．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
9．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
14．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
15．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
16．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
17．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
18．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
19．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
21．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
22．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
23．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
26．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
27．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
28．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
29．圆的综合题
圆的综合题．
30．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
31．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
32．几何变换综合题
几何变换综合题．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
35．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
36．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
37．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
38．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
39．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
40．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
41．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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